✨Bất đẳng thức

Bất đẳng thức

phải|[[Miền giá trị (feasible region) của một bài toán quy hoạch tuyến tính được xác định bởi một tập các bất đẳng thức]] Trong toán học, một bất đẳng thức (tiếng Anh: Inequality) là một phát biểu về quan hệ thứ tự và độ lớn của giá trị giữa hai số hoặc các biểu thức toán học. Nó thể hiện mối quan hệ không bằng nhau, vì thế nên dược gọi là bất đẳng thức, ngược với đẳng thức. Nó thường được sử dụng để so sánh hai số trên trục số theo giá trị của chúng. Người ta sử dụng các kí hiệu khác nhau để biểu thị cho các bất đẳng thức khác nhau, ví dụ: $a b !\$ có nghĩa là a lớn hơn b.

Trong cả hai trường hợp trên, a không bằng b. Những bất đẳng thức nói trên được gọi là bất đẳng thức chặt chẽ, chỉ thể hiện rằng a hoàn toàn nhỏ hơn hoặc lớn hơn b.

Ngoài ra, ta còn có những bất đẳng thức không chặt chẽ: $a \le b$ có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b. $a \ge b$ có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b. * $|a| \ge a$ có nghĩa là giá trị tuyệt đối của a lớn hơn hoặc bằng a.

Mối quan hệ không lớn hơn (tức nhỏ hơn hoặc bằng) có thể được biểu diễn là a >/ b, ký hiệu > (lớn hơn) được chia đôi bởi dấu gạch chéo (nghĩa là không). Tương tự với cách biểu diễn cho mối quan hệ không nhỏ hơn (tức lớn hơn hoặc bằng) là a ≮ b.

Một bất đẳng thức nữa là a ≠ b, có nghĩa là a không bằng b. Bất đẳng thức này đôi khi được coi là một dạng bất đẳng thức chặt chẽ. Nó không nói rằng a lớn hơn b hay ngược lại, cũng không nói rằng a bằng b. Nó chỉ thể hiện rằng giá trị của a khác so với giá trị của b.

Trong khoa học kỹ thuật, người ta còn sử dụng một số kí tự ít phổ biến hơn để biểu thị một số bất đẳng thức, mà chúng chỉ ra rằng một giá trị "lớn hơn nhiều" hay "nhỏ hơn nhiều" so với giá trị khác:

Ký hiệu a ≪ b có nghĩa là a nhỏ hơn nhiều so với b. Ký hiệu a ≫ b có nghĩa là a lớn hơn nhiều so với b.

Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sau đây ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó.

Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm.

Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là

Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức.

Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng. Đó là bài toán giải bất phương trình.

Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của một biểu thức một hay nhiều biến. Đó gọi là tìm cực trị.

Các tính chất

Bất đẳng thức có các tính chất sau:

Nghịch đảo

Các quan hệ < và >, ≤ và ≥ là nghịch đảo của nhau , nghĩa là với mọi số thực a và b:

$a và b>a tương đương.$
$a \leq b$ và $b\gneq a$ tương đương.

Tính chất bắc cầu

Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức được phát biểu như sau:

Với mọi số thực a, b,c: Nếu $a > b$ và $b > c$ thì $a > c$ Nếu $a<b$ và $b < c$ thì $a < c$

Tính chất liên hệ đến phép cộng và phép trừ

Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ được phát biểu như sau: :''Phép cộng và phép trừ với cùng một số thực bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực. Nghĩa là

Với mọi số thực a, b và c: Nếu $a > b$ thì $a + c > b + c$ và $a - c > b - c$ Nếu $a<b$ thì $a + c < b + c$ và $a - c < b - c$

Tính chất liên hệ đến phép nhân và phép chia

Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia được phát biểu như sau:

:''Phép nhân (hoặc chia) với một số thực dương bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực, phép nhân (hoặc chia)với một số thực âm đảo ngược quan hệ thứ tự trên tập số thực. Cụ thể:

Với mọi số thực a, b và c: Nếu c là một số dương và $a > b$ thì $a \times c > b \times c$ và $a / c > b / c$ Nếu c là một số dương và $a<b$ thì $a \times c b$ thì $a \times c b \times c$ và $a / c > b / c$

Áp dụng một hàm đơn điệu vào hai vế của một bất đẳng thức

Từ định nghĩa của các hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm) ta có thể đưa hai vế của một bất đẳng thức trở thành biến của một hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt mà bất đẳng thức kết quả vẫn đúng. Ngược lại nếu ta áp vào hai vế của một bất đẳng thức dạng hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì lúc ấy ta phải đảo chiều bất đẳng thức ban đầu để được bất đẳng thức đúng.

Điều đó có nghĩa là:

Nếu có bất đẳng thức không nghiêm ngặt a ≤ b (hoặc a ≥b) và

$f(x)$ là hàm đơn điệu tăng thì $f(a)$ ≤ $f(b)$ (hoặc $f(a)$ ≥ $f(b)$ ) (không đảo chiều)

$f(x)$ là hàm đơn điệu giảm thì $f(a)$ ≥ $f(b)$ (hoặc $f(a)$ ≤ $f(b)$ (đảo chiều)

Nếu có bất đẳng thức nghiêm ngặt a b) và

$f(x)$ là hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt thì $f(a)$ < $f(b)$ (hoặc $f(a)$ > $f(b)$ ) (không đảo chiều)

$f(x)$ là hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì $f(a)$ > $f(b)$ (hoặc $f(a)$ < $f(b)$ ) (đảo chiều)

Kiểu ký hiệu ghép nối(Bất đẳng thức kép)

Ký hiệu a<b<c có nghĩa là a < b và b < c và do tính chất bắc cầu ta suy ra a < c. Dễ thấy rằng, cũng bằng các tính chất ở phần trên, chúng ta có thể cộng/trừ cùng một số vào ba số hạng này, hay nhân/chia cả ba số hạng này với cùng một số khác không và tùy vào dấu của số nhân/chia đó mà ta có đảo chiều bất đẳng thức hay không. Nhưng cần thận trọng vì bạn chỉ có thể làm điều đó với cùng một số, tức là a < b + e < c tương đương với a - e < b < c - e.

Tổng quát hơn, kiểu ký hiệu ghép nối này có thể dùng với một số bất kỳ các số hạng: chẳng hạn a₁ ≤a₂ ≤...≤a_n có nghĩa là a_i≤a_i+1 với i = 1,2,...,n-1. Theo tính chất bắc cầu, điều này tương đương với a_i≤a_j với mọi 1≤i≤j≤n.

Đôi khi, kiểu ký hiệu ghép nối được dùng với các bất đẳng thức có chiều ngược nhau, trong trường hợp này phải hiểu đây là việc viết ghép các bất đẳng thức riêng biệt cho hai số hạng kế cận nhau. Cho ví dụ, a c ≤ d có nghĩa là a < b, b > c và c ≤d. Thường trong toán học, người ta ít xài kiểu ký hiệu này và trong ngôn ngữ lập trình, chỉ có một ít ngôn ngữ như Python cho phép dùng ký hiệu này.

Các bất đẳng thức nổi tiếng

:Xem thêm: Bảng các bất đẳng thức Khi gặp các đại lượng mà không thể tìm được hoặc không dễ dàng tìm được công thức tính chính xác, các nhà toán học thường dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng tầm giá trị mà các đại lượng đó có thể có. Một vài bất đẳng thức thông dụng và có tên gọi riêng cho nó:

Bất đẳng thức Azuma Bất đẳng thức Bernoulli Bất đẳng thức Boole Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Bất đẳng thức cộng Chebyshev Bất đẳng thức Chernoff Bất đẳng thức Cramer-Rao Bất đẳng thức Hoeffding *Bất đẳng thức Holder

Bất đẳng thức Jensen Bất đẳng thức Markov Bất đẳng thức Minkowski Bất đẳng thức Nesbitt Bất đẳng thức Pedoe Bất đẳng thức tam giác *Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Bất đẳng thức

phải|[[Miền giá trị (_feasible region_) của một bài toán quy hoạch tuyến tính được xác định bởi một tập các bất đẳng thức]] Trong toán học, một **bất đẳng thức** (tiếng Anh: Inequality) là một

