✨Bất đẳng thức Khinchin

Trong toán học, bất đẳng thức Khinchin, đặt theo tên của Aleksandr Khinchin là một định lý về xác suất, và thường được sử dụng trong giải tích. Ý tưởng về mặt định tính của bất đẳng thức là với mọi bộ $N$ số phức $x\_1,\backslash dots,x\_N\; \backslash in\backslash mathbb\{C\}$, nếu nhân mỗi số với một dấu ngẫu nhiên $\backslash pm\; 1$ rồi cộng lại, thì giá trị kì vọng của mô đun sẽ xấp xỉ bằng $\backslash sqrt\{|x\_1|^\{2\}+\backslash cdots\; +\; |x\_N|^\{2$.

Phát biểu định lý

Xét $N$ biến ngẫu nhiên độc lập $\{\backslash epsilon${n}}{n=1}^{N} cùng phân bố theo $P(\backslash epsilon\_n=\backslash pm1)=\backslash frac12$ với mọi $n=1\backslash ldots\; N$, nghĩa là một dãy phân bố theo phân phối Rademacher. Xét và $x\_1,...,x\_N\backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$. Khi đó

:$A$p \left(\sum{n=1}^{N}|x{n}|^{2} \right)^{\frac{1}{2 \leq \left(\mathbb{E}\Big|\sum{n=1}^{N}\epsilon{n}x{n}\Big|^{p} \right)^{1/p} \leq Bp \left(\sum{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{\frac{1}{2

với hai hằng số $A\_p,B\_p>0$ chỉ phụ thuộc vào $p$ (trong đó $\backslash mathbb\{E\}$ là giá trị kì vọng). Giá trị chặt của các hằng số $A\_p,B\_p$ được tìm ra bởi ; xem thêm chứng minh đơn giản hơn ở .

Ứng dụng trong giải tích

Bất đẳng thức này được sử dụng rộng rãi trong toán học chứ không chỉ ở lý thuyết xác suất. Một ví dụ sử dụng bất đẳng thức này trong giải tích là như sau: giả sử $T$ là một biến đổi tuyến tính giữa hai không gian L^p $L^p(X,\backslash mu)$ đến $L^p(Y,\backslash nu)$, , với chuẩn bị chặn, thì ta có thể dùng bất đẳng thức Khinchin để chứng minh

:$\backslash left|\backslash left(\backslash sum\_\{n=1\}^\{N\}|Tf$n|^{2} \right)^{\frac{1}{2\right|{L^p(Y,\nu)}\leq Cp\left|\left(\sum{n=1}^{N}|f{n}|^{2}\right)^{\frac{1}{2\right|{L^p(X,\mu)}

với hằng số $C\_p>0$ chỉ phụ thuộc $p$ và $|T|$.