✨Bất đẳng thức Doob

Trong toán học, bất đẳng thức Doob cho martingale là một bất đẳng thức chặn trên xác suất một quá trình ngẫu nhiên vượt ra ngoài một giới hạn cho trước trong một khoảng thời gian nhất định. Bất đẳng thức này áp dụng cho mọi submartingale không âm (chẳng hạn như giá trị tuyệt đối của một martingale). Nó được chứng minh bởi nhà toán học Mỹ Joseph Leo Doob.

Phát biểu

Giả sử $X\_t$ là một submartingale không âm và đặt :$X$t^* = \sup{s\le t} X_s. Khi đó, :$\backslash mathbf\{P\}[X\_t^$ \ge c] \le \frac{\mathbf{E}[X_t]}{c} :$\backslash Vert\; X\_t^$ \Vert_p \le \frac{p}{p-1} \Vert X_t\Vert_p với mọi $c>0$ và $p>1$.

Các bất đẳng thức liên quan

Một hệ quả của bất đẳng thức Doob cho thời gian rời rạc là bất đẳng thức Kolmogorov: nếu X₁, X₂,... là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị thực và có giá trị kỳ vọng 0, thì

:$\backslash mathbf\{E\}\; \backslash big[\; X${1} + \dots + X{n} + X{n + 1} \big| X{1}, \dots, X{n} \big] ::$=\; X${1} + \dots + X{n} + \mathbf{E} \big[ X{n + 1} \big| X{1}, \dots, X{n} \big] ::$=\; X${1} + \cdots + X{n},

nên M_n = X₁ + ... + X_n là một martingale. Theo bất đẳng thức Jensen, $M\_n^2$ là một submartingale không âm nếu $M\_n$ là một martingale. Do đó, áp dụng bất đẳng thức Doob, ta có

:$\backslash mathbf\{P\}\; \backslash left[\; \backslash max${1 \leq i \leq n} \big| M{i} \big| \geq \lambda \right] \leq \frac{\mathbf{E} \big[ M_{n}^{2} \big]}{\lambda^{2,

Đây chính là bất đẳng thức Kolmogorov.

Ứng dụng: chuyển động Brown

Giả sử B là một chuyển động Brown một chiều. Khi đó

:$\backslash mathbf\{P\}\; \backslash left[\; \backslash sup${0 \leq t \leq T} B{t} \geq C \right] \leq \exp \left(- \frac{C^2}{2 T} \right).

Có thể chứng minh mệnh đề này như sau. Do hàm mũ đơn điệu tăng, với mọi λ không âm, ta có

:$\backslash left\{\; \backslash sup${0 \leq t \leq T} B{t} \geq C \right} = \left{ \sup{0 \leq t \leq T} \exp (\lambda B{t}) \geq \exp (\lambda C) \right}.

Do hàm mũ của chuyển động Brown là một submartingale không âm, theo bất đẳng thức Doob,

:{0 \leq t \leq T} B{t} \geq C \right] \ & = \mathbf{P} \left[ \sup{0 \leq t \leq T} \exp (\lambda B{t}) \geq \exp (\lambda C) \right] \ & \le \frac{\mathbf{E} \big[ \exp (\lambda B{T}) \big]}{\exp (\lambda C))} \ & \le \exp \left(\frac{\lambda^{2} T}{2} - \lambda C \right) \mbox{ do } \mathbf{E} \big[ \exp (\lambda B{t}) \big] \le \exp \left(\frac{\lambda^{2} t}{2} \right). \end{align}

Do vế trái không phụ thuộc λ, chọn λ sao cho vế phải là nhỏ nhất: λ = C / T cho ta bất đẳng thức cần chứng minh.