✨Bất đẳng thức Schur

Bất đẳng thức Schur được phát biểu như sau:

Cho $a,b,c,t$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng: $\backslash sum\backslash limits\_\{cyc\}\; a^t\; (a-b)(a-c)\backslash geqslant\; 0.$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=\; b=\; c$ hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại bằng $0$

Ngoài ra khi $t$ là một số nguyên dương chẵn thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực $a,\backslash ,b,\backslash ,c$

Chứng minh

Do vai trò của $a,\backslash ,b,\backslash ,c$ trong bài toán này là đối xứng nên không mất tính tổng quát, ta giả sử $a\backslash geqslant\; b\backslash geqslant\; c$.

Trường hợp $t\backslash geq\; 0$, biến đổi vế trái của bất đẳng thức để được:

Điều trên hiển nhiên đúng vì mọi số hạng của vế trái đều không âm.

Trường hợp , tương tự:

Chứng minh đặc biệt với trường hợp $r=\; 1$ thì:

Xét trường hợp $b=\; 0,\backslash ,c=\; 0$ thì bất đẳng thức đã cho tương đương với: $a^\{3\}\backslash geqslant\; 0$ hay $a\backslash geqslant\; 0$ (hiển nhiên đúng!)

Xét trường hợp $b+\; c>\; 0$ và biến đổi vế trái của bất đẳng thức để được:

Mở rộng

Tổng quát hóa bất đẳng thức Schur: Với $x,\backslash ,y,\backslash ,z$ là các số thực không âm, khi đó với $x\backslash geqslant\; y\backslash geqslant\; z$ và $a\backslash geqslant\; b\backslash geqslant\; c$ thì: