✨Bất đẳng thức Nesbitt

Trong toán học, bất đẳng thức Nesbitt (tiếng Anh: Nesbitt's inequality) là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Shapiro khi số phần tử là 3. Nó được phát biểu như sau:

Cho a,b,c là ba số thực dương. Khi đó ta có: :$\backslash frac\{a\}\{b+c\}+\backslash frac\{b\}\{a+c\}+\backslash frac\{c\}\{a+b\}\backslash geq\backslash frac\{3\}\{2\}.$

Chứng minh

Bất đẳng thức này có nhiều cách chứng minh. Dưới đây trình bày 2 cách.

Cách thứ nhất

Bắt đầu từ bất đẳng thức Nesbitt (đề xuất năm 1903) :$\backslash frac\{a\}\{b+c\}+\backslash frac\{b\}\{a+c\}+\backslash frac\{c\}\{a+b\}\backslash geq\backslash frac\{3\}\{2\}$ Biến đổi vế trái: :$\backslash frac\{a+b+c\}\{b+c\}+\backslash frac\{a+b+c\}\{a+c\}+\backslash frac\{a+b+c\}\{a+b\}-3\backslash geq\backslash frac\{3\}\{2\}.$ Thêm một bước biến đổi: :$[(a+b)+(a+c)+(b+c)]\backslash left(\backslash frac\{1\}\{a+b\}+\backslash frac\{1\}\{a+c\}+\backslash frac\{1\}\{b+c\}\backslash right)\backslash geq\; 9.$ :Điều này luôn đúng với mọi a,b,c thực dương (Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với 3 số dương) Chia cả hai vế cho 3 và chuyển vế: :$\backslash frac\{(a+b)+(a+c)+(b+c)\}\{3\}\backslash geq\backslash frac\{3\}\{\backslash frac\{1\}\{a+b\}+\backslash frac\{1\}\{a+c\}+\; \backslash frac\{1\}\{b+c.$ Vế trái là trung bình cộng, vế phải là trung bình điều hoà, do vậy bất đẳng thức đúng, ta có điều cần chứng minh.

(Ta cũng có thể sử dụng trung bình nhân của ba biến để chứng minh).

Cách thứ hai

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\; \backslash ge\; b\; \backslash ge\; c$, ta có: :$\backslash frac\; 1\; \{b+c\}\; \backslash ge\; \backslash frac\; 1\; \{a+c\}\; \backslash ge\; \backslash frac\; 1\; \{a+b\}$ Đặt: :$\backslash vec\; x\; =\; (a,\; b,\; c)$ :$\backslash vec\; y\; =\; (\backslash frac\; 1\; \{b+c\},\; \backslash frac\; 1\; \{a+c\},\; \backslash frac\; 1\; \{a+b\})$ Tích vô hướng của 2 vector trên cực đại theo Bất đẳng thức hoán vị nếu chúng được xếp cùng hướng. Đặt $\backslash vec\; y\_1$ và $\backslash vec\; y\_2$ là các vector thu được từ $\backslash vec\; y$ chuyển tương ứng 1 và 2 vị trí, ta có: :$\backslash vec\; x\; \backslash cdot\; \backslash vec\; y\; \backslash ge\; \backslash vec\; x\; \backslash cdot\; \backslash vec\; y\_1$

$\backslash vec\; x\; \backslash cdot\; \backslash vec\; y\; \backslash ge\; \backslash vec\; x\; \backslash cdot\; \backslash vec\; y\_2$

Cộng 2 bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức Nesbitt.

Bất đẳng thức nesbitt còn được viết dưới dạng tổng: