Trong lý thuyết xác suất, các bất đẳng thức Bernstein cho chặn trên của xác suất tổng các biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị lệch khỏi giá trị kì vọng. Trong trường hợp đơn giản nhất, nếu X₁, ..., X_n là các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập nhận giá trị +1 và −1 với xác suất 1/2, thì với mọi số thực dương $\backslash varepsilon$,

:$\backslash mathbf\{P\}\; \backslash left\{\backslash left|\backslash ;\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{i=1\}^n\; X\_i\backslash ;\backslash right|\; >\; \backslash varepsilon\; \backslash right\}\; \backslash leq\; 2\backslash exp\; \backslash left\{\; -\; \backslash frac\{n\backslash varepsilon^2\}\{\; 2\; (1\; +\; \backslash varepsilon/3)\; \}\; \backslash right\}.$

Các bất đẳng thức Bernstein được chứng minh và xuất bản bởi Sergei Bernstein trong thập niên 1920 và 1930. Sau này các bất đẳng thức này được phát hiện lại ở nhiều dạng khác nhau. Do đó nhiều trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Bernstein còn được gọi là chặn Chernoff, bất đẳng thức Hoeffding và bất đẳng thức Azuma.

Một số bất đẳng thức

1. Đặt X₁, ..., X_n là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị kì vọng bằng 0. Giả sử |X _i| ≤ M gần như chắc chắn, với mọi i. Khi đó, với mọi t dương,

:$\backslash mathbf\{P\}\; \backslash left\{\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; X\_i\; >\; t\; \backslash right\}\; \backslash leq\; \backslash exp\; \backslash left\{\; -\; \backslash frac\{t^2/2\}\{\backslash sum\; \backslash mathbf\{E\}\; X\_j^2\; +\; Mt/3\; \}\; \backslash right\}.$

2. Đặt X₁,..., X_n là các biến ngẫu nhiên độc lập. Giả sử với một số thực dương L nào đó và với mọi số nguyên k > 1,

:$\backslash mathbf\{E\}\; |X\_i^k|\; \backslash leq\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{E\}\; X\_i^2\}\{2\}\; L^\{k-2\}\; k!$

thì

:

3. Đặt X₁,..., X_n là các biến ngẫu nhiên độc lập. Giả sử

:$\backslash mathbf\{E\}\; |X\_i^k|\; \backslash leq\; \backslash frac\{k!\}\{4!\}\; \backslash left(\backslash frac\{L\}\{5\}\backslash right)^\{k-4\}$

với mọi số nguyên k > 3. Đặt $A\_k\; =\; \backslash sum\; \backslash mathbf\{E\}\; X\_i^k$. Thì,

:

4. Bernstein cũng chứng minh tổng quát hóa của các bất đẳng thức trên cho trường hợp các biến ngẫu nhiên phụ thuộc yếu. Chẳng hạn có thể mở rộng bất đẳng thức (2) như sau. Đặt X₁, ..., X_n là các biến ngẫu nhiên bất kì. Giả sử với mọi số nguyên i > 0,

$\backslash mathbf\{E\}\; \backslash left\{\; X\_\{i\}\; |\; X$1, \dots, X{i-1} \right} = 0,

$\backslash mathbf\{E\}\; \backslash left\{\; X\_i^2\; |\; X$1, \dots, X{i-1} \right} \leq R_i\; \mathbf{E} X_i^2,

$\backslash mathbf\{E\}\; \backslash left\{\; X\_i^k\; |\; X$1, \dots, X{i-1} \right}

\leq \frac{\mathbf{E} \left{ X_i^2 | X1, \dots, X{i-1} \right{2} \; L^{k-2} k! thì

:$\backslash mathbf\{P\}\; \backslash left\{\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; X$i \geq 2 t \sqrt{\sum{i=1}^n R_i \mathbf{E} Xi^2} \right} < \exp(-t^2), \text{ khi } 0 < t \leq \frac{\sqrt{\sum{i=1}^n R_i \mathbf{E} X_i^2{2L}.

Ý tưởng của chứng minh

Chứng minh sử dụng bất đẳng thức Markov cho biến ngẫu nhiên $\backslash exp\; \backslash left\{\; \backslash lambda\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; X\_j\; \backslash right\}$, với giá trị thích hợp cho tham số $\backslash lambda\; >\; 0$.