nhỏ|phải|[[Chứng minh toán học#Chứng minh bằng hình ảnh|Chứng minh không cần lời của bất đẳng thức AM-GM.]] thumb|[[Chứng minh toán học#Chứng minh trực tiếp|Chứng minh trực quan cho thấy . Lấy căn bậc hai và chia cho hai ta được bất đẳng thức AM–GM.]] Trong toán học, bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Tên gọi đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân, nhưng thường được gọi vấn tắt là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means). Vì có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này nhưng cách chứng minh quy nạp của Cauchy được đánh giá là hiệu quả nhất nên nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này. Ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên. Theo cách gọi tên chung của quốc tế, bất đẳng thức Bunyakovsky có tên là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, còn bất đẳng thức Cauchy (phiên âm tiếng Việt: bất đẳng thức Cô-si) có tên là bất đẳng thức AM-GM.

Tổng quát

Bất đẳng thức AM-GM có thể được phát biểu như sau: :Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau. :Với 2 số thực không âm a và b: :::::$\backslash frac\{a+b\}\{2\}\; \backslash geq\; \backslash sqrt\{ab\}$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a\; =\; b$ : Với 3 số thực không âm a, b và c:

:::::$\backslash frac\{a+b+c\}\{3\}\; \backslash geq\; \backslash sqrt[3]\{abc\}$ :::::Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c : : :*Với n số thực không âm: :::::$\backslash frac\{x\_1\; +\; x\_2\; +...\; +\; x\_n\}\{n\}\; \backslash geq\; \backslash sqrt[n]\{x\_1.x\_2.....x\_n\}$ , với n là số tự nhiên lớn hơn 1 :::Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x\_1\; =\; x\_2\; =...\; =\; x\_n\backslash ,$

Trung bình có hệ số :

Cho n số x₁, x₂,..., x_n ≥ 0 và các hệ số α₁, α₂,..., α_n > 0

Đặt $\backslash alpha\; =\; \backslash alpha\_1\; +\; \backslash alpha\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash alpha\_n$.

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có hệ số, như sau:

:$\backslash frac\{\backslash alpha\_1\; x\_1\; +\; \backslash alpha\_2\; x\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash alpha\_n\; x\_n\}\{\backslash alpha\}\; \backslash geq\; \backslash sqrt[\backslash alpha]\{x\_1^\{\backslash alpha\_1\}\; x\_2^\{\backslash alpha\_2\}\; \backslash cdots\; x\_n^\{\backslash alpha\_n$

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi $x\_1\; =\; x\_2\; =\; \backslash cdots\; =\; x\_n$

Với các loại trung bình khác :

Trung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng

:$\backslash frac\; \{n\}\; \{\backslash frac\{1\}\{x\_1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\_2\}\; +...\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\_n\; \backslash leq\; \backslash sqrt[n]\{x\_1x\_2...x\_n\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{x\_1+x\_2+...+x\_n\}\{n\}$

Đẳng thức khi và chỉ khi $x\_1\; =\; x\_2\; =\; \backslash cdots\; =\; x\_n$

Ví dụ ứng dụng

Cho hàm số sau:

:$f(x,y,z)\; =\; \backslash frac\{x\}\{y\}\; +\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{y\}\{z\; +\; \backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{z\}\{x$

Với x, y và z là các số thực dương. Giả sử rằng ta phải tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

:

Vậy ta có giá trị nhỏ nhất của:

:$f(x,y,z)\; \backslash mbox\{\; là\; \}\; 2^\{2/3\}\; \backslash cdot\; 3^\{1/2\}\; \backslash quad\; \backslash mbox\{khi\}\; \backslash quad\; \backslash frac\{x\}\{y\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{y\}\{z\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{z\}\{x.$

Chứng minh bằng quy nạp

Đặt: :$\backslash mu=\backslash frac\{\backslash \; x\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; x\_n\}n$ Với x₁,...,x_n là các số thực không âm, bất đẳng thức tương đương với : :$\backslash mu^n\backslash ge\; x\_1\; x\_2\; \backslash cdots\; x\_n\backslash ,$

dấu bằng xảy ra nếu μ = x_i với mọi i = 1,...,n.

Chứng minh dưới đây áp dụng phương pháp quy nạp toán học.

Cơ sở: với n = 1 bất đẳng thức đúng.

Giả thiết quy nạp: giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n (n ≥ 1).

Quy nạp: xét n + 1 số thực không âm. Ta có:

:$(n+1)\backslash mu=\backslash \; x\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; x$n + x{n+1}.\, Nếu tất cả các số đều bằng μ, thì ta có đẳng thức và đã được chứng minh. Ngược lại, ta sẽ tìm được ít nhất một số nhỏ hơn μ và một số lớn hơn μ, không mất tính tổng quát, xem rằng: x_n > μ và x_n+1 < μ. Ta có:

:$(x$n-\mu)(\mu-x{n+1})>0\,.\qquad(*)

Xét n số sau: :$x$1, \ldots, x{n-1}, x_n' với $x\_n\text{'}=x$n+x{n+1}-\mu\ge x_n-\mu>0\,,

cũng là số không âm. Từ đó:

:$n\backslash mu=x$1 + \cdots + x{n-1} + \underbrace{xn+x{n+1}-\mu}_{=\,x_n'},

μ cũng là trung bình cộng của $x$1, \ldots, x{n-1}, x_n' và theo giả thuyết quy nạp ta có:

:$\backslash mu^\{n+1\}=\backslash mu^n\backslash cdot\backslash mu\backslash ge\; x\_1x$2 \cdots x{n-1} x_n'\mu.\qquad(**)

Mặt khác từ (*) ta có:

:$(\backslash underbrace\{x$n+x{n+1}-\mu}_{=\,x_n'})\mu-xnx{n+1}=(xn-\mu)(\mu-x{n+1})>0,

hay là

:$x\_n\text{'}\backslash mu>x$nx{n+1}\,,\qquad({}{}{*})

hiển nhiên μ > 0. Nếu có ít nhất một trong x₁,...,x_n−1 bằng không, ta dễ thấy bất đẳng thức đúng và dấu bằng không xảy ra. Ngược lại, từ (**) và (***) ta có:

:$\backslash mu^\{n+1\}>x\_1x$2 \cdots x{n-1} xnx{n+1}\,,

bất đẳng thức được chứng minh.

Chứng minh cho trường hợp không hệ số

Trường hợp n = 2

Với mọi thực $x\_1,\; x\_2\; \backslash geq\; 0$, ta luôn có:

:$(\backslash sqrt\{x\_1\}-\backslash sqrt\{x\_2\})^2\backslash geq0$

\Leftrightarrow x_1 - 2\sqrt{x_1x_2} + x_2 \geq0

\Leftrightarrow x_1 + x_2 \geq 2\sqrt{x_1x_2}

\Leftrightarrow \frac{x_1 + x_2}2 \geq \sqrt{x_1x_2}

Trường hợp n = 2k

Giả sử

:$\backslash frac\; \{x\_1\; +\; x\_2\; +...\; +x\_k\; \}k\; \backslash geq\; \backslash sqrt[k]\{x\_1x\_2...x\_k\}$

Ta có:

:$x\_1\; +x\_2+...+x$k+x{k+1}+x{k+2}+...+x{2k}\geq k\sqrt[k]{x_1x_2...xk}+k\sqrt[k]{x{k+1}x{k+2}...x{2k (1)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi với trường hợp $n=2$, ta lại có:

:$k\backslash sqrt[k]\{x\_1x\_2...x$k} + k\sqrt[k]{x{k+1}x{k+2}...x{2k\geq 2k\sqrt[2k]{x_1x2...x{2k (2)

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có được bất đẳng thức:

:$x\_1\; +x$2+...+x{2k}\geq 2k\sqrt[2k]{x_1x2...x{2k (đpcm)

Trường hợp n = 2k - 1

Giả sử

:$\backslash frac\; \{x\_1\; +\; x\_2\; +...\; +x\_k\; \}k\; \backslash geq\; \backslash sqrt[k]\{x\_1x\_2...x\_k\}$

Ta có:

:$x\_1\; +x\_2+...+x$k+x{k+1}+x{k+2}...+x{2k-1}+\sqrt[2k-1]{x_1x2...x{2k-1\geq k\sqrt[k]{x_1x_2...xk}+k\sqrt[k]{x{k+1}x{k+2}...x{2k-1}\sqrt[2k-1]{x_1x2...x{2k-1} (3)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với trường hợp $n=2$, ta lại có:

:$k\backslash sqrt[k]\{x\_1x\_2...x$k} + k\sqrt[k]{x{k+1}x_{k+2}...\sqrt[2k-1]{x_1x2...x{2k-1}\geq 2k\sqrt[2k]{x_1x2...x{2k-1}\sqrt[2k-1]{x_1x2...x{2k-1}=2k\sqrt[2k-1]{x_1x2...x{2k-1 (4)

Từ $(3)$ và $(4)$, ta có:

:$x\_1\; +x\_2+...+x$k+x{k+1}+...+x_{2k-1}+\sqrt[2k-1]{x_1x2...x{2k-1\geq 2k\sqrt[2k-1]{x_1x2...x{2k-1

Cuối cùng, ta được bất đẳng thức:

:$x\_1\; +x$2...+x{2k-1}\geq (2k-1)\sqrt[2k-1]{x_1x2...x{2k-1 (đpcm)

Chứng minh của Pólya

George Pólya đưa ra một chứng minh cho bất đẳng thức như sau:

Gọi f(x) = e^x−1 − x, có đạo hàm f(x) = e^x−1 − 1. Ta thấy f(1) = 0 và từ đó f có giá trị nhỏ nhất tại f(1) = 0. Từ đó x ≤ e^x−1 đối với mọi số thực x.

Xét một dãy các số thực không âm $a\_1,\; a\_2,\; \backslash dots,\; a\_n$ với trung bình cộng μ. Áp dụng bất đẳng thức ở trên ta có:

:$\{\; \backslash frac\{a\_1\}\{\backslash mu\}\; \backslash frac\{a\_2\}\{\backslash mu\}\; \backslash cdots\; \backslash frac\{a\_n\}\{\backslash mu\}\; \}\; \backslash le\; \{\; e^\{\backslash frac\{a\_1\}\{\backslash mu\}\; -\; 1\}\; e^\{\backslash frac\{a\_2\}\{\backslash mu\}\; -\; 1\}\; \backslash cdots\; e^\{\backslash frac\{a\_n\}\{\backslash mu\}\; -\; 1\}\; \}\; =\; \backslash exp\; \backslash left\; (\backslash frac\{a\_1\}\{\backslash mu\}\; -\; 1\; +\; \backslash frac\{a\_2\}\{\backslash mu\}\; -\; 1\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\{a\_n\}\{\backslash mu\}\; -\; 1\; \backslash right).\; \backslash qquad\; (1)$

Nhưng số mũ có thể rút gọn thành:

:$\backslash frac\{a\_1\}\{\backslash mu\}\; -\; 1\; +\; \backslash frac\{a\_2\}\{\backslash mu\}\; -\; 1\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\{a\_n\}\{\backslash mu\}\; -\; 1\; =\; \backslash frac\{(a\_1\; +\; a\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n)\}\{\backslash mu\}\; -\; n\; =\; n\; -\; n\; =\; 0.$

Trở lại (1),

:$\backslash frac\{a\_1\; a\_2\; \backslash cdots\; a\_n\}\{\backslash mu^n\}\; \backslash le\; e^0\; =\; 1$

và tương đương với: :$a\_1\; a\_2\; \backslash cdots\; a\_n\; \backslash le\; \backslash mu^n\; \backslash implies\; \backslash sqrt[n]\{a\_1\; a\_2\; \backslash cdots\; a\_n\}\; \backslash le\; \backslash mu.$

Chứng minh của Cauchy

Các trường hợp tất cả các giá trị bằng nhau

Nếu tất cả các giá trị bằng nhau:

:$x\_1\; =\; x\_2\; =\; \backslash cdots\; =\; x\_n$

tức tổng chúng là nx₁, do đó giá trị trung bình cộng là x₁; và tích các số dưới căn bậc hai là x₁ⁿ, do dó giá trị trung bình nhân lúc này là x₁; vì vậy, vế một và vế hai bằng nhau, điều phải chứng minh.

