✨Bất đẳng thức Ky Fan

Bất đẳng thức Ky Fan là một bất đẳng thức liên quan đến trung bình cộng và trung bình nhân của một dãy số dương nằm trong đoạn [0,1/2]. Bất đẳng thức này là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Levinson

Bất đẳng thức Ky Fan được sử dụng trong lý thuyết trò chơi để tìm kiếm một trạng thái cân bằng.

Phát biểu cổ điển của bất đẳng thức

Cho x_i với 0 ≤ x_i ≤ ½ với i = 1,..., n là các số thực, khi đó

:$\backslash frac\{\; \backslash bigl(\backslash prod\_\{i=1\}^n\; x$i\bigr)^{1/n} } { \bigl(\prod{i=1}^n (1-xi)\bigr)^{1/n} } \le \frac{ \frac1n \sum{i=1}^n xi } { \frac1n \sum{i=1}^n (1-x_i) }

Nhận xét

Theo định nghĩa trung bình đại số và trung bình hình học của dãy x₁,. . ., x_n lần lượt.

:$A$n:=\frac1n\sum{i=1}^n x_i,\qquad Gn=\biggl(\prod{i=1}^n x_i\biggr)^{1/n}

Theo định nghĩa trung bình đại số và trung bình hình học của dãy 1 − x₁,. . ., 1 − x_n lần lượt:

Khi đó bất đẳng thức Ky Fan có thể viết lại dưới dạng:

:$\backslash frac\{G\_n\}\{G\_n\text{'}\}\backslash le\backslash frac\{A\_n\}\{A\_n\text{'}\},$

Tổng quát

Cho x_i ∈ [0,½] and γ_i ∈ [0,1] với i = 1,. . ., n là n số thực thỏa mãn γ₁ +. . . + γ_n = 1, thì:

:$\backslash frac\{\; \backslash prod\_\{i=1\}^n\; x\_i^\{\backslash gamma$i} } { \prod{i=1}^n (1-x_i)^{\gammai} } \le \frac{ \sum{i=1}^n \gamma_i xi } { \sum{i=1}^n \gamma_i (1-x_i) }

Nếu định nghĩa 0⁰:= 0. Khi đó dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

• Trường hợp 1: γ_ix_i = 0 với mọi i = 1,. . ., n or
• Trường hợp 2: x_i=x > 0 trong đó x ∈ (0,½] với mọi i = 1,. . ., n và γ_i > 0.