✨Bất đẳng thức Harnack

Bất đẳng thức Harnack là một bất đẳng thức bắt nguồn từ giải tích.

Cho $D=D(z\_0,R)$ là một quả cầu mở và f là một hàm điều hòa trên D sao cho f(z) không âm với mọi $z\; \backslash in\; D$. Khi đó bất đẳng thức sau đúng với mọi $z\; \backslash in\; D$:

:$0\backslash le\; f(z)\backslash le\; \backslash left(\backslash frac\{R\}\{R-\backslash left|z-z\_0\backslash right|\}\backslash right)^2f(z\_0).$

Đối với miền tổng quát $\backslash mathbf\{R\}^n$ bất đẳng thức được phát biểu như sau: Nếu $u(x)$ là hàm khả vi hai lần, điều hòa và không âm, $\backslash omega$ là một miền bị chặn với $\backslash bar\{\backslash omega\}\; \backslash subset\; \backslash Omega$, thì sẽ có một hằng số $C$ không phụ thuộc vào $\backslash Omega$ sao cho $\backslash sup${x \in \omega} u(x) \le C \inf{x \in \omega} u(x).