Các trường hợp các giá trị không bằng nhau

Nếu tất cả các giá trị bằng nhau không bằng nhau, thì giá trị trung bình cộng lớn hơn giá trị trung bình nhân. Rõ ràng, điều này chỉ có thể xảy ra khi n > 1. Trường hợp này khá phức tạp và được chia ra nhiều trường hợp để chứng minh.

Trường hợp n = 2

Nếu n = 2, tức có hai giá trị x₁ và x₂, và từ giả thiết ở trên, ta có:

:

Trường hợp n = 2^k

Xem xét các trường hợp n = 2 ^k, với k là một số nguyên dương. Chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học.

Trong trường hợp cơ bản, k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức đã được chứng minh ở trên.

Khi, có một giá trị k > 1 bất kỳ, giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n = 2^k−1, và cần chứng minh rằng nó vẫn đúng khi n = 2^k. Để làm như vậy, các bước được thực hiện như sau:

: $\backslash begin\{align\}\; \backslash frac\{x\_1\; +\; x$2 + \cdots + x{2^k{2^k} & {} =\frac{\frac{x_1 + x2 + \cdots + x{2^{k-1}{2^{k-1 + \frac{x{2^{k-1} + 1} + x{2^{k-1} + 2} + \cdots + x_{2^k{2^{k-1}{2} \[7pt] & \ge \frac{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 x2 \cdots x{2^{k-1} + \sqrt[2^{k-1}]{x{2^{k-1} + 1} x{2^{k-1} + 2} \cdots x_{2^k}{2} \[7pt] & \ge \sqrt{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 x2 \cdots x{2^{k-1} \sqrt[2^{k-1}]{x{2^{k-1} + 1} x{2^{k-1} + 2} \cdots x_{2^k} \[7pt] & = \sqrt[2^k]{x_1 x2 \cdots x{2^k \end{align}

với bất đẳng thức đầu tiên, hai bên đều bằng nhau chỉ khi cả hai điều sau đây là đúng:

:$x\_1\; =\; x$2 = \cdots = x{2^{k-1 :$x${2^{k-1}+1} = x{2^{k-1}+2} = \cdots = x_{2^k}

(Trong trường hợp này, trung bình số học thứ nhất và trung bình nhân thứ 1 bằng x₁, và tương tự với trung bình số học thứ hai và trung bình nhân thứ 2); và trong bất đẳng thức thứ hai, Hai bên chỉ bằng nhau nếu hai giá trị trung bình bằng nhau. Vì không phải tất cả hai ^k đều bằng nhau, không thể cho cả hai bất đẳng thức được đẳng, vì vậy chúng ta biết rằng:

:$\backslash frac\{x\_1\; +\; x$2 + \cdots + x{2^k{2^k} > \sqrt[2^k]{x_1 x2 \cdots x{2^k

(điều phải chứng minh).

Trường hợp n < 2^k

Nếu n không phải là một hàm mũ tự nhiên cơ số 2, thì nó chắc chắn là nhỏ hơn một số nào đó theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2, vì chuỗi 2, 4, 8,..., 2^k,... không bị chặn trên. Do đó, mà không mất tính tổng quát, với m giá trị tuân theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2 lớn hơn n.

Vì vậy, nếu ta có n số, thì ta có thể biểu diễn giá trị trung bình cộng α, và được mở rộng như sau:

:$x${n+1} = x{n+2} = \cdots = x_m = \alpha.

Sau đó ta có:

: n + x{n+1} + \cdots + x_m}{m} \[6pt] & > \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots xn x{n+1} \cdots x_m} \[6pt] & = \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n \alpha^{m-n\,, \end{align}

như vậy:

:

Ta suy ra điều phải chứng minh.

Ứng dụng

Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

Tổng của một số thực dương và nghịch đảo của nó luôn đạt giá trị tối thiểu là 2.

Hai số thực dương có tổng không đổi thì tích 2 số đó đạt giá trị lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.

Hai số thực dương có tích không đổi thì tổng 2 số đó đạt giá trị nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.

Ý nghĩa hình học của các hệ quả nêu trên

Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất

Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất

Trong các lĩnh vực khác

Việc sử dụng bất đẳng thức giúp chúng ta rất nhiều trong việc giải các phương trình vô tỉ. Ứng dụng trong Vật lý học để khảo sát công suất cực đại.