✨Đạo hàm của các hàm lượng giác

Đạo hàm của các hàm lượng giác là phương pháp toán học tìm tốc độ biến thiên của một hàm số lượng giác theo sự biến thiên của biến số. Các hàm số lượng giác thường gặp là sin(x), cos(x) và tan(x).

Biết được đạo hàm của sin(x) và cos(x), chúng ta dễ dàng tìm được đạo hàm của các hàm lượng giác còn lại do chúng được biểu diễn bằng hai hàm trên, bằng cách dùng quy tắc thương. Phép chứng minh đạo hàm của sin(x) và cos(x) được diễn giải ở bên dưới, và từ đó cho phép tính đạo hàm của các hàm lương giác khác. Việc tính đạo hàm của hàm lượng giác ngược và một số hàm lượng giác thông dụng khác cũng được trình bày ở bên dưới.

Đạo hàm của các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược

:$\backslash left(\backslash sin(x)\backslash right)\text{'}\; =\; \backslash cos(x)$ :$\backslash left(\backslash cos(x)\backslash right)\text{'}\; =\; -\backslash sin(x)$ :$\backslash left(\backslash tan(x)\backslash right)\text{'}\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash sin(x)\}\{\backslash cos(x)\}\backslash right)\text{'}\; =\; \backslash frac\{\backslash cos^2(x)\; +\; \backslash sin^2(x)\}\{\backslash cos^2(x)\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash cos^2(x)\}\; =\; \backslash sec^2(x)$ :$\backslash left(\backslash cot(x)\backslash right)\text{'}\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash cos(x)\}\{\backslash sin(x)\}\backslash right)\text{'}\; =\; \backslash frac\{-\backslash sin^2(x)\; -\; \backslash cos^2(x)\}\{\backslash sin^2(x)\}\; =\; -(1+\backslash cot^2(x))\; =\; -\backslash csc^2(x)$ :$\backslash left(\backslash sec(x)\backslash right)\text{'}\; =\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{\backslash cos(x)\}\backslash right)\text{'}\; =\; \backslash frac\{\backslash sin(x)\}\{\backslash cos^2(x)\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash cos(x)\}.\backslash frac\{\backslash sin(x)\}\{\backslash cos(x)\}\; =\; \backslash sec(x)\backslash tan(x)$ :$\backslash left(\backslash csc(x)\backslash right)\text{'}\; =\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{\backslash sin(x)\}\backslash right)\text{'}\; =\; -\backslash frac\{\backslash cos(x)\}\{\backslash sin^2(x)\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash sin(x)\}.\backslash frac\{\backslash cos(x)\}\{\backslash sin(x)\}\; =\; -\backslash csc(x)\backslash cot(x)$ :$\backslash left(\backslash arcsin(x)\backslash right)\text{'}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-x^2$ :$\backslash left(\backslash arccos(x)\backslash right)\text{'}\; =\; \backslash frac\{-1\}\{\backslash sqrt\{1-x^2$ :$\backslash left(\backslash arctan(x)\backslash right)\text{'}\; =\; \backslash frac\{1\}\{x^2+1\}$ :

Chứng minh đạo hàm của hàm sin và cos

Giới hạn của $\backslash frac\{\backslash sin\; \backslash theta\; \}\{\backslash theta\; \}$ khi θ → 0

nhỏ|

Đường tròn tâm O bán kính r Cho đường tròn tâm O bán kính r (hình bên). Gọi θ là góc tại O tạo bởi OA và OK. Do ta giả định θ tiến dần tới 0, có thể xem θ là một số dương rất nhỏ: .

Gọi: R₁ là diện tích tam giác OAK, R₂ là diện tích hình quạt OAK, R₃ là diện tích tam giác OAL. Dễ thấy:
: Dùng công thức lượng giác, tính được diện tích tam giác OAK là :$\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash times\; ||OA||\; \backslash times\; ||OK||\; \backslash times\; \backslash sin\backslash theta\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}r^2\backslash sin\backslash theta\; \backslash ,.$ Diện tích hình quạt OAK là $\backslash frac\{1\}\{2\}r^2\backslash theta$, còn diện tích tam giác OAL là :$\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash times\; ||OA||\; \backslash times\; ||AL||\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash times\; r\; \backslash times\; r\; \backslash tan\backslash theta\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}r^2\backslash tan\backslash theta\; \backslash ,.$ Từ đó ta có: : Vì ta chia bất đẳng thức trên cho ½·r². Ngoài ra, vì dẫn đến , ta có thể chia bất đẳng thức cho sin(θ), từ đó: :

Theo định lý kẹp ta có :$\backslash lim\_\{\backslash theta\backslash to\; 0^+\}\backslash frac\{\backslash sin\backslash theta\}\{\backslash theta\}\; =\; 1\; \backslash ,.$

Trong trường hợp θ là số âm rất nhỏ là tiến dần tới 0, tức là: , sử dụng tính chất lẻ của hàm sin ta được: :$\backslash lim${\theta \to 0^-} \frac{\sin\theta}{\theta} = \lim{\theta\to 0^+}\frac{\sin(-\theta)}{-\theta} = \lim{\theta \to 0^+}\frac{-\sin\theta}{-\theta} = \lim{\theta\to 0^+}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \,. Và do đó: :$\backslash lim\_\{\backslash theta\backslash to\; 0\}\backslash frac\{\backslash sin\backslash theta\}\{\backslash theta\}\; =\; 1\; \backslash ,.$

