✨Hàm hyperbol

Hàm hyperbol

phải|Một tia đi qua gốc của hyperbol $\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1$ cắt hyperbol tại điểm $\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)$ , với $\scriptstyle a$ là 2 lần diện tích của hình giới hạn bởi tia và trục $\scriptstyle x$ . Đối với các điểm trên hyperbol nằm dưới trục $\scriptstyle x$ , diện tích được coi bằng âm (xem [[:Image:HyperbolicAnimation.gif|phiên bản hình động so sánh giữa hàm lượng giác và hàm hyperbol.]]

Trong toán học, hàm hyperbol (Hán - Việt: song khúc) có những tính chất tương tự như các hàm lượng giác thông thường. Những hàm hyperbol cơ bản gồm sin hyperbol "sinh", và cosin hyperbol "cosh", hàm tang hyperbol "tanh" và những hàm dẫn ra từ chúng, tương ứng như các hàm dẫn xuất trong hàm lượng giác. Hàm hyperbol ngược là các hàm sin hyperbol diện tích "arsinh" (hay "asinh" hoặc "arcsinh").

Giống như các điểm (cos t, sin t) nằm trên đường tròn bán kính đơn vị, các điểm (cosh t, sinh t) nằm trên phần bên phải của hyperbol đều. Các hàm Hyperbol xuất hiện nhiều trong các nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính hay gặp, phương trình xác định hình dạng dây xích treo giữa 2 điểm, và phương trình Laplace trong hệ tọa độ Descartes. Ngoài ra chúng còn xuất hiện nhiều trong các vấn đề bao gồm lý thuyết điện từ, sự truyền nhiệt, thủy động lực học, và thuyết tương đối hẹp.

Hàm hyperbol nhận giá trị thực đối với các tham số thực được gọi là góc hyperbol. Trong giải tích phức, chúng chính là những hàm mũ hữu tỉ, hay là hàm phân hình (meromorphic function).

Các hàm hyperbol được hai nhà toán học Vincenzo Riccati và Johann Heinrich Lambert độc lập đưa ra vào những năm 1760. Riccati sử dụng ký hiệu Sc. và Cc. ([co]sinus circulare) để nói đến các hàm lượng giác Sh. và Ch. ([co]sinus hyperbolico) để nói đến các hàm hyperbol. Lambert là người đã đưa ra các ký hiệu được sử dụng như ngày nay.

Biểu thức của các hàm hyperbol

nhỏ|sinh, cosh và tanh nhỏ|csch, sech và coth

Công thức biểu diễn các hàm hyperbol:

Sin hyperbol: :: $\sinh x = \frac {e^x - e^{-x {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x}$
Cos hyperbol: :: $\cosh x = \frac {e^x + e^{-x {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x}$
Tang hyperbol: :: $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x {e^x + e^{-x = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}$
Cotang hyperbol: :: $\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x {e^x - e^{-x = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}$
Sec hyperbol: :: $\operatorname{sech}\,x = \left(\cosh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}$
Cosec hyperbol: :: $\operatorname{csch}\,x = \left(\sinh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}$

Các hàm hyperbol có thể biểu diễn qua số phức:

Sin hyperbol: :: $\sinh x = - {\rm{i \sin {\rm{ix !$
Cos hyperbol: :: $\cosh x = \cos {\rm{ix !$
Tang hyperbol: :: $\tanh x = -{\rm{i \tan {\rm{ix !$
Cotang hyperbol: :: $\coth x = {\rm{i \cot {\rm{ix !$
Sec hyperbol: :: $\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i x} !$
Cosec hyperbol: :: $\operatorname{csch}\,x = {\rm{i\,\csc\,{\rm{ix !$

với i là đơn vị ảo định nghĩa là i² = −1.

Dạng phức trong các định nghĩa trên được dẫn ra từ công thức Euler.

Chú ý rằng, theo định nghĩa, sinh² x có nghĩa là (sinh x)², chứ không phải sinh(sinh x); và điều này tương tự cho các hàm hyperbol khác.

Mối quan hệ giữa các hàm hyperbol

: $\sinh(-x) = -\sinh x\,!$ : $\cosh(-x) = \cosh x\,!$

Từ đó:

: $\tanh(-x) = -\tanh x\,!$ : $\coth(-x) = -\coth x\,!$ : $\operatorname{sech}(-x) = \operatorname{sech}\, x\,!$ : $\operatorname{csch}(-x) = -\operatorname{csch}\, x\,!$

Theo quan hệ trên dễ thấy cosh x và sech x là các hàm chẵn; còn lại là các hàm lẻ.

