✨Bất đẳng thức cộng Chebyshev

Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Lvovich Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho

:$a\_1\; \backslash geq\; a\_2\; \backslash geq\; \backslash cdots\; \backslash geq\; a\_n$

và

:$b\_1\; \backslash geq\; b\_2\; \backslash geq\; \backslash cdots\; \backslash geq\; b\_n,$

thì

:$\{1\backslash over\; n\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; a\_kb$k \geq \left({1\over n}\sum{k=1}^n ak\right)\left({1\over n}\sum{k=1}^n b_k\right).

Tương tự, nếu

:$a\_1\; \backslash geq\; a\_2\; \backslash geq\; \backslash cdots\; \backslash geq\; a\_n$

và

:$b\_1\; \backslash leq\; b\_2\; \backslash leq\; \backslash cdots\; \backslash leq\; b\_n,$

thì

:$\{1\backslash over\; n\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; a\_kb$k \leq \left({1\over n}\sum{k=1}^n ak\right)\left({1\over n}\sum{k=1}^n b_k\right).

Chứng minh

Cách 1: Dùng bất đẳng thức hoán vị.

Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau

:$a\_1\; \backslash geq\; a\_2\; \backslash geq\; \backslash cdots\; \backslash geq\; a\_n\; \backslash ,$

và

:$b\_1\; \backslash geq\; b\_2\; \backslash geq\; \backslash cdots\; \backslash geq\; b\_n.\; \backslash ,$

Vậy thì, theo bất đẳng thức hoán vị, ta có

:$a\_1\; b\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\; b\_n\; \backslash ,$

là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên.

:$a\_1\; b\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\; b\_n\; =\; a\_1\; b\_1\; +\; a\_2\; b\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\; b\_n\; \backslash ,$

:$a\_1\; b\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\; b\_n\; \backslash geq\; a\_1\; b\_2\; +\; a\_2\; b\_3\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\; b\_1\; \backslash ,$

:$a\_1\; b\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\; b\_n\; \backslash geq\; a\_1\; b\_3\; +\; a\_2\; b\_4\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\; b\_2\; \backslash ,$

:: $\backslash vdots\; \backslash ,$

:$a\_1\; b\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\; b\_n\; \backslash geq\; a\_1\; b\_n\; +\; a\_2\; b\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a$n b{n-1} \,

Cộng vế theo vế, ta có:

:$n\; (a\_1\; b\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\; b\_n)\; \backslash geq\; (a\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n)\; (b\_1\; +\; h$

chia cả hai vế cho $n^2$, ta nhận được:

:$\backslash frac\; \{(a\_1\; b\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\; b\_n)\}\; \{n\}\; \backslash geq\; \backslash frac\; \{(a\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n)\}\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \{(b\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; b\_n)\}\{n\}.$

(điều phải chứng minh)

Cách 2: Phép biến đổi tương đương:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

Vậy ta có điều phải chứng minh.