Giới hạn của $\backslash frac\{\backslash cos\; \backslash theta\; -1\}\{\backslash theta\; \}$ khi θ → 0

Ta có :$\backslash lim${\theta \to 0} \left(\frac{\cos\theta - 1}{\theta}\right) = \lim{\theta \to 0} \left[ \left(\frac{\cos\theta - 1}{\theta} \right) \left(\frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right) \right] = \lim{\theta \to 0} \left(\frac{\cos^2\theta - 1}{\theta(\cos\theta + 1)} \right). Vì nên Do đó :$\backslash lim${\theta \to 0} \left(\frac{\cos\theta - 1}{\theta}\right) = \lim{\theta \to 0} \left(\frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)} \right) = \lim{\theta \to 0} \left(\frac{-\sin\theta}{\theta}\right) \times \lim_{\theta \to 0} \left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right) = (-1) \times \frac{0}{2} = 0 \,.

Đạo hàm của hàm sin

Theo định nghĩa đạo hàm: :$\backslash frac\{\backslash operatorname\{d\{\backslash operatorname\{d\}!\backslash theta\}\backslash ,\backslash sin\backslash theta\; =\; \backslash lim${\delta \to 0} \left(\frac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} \right). Dùng công thức biến đổi lượng giác và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được :$\backslash frac\{\backslash operatorname\{d\{\backslash operatorname\{d\}!\backslash theta\}\backslash ,\backslash sin\backslash theta\; =\; \backslash lim${\delta \to 0} \left(\frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta} \right) = \lim_{\delta \to 0} \left[ \left(\frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta\right) + \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta\right) \right] = (1\times\cos\theta) + (0\times\sin\theta) = \cos\theta \,.

Đạo hàm của hàm cos

Theo định nghĩa: :$\backslash frac\{\backslash operatorname\{d\{\backslash operatorname\{d\}!\backslash theta\}\backslash ,\backslash cos\backslash theta\; =\; \backslash lim${\delta \to 0} \left(\frac{\cos(\theta+\delta)-\cos\theta}{\delta} \right). Dùng công thức biến đổi lượng giác và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được :$\backslash frac\{\backslash operatorname\{d\{\backslash operatorname\{d\}!\backslash theta\}\backslash ,\backslash cos\backslash theta\; =\; \backslash lim${\delta \to 0} \left(\frac{\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta} \right) = \lim_{\delta \to 0} \left[ \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta\right) - \left(\frac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta\right) \right] = (0 \times \cos\theta) - (1 \times \sin\theta) = -\sin\theta \,.

Chứng minh đạo hàm của các hàm ngược

Đạo hàm của hàm arcsin

Cho

:$y=\backslash arcsin\; x\backslash ,!$

Trong đó

:$-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash le\; y\; \backslash le\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$

Thì ta có

:$\backslash sin\; y=x\backslash ,!$

Dùng đạo hàm ẩn và giải dy/dx:

:$\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash sin\; y=\{d\; \backslash over\; dx\}x$

:$\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash cos\; y=1\backslash ,!$

Thế $\backslash cos\; y\; =\; \backslash sqrt\{1-\backslash sin^2\; y\}$,

:$\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash sqrt\{1-\backslash sin^2\; y\}=1$

Thế $x=\backslash sin\; y$,

:$\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash sqrt\{1-x^2\}=1$

:$\{dy\; \backslash over\; dx\}=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-x^2$

Đạo hàm của hàm arccos

Cho

:$y=\backslash arccos\; x\backslash ,!$

Trong đó

:$0\; \backslash le\; y\; \backslash le\; \backslash pi$

Thì ta có

:$\backslash cos\; y=x\backslash ,!$

Dùng đạo hàm ẩn và giải dy/dx:

:$\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash cos\; y=\{d\; \backslash over\; dx\}x$

:$-\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash sin\; y=1$

Thế $\backslash sin\; y\; =\; \backslash sqrt\{1-\backslash cos^2\; y\}\backslash ,!$,

:$-\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash sqrt\{1-\backslash cos^2\; y\}\; =1$

Thế $x=\backslash cos\; y\backslash ,!$,

:$-\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash sqrt\{1-x^2\}\; =1$

:$\{dy\; \backslash over\; dx\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-x^2$

Đạo hàm của hàm arctang

Cho

:$y=\backslash arctan\; x\backslash ,!$

Trong đó

:

Thì ta có

:$\backslash tan\; y=x\backslash ,!$

Dùng đạo hàm ẩn và giải dy/dx

:$\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash tan\; y=\{d\; \backslash over\; dx\}x$

:$\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash sec^2\; y=1$

Thế $1+\backslash tan^2\; y\; =\; \backslash sec^2\; y\backslash ,!$,

:$\{dy\; \backslash over\; dx\}(1+\backslash tan^2\; y)=1$

Thế $x=\backslash tan\; y\backslash ,!$,

:$\{dy\; \backslash over\; dx\}(1+x^2)=1$

:$\{dy\; \backslash over\; dx\}=\backslash frac\{1\}\{1+x^2\}$