: $\operatorname{arsech}\,x=\operatorname{arcosh} \frac{1}{x}$

: $\operatorname{arcsch}\,x=\operatorname{arsinh} \frac{1}{x}$

: $\operatorname{arcoth}\,x=\operatorname{artanh} \frac{1}{x}$

Sin hyperbol và cos hyperbol thỏa mãn đẳng thức : $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,$ tương tự như công thức lượng giác Pythagore:

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.\!

. Do vậy ta cũng có: :

\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x

\coth ^{2}x=1+\operatorname{csch}^{2}x

Tang hyperbol là nghiệm của bài toán giá trị biên phi tuyến:

: $\frac 1 2 f'' = f^3 - f \qquad; \qquad f(0) = f'(\infty) = 0$

Người ta đã chứng minh rằng diện tích giới hạn bởi cung cosh x luôn luôn bằng chiều dài của cung đó: : $\text{dien tich} = \int_a^b{ \cosh{x} } \ dx= \int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{d}{dx} \cosh{x}\right)^2} \ dx = \text{do dai cung}.$

Cộng các đối số

: $\begin{align}
\sinh(x + y) &= \sinh (x) \cosh (y) + \cosh (x) \sinh (y) \
\cosh(x + y) &= \cosh (x) \cosh (y) + \sinh (x) \sinh (y) \
\tanh(x + y) &= \frac{\tanh x +\tanh y}{1+ \tanh x \tanh y } \
\end{align}$

đặc biệt : $\begin{align}
\cosh (2x) &= \sinh^2{x} + \cosh^2{x} = 2\sinh^2 x + 1 = 2\cosh^2 x - 1\
\sinh (2x) &= 2\sinh x \cosh x
\end{align}$

Và: : $\begin{align}
\sinh x + \sinh y &= 2 \sinh \frac{x+y}{2} \cosh \frac{x-y}{2}\
\cosh x + \cosh y &= 2 \cosh \frac{x+y}{2} \cosh \frac{x-y}{2}\
\end{align}$

Công thức trừ

: $\begin{align}
\sinh(x - y) &= \sinh (x) \cosh (y) - \cosh (x) \sinh (y) \
\cosh(x - y) &= \cosh (x) \cosh (y) - \sinh (x) \sinh (y) \
\end{align}$

Và: : $\begin{align}
\sinh x - \sinh y &= 2 \cosh \frac{x+y}{2} \sinh \frac{x-y}{2}\
\cosh x - \cosh y &= 2 \sinh \frac{x+y}{2} \sinh \frac{x-y}{2}\
\end{align}$

Nguồn tham khảo.

Công thức tính một nửa đối số

: $\sinh\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sinh (x)}{\sqrt{2 (\cosh (x) + 1)} } = \sgn (x) \, \sqrt \frac{\cosh(x) - 1}{2}$

với sgn là hàm dấu.

: $\cosh\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt \frac{\cosh(x) + 1}{2}$

: $\tanh\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x) + 1} = \sgn (x) \, \sqrt \frac{\cosh(x)-1}{\cosh(x)+1} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$

Nếu x ≠ 0, thì

: $\tanh\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cosh(x) - 1}{\sinh(x)} = \coth (x) - \operatorname{csch} (x)$

Hàm hyperbol ngược

: $\operatorname {arsinh} \, x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1} \right)$

: $\operatorname {arcosh} \, x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1$

: $\operatorname {artanh} \, x=\tfrac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x};\left| x \right|<1$

: $\operatorname {arcoth} \, x=\tfrac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1};\left| x \right|>1$

: $\operatorname {arsech} \, x=\ln \frac{1+\sqrt{1-x^{2}{x};0<x\le 1$

: $\operatorname {arcsch} \, x=\ln \left(\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}{\left| x \right|} \right)$

Đạo hàm

: $\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}x}\sinh x = \cosh x \,$

: $\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}x}\cosh x = \sinh x \,$

: $\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}x}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \hbox{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,$

: $\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}x}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\hbox{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \,$

: $\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}x}\ \hbox{csch}\,x = - \coth x \ \hbox{csch}\,x \,$

: $\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}x}\ \hbox{sech}\,x = - \tanh x \ \hbox{sech}\,x \,$

: $\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}x}\, \operatorname{arsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1$

: $\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}x}\, \operatorname{arcosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1$

: $\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}x}\, \operatorname{artanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2, \left |x \right | < 1$

: $\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}x}\, \operatorname{arcoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2, \left |x \right | > 1$

: $\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}x}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}, 0 < x < 1$

