✨Bất đẳng thức hoán vị

Trong toán học, bất đẳng thức hoán vị là:

Cho hai dãy số thực ($x\_n$),($y\_n$),(n∈N) thỏa mãn:

và

Với mỗi hoán vị ($z\_1,\; z\_2,...,\; z\_n$) của ($x\_1,\; x\_2,...,\; x\_n$) ta có:

Đẳng thức xảy ra khi một trong 2 dãy là "dừng", hoặc ($z\_1,\; z\_2,...,\; z\_n$) đồng bậc với ($x\_1,\; x\_2,...,\; x\_n$) hoặc ($x\_n,...,\; x\_2,\; x\_1$)

Hệ quả: Cho dãy số thực ($x\_n$),(n∈N) và ($z\_1,\; z\_2,...,\; z\_n$) là một hoán vị của ($x\_1,\; x\_2,...,\; x\_n$), ta có:

1/ $\{x\_1\}^2\; +\; \{x\_2\}^2\; +...\; +\; \{x\_n\}^2\; \backslash geq\; x\_1\; z\_1\; +\; x\_2\; z\_2\; +...\; +\; x\_n\; z\_n$

2/ $\backslash frac\{z\_1\}\{x\_1\}\; +\; \backslash frac\{z\_2\}\{x\_2\}\; +...\; +\; \backslash frac\{z\_n\}\{x\_n\}\; \backslash geq\; n$

Chứng minh

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

Theo khai triển Abel ta có:

Do $x\_1\backslash geq\; x\_2\backslash geq...\backslash geq\; x\_n$ và $y\_1\backslash geq\; y\_2\backslash geq...\backslash geq\; y\_n$ nên tổng trên luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Bất đẳng thức đã cho được chứng minh.