💫 Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân

💫 Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz

Trong đại số và giải tích, **bất đẳng thức Cauchy-Schwarz** (cũng gọi là **bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz**) phát biểu rằng trị tuyệt đối của tích vô hướng của hai vector luôn nhỏ hơn hoặc bằng

💫 Bất đẳng thức Bernoulli

[[Tập tin:Bernoulli inequality.svg|nhỏ|Đồ thị của hai hàm số

(1+x)^3

**(đỏ)** và

1+3x

**(xanh)**]] Trong toán học, ** bất đẳng thức Bernoulli** là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa

💫 Bất đẳng thức tam giác

Trong toán học, **bất đẳng thức tam giác** là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác, chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu của hai cạnh

💫 Bất đẳng thức Hölder

Trong giải tích toán học, **bất đẳng thức Hölder**, đặt theo tên nhà toán học Đức Otto Hölder, là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các không gian L^_p_: giả sử _S_

💫 Bất đẳng thức Jensen

thumb|Minh họa trực quan của **bất đẳng thức Jensen**: Trên đoạn lồi của hàm số, dây cung nối hai điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đều nằm trên đoạn đồ thị nằm giữa

💫 Bất đẳng thức Nesbitt

Trong toán học, **bất đẳng thức Nesbitt** (tiếng Anh: Nesbitt's inequality) là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Shapiro khi số phần tử là 3. Nó được phát biểu như sau: Cho

💫 Bất đẳng thức Bernstein (lý thuyết xác suất)

Trong lý thuyết xác suất, các **bất đẳng thức Bernstein** cho chặn trên của xác suất tổng các biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị lệch khỏi giá trị kì vọng. Trong trường hợp

💫 Bất đẳng thức Doob

Trong toán học, **bất đẳng thức Doob cho martingale** là một bất đẳng thức chặn trên xác suất một quá trình ngẫu nhiên vượt ra ngoài một giới hạn cho trước trong một khoảng thời

💫 Bất đẳng thức Markov

phải|Bất đẳng thức Markov cho một chặn trên của độ đo của tập hợp các giá trị của

x

được đánh dấu đỏ, tại đó giá trị của một hàm không âm

f(x)\ge\epsilon

. Chặn trên

💫 Bất đẳng thức Hoeffding

Trong lý thuyết xác suất, **bất đẳng thức Hoeffding** cho một chặn trên của xác suất một tổng các biến ngẫu nhiên sai lệch với giá trị kỳ vọng. Bất đẳng thức Hoeffding được chứng

💫 Bất đẳng thức Popoviciu

Trong giải tích lồi, **bất đẳng thức Popoviciu** là một bất đẳng thức thể hiện một tính chất của các hàm số lồi. Bất đẳng thức này được tìm ra bởi Tiberiu Popoviciu, một nhà

💫 Bất đẳng thức Minkowski

Trong giải tích toán học, **bất đẳng thức Minkowski** dẫn đến kết luận rằng các không gian L^_p_ là các không gian vector định chuẩn. Giả sử _S_ là một không gian đo, giả sử

💫 Bất đẳng thức Schur

**Bất đẳng thức Schur** được phát biểu như sau: Cho

a,b,c,t

là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

\sum\limits_{cyc} a^t (a-b)(a-c)\geqslant 0.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a= b=

💫 Bất đẳng thức Azuma

Trong lý thuyết xác suất, **bất đẳng thức Azuma–Hoeffding** (đặt tên theo Kazuoki Azuma và Wassily Hoeffding) là một bất đẳng thức về sự tập trung của giá trị một martingale có gia số bị

💫 Bất đẳng thức Erdos-Mordell

Trong hình học phẳng, **Bất đẳng thức Erdős–Mordell** phát biểu rằng cho tam giác _ABC_ bất kỳ và điểm _P_ trong tam giác _ABC_, khi đó tổng khoảng cách từ điểm _P_ đến ba đỉnh

💫 Bất đẳng thức Ky Fan

**Bất đẳng thức Ky Fan** là một bất đẳng thức liên quan đến trung bình cộng và trung bình nhân của một dãy số dương nằm trong đoạn [0,1/2]. Bất đẳng thức này là một

💫 Bất đẳng thức Khinchin

Trong toán học, **bất đẳng thức Khinchin**, đặt theo tên của Aleksandr Khinchin là một định lý về xác suất, và thường được sử dụng trong giải tích. Ý tưởng về mặt định tính của

💫 Bất đẳng thức Harnack

**Bất đẳng thức Harnack** là một bất đẳng thức bắt nguồn từ giải tích. Cho

D=D(z_0,R)

là một quả cầu mở và f là một hàm điều hòa trên _D_ sao cho _f(z)_ không âm

💫 Bất đẳng thức Karamata

Trong toán học, **bất đẳng thức Karamata** _(tiếng Anh: Karamata's inequality__)_, được đặt tên của nhà toán học Jovan Karamata, còn được biết tới là bất đẳng thức bộ trội là một định lý trong

💫 Bất đẳng thức Shapiro

Trong toán học, **[https://www.youtube.com/?gl=VN bất đẳng thức Shapiro]** là một [https://hoidap247.com/huong-dan-latex bất đẳng thức] do H. Shapiro đặt ra vào năm 1954. ## Phát biểu Giả sử

n

là một số tự nhiên và

x_1,

💫 Bất đẳng thức cộng Chebyshev

Trong toán học, **Bất đẳng thức cộng Chebyshev**, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Lvovich Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho :

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n

và :

b_1 \geq b_2

💫 Bất đẳng thức hoán vị

Trong toán học, **bất đẳng thức hoán vị** là: Cho hai dãy số thực (

x_n

),(

y_n

),(n∈N) thỏa mãn:

x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_n

và

y_1 \geq y_2 \geq \cdots \geq y_n

Với mỗi hoán

💫 Bất đẳng thức Levinson

Trong toán học, **bất đẳng thức Levinson** được đặt theo tên Norman Levinson, đây là một bất đẳng thực liên quan đến các số thực dương. Cho

a>0

và

f

có đạo hàm bậc ba

💫 Bất đẳng thức Fano

Trong lý thuyết thông tin, **bất đẳng thức Fano** liên hệ lượng thông tin bị mất trên một kênh nhiễu với xác suất phân loại sai. Nó được tìm ra bởi Robert Fano đầu thập

💫 Bất đẳng thức Newton

**Bất đẳng thức Newton** được đặt theo tên của nhà toán học và vật lý học thiên tài người Anh Isaac Newton. Nếu cho _a₁,.........,a_n_ là các số thực và cho _σk_ là hàm đối

💫 Bất đẳng thức Agmon

Trong giải tích toán học, các **bất đẳng thức Agmon** bao gồm hai bất đẳng thức nội suy có liên quan chặt chẽ giữa các không gian

L^\infty

và không gian Sobolev

H^s

, rất hữu

💫 Bất đẳng thức Pinsker

Trong lý thuyết thông tin, **bất đẳng thức Pinsker**, đặt tên theo Mark Semenovich Pinsker, là một bất đẳng thức liên hệ khoảng cách Kullback-Leibler và khoảng cách

\ell_1

. Nếu

P, Q

là hai phân

💫 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard

Trong toán học, **bất đẳng thức Hermite–Hadamard**, được đặt theo tên của Charles Hermite và Jacques Hadamard, phát biểu rằng nếu hàm ƒ : [_a_, _b_] → **R** là hàm lồi thì :

f\left( \frac{a+b}{2}\right) \le \frac{1}{b - a}\int_a^b

💫 Bất đẳng thức Bonse

Trong lý thuyết số, **bất đẳng thức Bonse**, đặt tên theo H. Bonse, liên hệ kích thước của một primorial với số nguyên tố nhỏ nhất không nằm trong phân tích thừa số nguyên tố của

💫 Bất đẳng thức Golden–Thompson

Trong toán học, **bất đẳng thức Golden–Thompson**, chứng minh độc lập bởi và , khẳng định rằng với mọi ma trận Hermit _A_ và _B_, :

\operatorname{tr}\, e^{A+B} \le \operatorname{tr} \left(e^A e^B\right)

trong đó

💫 Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức

Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đầy

💫 Bất Đẳng Thức Dưới Góc Nhìn Của Các Bổ Đề

BẤT ĐẲNG THỨC DƯỚI GÓC NHÌN CÁC BỔ ĐỀ Sách viết về các kết quả quen thuộc gọi là bổ đề trong bất đẳng thức và ứng dụng nó. Sách có tổng cộng 9 chương

💫 Bí Quyết Đạt Điểm 10 Chuyên Đề Phương Trình -Bất Phương Trình - Hệ Phương Trình - Bất Đẳng Thức & Bài Toán Min, Max Tán Bản 2020

Bí Quyết Đạt Điểm 10 Môn Toán Chuyên Đề Phương Trình - Bất PT - Hệ PT - Bất Đẳng Thức - Min Max Bí Quyết Đạt Điểm 10 Môn Toán Chuyên Đề Phương Trình

💫 Sử Dụng Phương Pháp AM - GM Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức

Cuốn sách Sử Dụng Phương Pháp AM - GM Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức chia sẻ cho bạn đọc những ý tưởng cũng như giải thích tường tận các phương pháp để giải bài

💫 Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán THCS Bất Đẳng Thức & Cực Trị Trong Hình Học Phẳng

Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán THCS Bất Đẳng Thức & Cực Trị Trong Hình Học Phẳng Bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng là vấn đề hay và khó

💫 Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức

💫 Combo Phân Loại Và Phương Pháp Giải Toán Bất Đẳng Thức Sử Dụng Phương Pháp AM - GM Cauchy Schwarz 3 Cuốn - HA

Combo Chinh Phục Bài Toán Bất Đẳng Thức Bộ 3 Cuốn Combo Chinh Phục Bài Toán Bất Đẳng Thức Bộ 3 Cuốnlà bộhệ thống tương đối toàn diện và rõ ràng các kĩ năng liên

💫 Những Viên Kim Cương Trong Bất Đẳng Thức Toán Học

Những Viên Kim Cương Trong Bất Đẳng Thức Toán Học Đây là công trình đồ sộ, dày gần 1.200 trang của nhà toán học Trần Phương, với sự cộng tác của Trần Tuấn Anh, Nguyễn

💫 Những Viên Kim Cương Trong Bất Đẳng Thức Toán Học

💫 Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán THCS Bất Đẳng Thức & Cực Trị Trong Đại Số

Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán THCS Bất Đẳng Thức & Cực Trị Trong Đại Số Bất Đẳng Thức Và Ứng Dụng trong môn Toán THCS là vấn đề hay và khó đối

💫 Sách - Bí quyết đạt điểm 10 chuyên đề Phương trình bất phương trình hệ bất phương trình bất đẳng thức và bài toán Min, Max

Bí Quyết Đạt Điểm 10 Môn Toán Chuyên Đề Phương Trình - Bất PT - Hệ PT - Bất Đẳng Thức - Min Max Bí Quyết Đạt Điểm 10 Môn Toán Chuyên Đề Phương Trình

💫 Bất Đẳng Thức Dưới Góc Nhìn Của Các Bổ Đề

Bất Đẳng Thức Dưới Góc Nhìn Của Các Bổ Đề Mỗi bài toán có một vai trò riêng của nó. Có bài được đề ra để kiểm tra khả năng tư duy, suy luận, có

💫 Phân Loại & Phương Pháp Giải Toán Bất Đẳng Thức

Chuyên đề Bất đẳng thức là một chuyên đề khá phức tạp, là câu lấy điểm 10 của đề thi Đại học. Trong mỗi kì thi có rất ít các bạn có thể giải được

💫 Combo Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán THCS Bất Đẳng Thức Và Cực Trị Trong Đại Số & Hình Học Phẳng

sinh giỏi toán THCS, thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên và năng khiếu. Trong quá trình học toán và dạy toán , chúng tôi đã tổng hợp và phân loại các phương pháp giải

💫 Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán THCS Chuyên Đề Bất Đẳng Thức & Cực Trị Hình Học

Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán THCS Bất Đẳng Thức & Cực Trị Trong Hình Học Phẳng Trong quá trình học toán và dạy toán, chúng tôi đã tổng hợp và phân loại

💫 VẺ ĐẸP BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN HỌC - TÁI BẢN

Vẻ Đẹp Bất Đẳng Thức Trong Các Kì Thi Olympic Toán Học Nếu yêu thích Toán học, chắc hẳn bạn sẽ không dưới một lần ước mơ mình được tham gia vào đội tuyển Olympic