: $\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}x}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}, x \neq 0$

Nguyên hàm

Xem thêm: Danh sách tích phân với hàm hyperbol

: $\int\sinh ax\,dx = a^{-1}\cosh ax + C$

: $\int\cosh ax\,dx = a^{-1}\sinh ax + C$

: $\int \tanh ax\,dx = a^{-1}\ln(\cosh ax) + C$

: $\int \coth ax\,dx = a^{-1}\ln(\sinh ax) + C$

: $\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2=\sinh ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C$

: $\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2=\cosh ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C$

: $\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2}$

: $\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}=a^{-1}\coth ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}$

: $\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2=-a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C$

: $\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2=-a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C$

với C là hằng số tích phân.

Khai triển chuỗi Taylor

Ta có thể biểu diễn các hàm hyperbol bằng chuỗi Taylor:

: $\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1{(2n+1)!}$ Hàm sinh x biểu diễn theo chuỗi Taylor chỉ với số mũ lẻ của x. Do vậy nó là hàm lẻ, hay, −sinh x = sinh(−x), và sinh 0 = 0.

: $\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n{(2n)!}$

Hàm cosh x biểu diễn theo chuỗi Taylor chỉ với số mũ chẵn của x. Do vậy nó là hàm chẵn, hay, nó đối xứng qua trục y. Tổng của chuỗi sinh và cosh là biểu thức chuỗi vô hạn của hàm mũ.

: $\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum$ {n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B{2n} x^{2n-1{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}

: $\coth x = x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = x^{-1} + \sum$ {n=1}^\infty \frac{2^{2n} B{2n} x^{2n-1 {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi (chuỗi Laurent)

: $\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum$ {n=0}^\infty \frac{E{2 n} x^{2n{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}

: $\operatorname {csch}\, x = x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = x^{-1} + \sum$ {n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B{2n} x^{2n-1{(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi (chuỗi Laurent)

với

: $B_n \,$ là số Bernoulli thứ n : $E_n \,$ là số Euler thứ n

Liên hệ với hàm mũ

Từ định nghĩa của sinh và cosh hyperbol, ta có các đồng nhất thức sau:

: $e^x = \cosh x + \sinh x$

và

: $e^{-x} = \cosh x - \sinh x$

Các biểu thức trên tương tự như các hàm sin và cosin, dựa trên công thức Euler, như là tổng của hai mũ lũy thừa.

Thêm vào đó, : $e^x = \sqrt{\frac{1 + \tanh x}{1 - \tanh x = \frac{1 + \tanh \frac{x}{2{1 - \tanh \frac{x}{2$

Hàm hyperbol cho số phức

Vì hàm mũ được định nghĩa cho cả số phức, có thể mở rộng định nghĩa hàm hyperbol cho các đối số phức. Khi ấy các hàm sinh z và cosh z là những hàm chỉnh hình (Holomorphic function).

Các mối liên hệ giữa các hàm lượng giác thường được cho bởi công thức Euler và áp dụng cho các biến phức:

: $\begin{align}
e^{i x} &= \cos x + i \;\sin x \
e^{-i x} &= \cos x - i \;\sin x
\end{align}$

do đó:

: $\begin{align}
\cosh(ix) &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} + e^{-i x}\right) = \cos x \
\sinh(ix) &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} - e^{-i x}\right) = i \sin x \
\cosh(x+iy) &= \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \
\sinh(x+iy) &= \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \
\tanh(ix) &= i \tan x \
\cosh x &= \cos(ix) \
\sinh x &= - i \sin(ix) \
\tanh x &= - i \tan(ix)
\end{align}$

Vì vậy các hàm hyperbol phức là những hàm tuần hoàn theo phần ảo, với chu kỳ $2 \pi i$ (và $\pi i$ cho các hàm tang và cotang hyperbol).

👁️ 1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Hàm hyperbol

phải|Một tia đi qua gốc của hyperbol

\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1

cắt hyperbol tại điểm

\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)

, với

\scriptstyle a

là 2 lần diện tích của hình giới hạn bởi tia và trục

💫 Hàm softmax

Trong toán học, **hàm softmax**, hoặc **hàm trung bình mũ**, Biệt thức tuyến tính phân tích nhiều lớp, Phương pháp phân loại Bayes, và mạng neuron. Đặc biệt, trong hồi quy logistic đa biến và

💫 Hàm hyperbolic ngược

thumb|right|Một tia qua [[đường hyperbol đơn vị

\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1

ở điểm

\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)

, khi

\scriptstyle a

gấp hai lần diện tích giữa tia, đường hyperbol, và trục

\scriptstyle x

]] thumb|right|Hàm hyperbolic

💫 Hyperbol

Trong toán học, **hyperbol** hay **hypecbol** (từ tiếng Hy Lạp: ὑπερβολή, nghĩa đen là "vượt quá" hay "thái quá") là một kiểu Đường cô-nic, được định nghĩa là đường giao của một mặt nón với

💫 Hàm số bậc hai

**Hàm số bậc hai** là hàm số có dạng

ax^2+bx+c=y

trong đó

a,b,c

là các hằng số và

{\displaystyle (a\neq 0)}

. Hệ số hoàn toàn có thể ở y. x và y lần lượt

💫 Logarit

💫 Logarit tự nhiên

thumb|right|300 px|Đồ thị hàm số của logarit tự nhiên. **Logarit tự nhiên** (còn gọi là logarit Nêpe) là logarit cơ số e do nhà toán học John Napier sáng tạo ra. Ký hiệu là: ln(x),

💫 Biểu thức dạng đóng

Trong toán học, một **biểu thức dạng đóng** là một biểu thức toán học có thể được tính toán với số phép toán hữu hạn. Nó có thể chứa hằng số, biến số, một số

💫 Nghịch đảo phép nhân

phải|nhỏ|300x300px|Hàm nghịch đảo: . Đối với mỗi _x_ khác 0, _y_ thể hiện nghịch đảo phép nhân của x. Đồ thị tạo thành một [[hyperbol.]] Trong toán học, một **nghịch đảo phép nhân** của một

💫 Công thức De Moivre

Trong toán học, **công thức de Moivre** (hay **định thức de Moivre, đẳng thức de Moivre**, tiếng Anh: _de Moivre's formula_) phát biểu rằng với mọi số thực **' và số nguyên **', đẳng thức

💫 Hình cầu đơn vị

phải|khung|Một số lĩnh vực.

\|\boldsymbol{x}\|_2

là chuẩn cho [[không gian Euclide, thảo luận trong phần đầu tiên bên dưới.]] Trong toán học, một **đơn vị cầu** là các tập hợp của các điểm có **khoảng

💫 Thị lực

**Thị lực** (**VA**) thường được hiểu là khả năng nhìn rõ trong thị giác, nhưng thực chất đó là khả năng nhận biết được các chi tiết nhỏ một cách chính xác. Thị lực phụ

💫 Lý thuyết nhóm hình học

nhỏ|[[Đồ thị Cayley của nhóm tự do có hai phần tử sinh. Đây là nhóm hyperbol có biên Gromov là tập Cantor. Tương tự với đồ thị Cayley, nhóm hyperbol và biên của nó là

💫 Địa chấn phản xạ

Thăm dò **Địa chấn phản xạ** (Seismic Reflection), là một phương pháp của _địa vật lý thăm dò_, phát sóng đàn hồi vào môi trường và bố trí thu trên mặt các _sóng phản xạ_

💫 Bao lồi

nhỏ|Bao lồi của tập hợp màu đỏ là [[tập lồi màu xanh và màu đỏ.]] Trong hình học, **bao lồi** của một hình là tập hợp lồi nhỏ nhất chứa hình đó. Bao lồi có

💫 Hệ tọa độ elíp

thumb|Hệ tọa độ elíp Trong toán học và hình học, **hệ tọa độ elíp** là một hệ tọa độ trực giao hai chiều trong đó các đường tọa độ là các đường elíp và hyperbol

💫 Danh sách nhà toán học Do Thái

Đây là **danh sách các nhà toán học người Do Thái**, bao gồm các nhà toán học và các nhà thống kê học, những người đang hoặc đã từng là người Do Thái hoặc có

💫 E (số)

nhỏ|254x254px|Đồ thị của hàm số . là số duy nhất lớn hơn 1 sao cho diện tích phần được tô màu bằng 1. Số **** là một hằng số toán học có giá trị gần

💫 Quan hệ hai ngôi

Trong toán học, một **quan hệ hai ngôi** (hay còn gọi là _quan hệ nhị phân_) trên hai tập _A_ và _B_ là một tập các cặp được sắp (_a_, _b_), chứa các phần tử

💫 Quá trình đẳng nhiệt

**Quá trình đẳng nhiệt** (tiếng Anh:_isothermal process_) là quá trình biến đổi trạng thái của chất khí trong điều kiện nhiệt độ không thay đổi. ## Mối liên hệ giữa thể tích khí và áp

💫 Số phận sau cùng của vũ trụ

**Giả thuyết về sự kết thúc của vũ trụ** là một chủ đề trong vật lý vũ trụ. Các giả thiết khoa học trái ngược nhau đã dự đoán ra nhiều khả năng kết thúc

💫 Công thức tang góc chia đôi

Trong lượng giác, **công thức tang góc chia đôi** biểu diễn quan hệ giữa các hàm lượng giác của một góc với tang của một nửa góc đó: :

\tan\tfrac{1}{2}\theta = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} =

💫 Hệ tọa độ cực

Các điểm trong hệ tọa độ cực với gốc cực _O_ và trục cực _L_. Điểm màu xanh lá có bán kính là 3 và góc phương vị là 60°, tọa độ là (3, 60°).

💫 USS West Virginia (BB-48)

**USS _West Virginia_ (BB-48)** (tên lóng "Wee Vee"), là một thiết giáp hạm thuộc lớp _Colorado_, và là chiếc tàu chiến thứ hai của Hải quân Hoa Kỳ được đặt cái tên này nhằm tôn

💫 Henri Poincaré

** Jules Henri Poincaré ** (29 tháng 4 năm 1854 – 17 tháng 6 năm 1912) là một nhà toán học, nhà vật lý lý thuyết, và là một triết gia người Pháp. Ông là

💫 Torch (học máy)

**Torch** là một thư viện học máy mã nguồn mở, một framework tính toán khoa học và là một ngôn ngữ kịch bản dựa trên ngôn ngữ lập trình Lua. Nó cung cấp một lượng

💫 ISO 31-11

**ISO 31-11** là một phần của các tiêu chuẩn quốc tế ISO 31 định nghĩa các ký hiệu toán học sử dụng trong vật lý và kỹ thuật. ## Nội dung ISO 31-11 ### Logíc

💫 Elip

thumb|Một hình elip (đỏ) bao quanh mặt cắt của một [[hình nón với một mặt phẳng nghiêng]] thumb|Các thành phần của hình elip thumb|Các hình elip với tâm sai tăng dần Trong toán học, một

💫 Lịch sử thuyết tương đối hẹp

**Lịch sử của thuyết tương đối hẹp** bao gồm rất nhiều kết quả lý thuyết và thực nghiệm do nhiều nhà bác học khám phá như Albert Abraham Michelson, Hendrik Lorentz, Henri Poincaré và nhiều

💫 Tiếp tuyến

**Tiếp tuyến** của một đường cong tại một điểm bất kỳ thuộc đường cong là một đường thẳng chỉ "chạm" vào đường cong tại điểm đó. Leibniz định nghĩa tiếp tuyến như một đường thẳng

💫 Kinh tế học hành vi

**Kinh tế học hành vi** và lĩnh vực liên quan, **tài chính hành vi**, nghiên cứu các ảnh hưởng của xã hội, nhận thức, và các yếu tố cảm xúc trên các quyết định kinh

💫 Radar xuyên đất

thumb|Diễn giải đo Radar xuyên đất thumb|Đo ngoài thực địa với bộ máy có lắp bánh xe đẩy **Radar xuyên đất** (, _GPR_) còn gọi là _Radar quét_, hay _Georada_ là một phương pháp của

💫 Định lý Blaschke–Lebesgue

thumb|Một [[tam giác Reuleaux, một đường cong có chiều rộng không đổi với diện tích nhỏ nhất trong số những tập lồi có cùng chiều rộng.]] Trong hình học phẳng, **định lý Blaschke–Lebesgue** hay **bất

💫 Tỉ lệ nghịch

nhỏ|300x300px|Hai đại lượng x,y tỉ lệ nghịch, được biểu diễn qua đồ thị hàm số

y=\frac{a}{x}

|thế= **Tỉ lệ nghịch** là mối tương quan giữa hai đại lượng, mà nếu tăng đại lượng này bao nhiêu

💫 Sao chổi

**Sao chổi** là thiên thể gần giống tiểu hành tinh nhưng không cấu tạo nhiều từ đất đá, mà chủ yếu là băng. Nó được miêu tả bởi một số chuyên gia bằng cụm từ

💫 Cáp Nhĩ Tân

**Cáp Nhĩ Tân** là một địa cấp thị và thủ phủ của tỉnh Hắc Long Giang ở phía Đông Bắc Trung Quốc. Cáp Nhĩ Tân là thành phố đông dân thứ 8 của Trung Quốc

💫 Động năng

thumb|Tàu lượn siêu tốc đạt đến động năng cực đại khi ở vị trí thấp nhất của đường ray. Khi nó bắt đầu đi lên, động năng bắt đầu chuyển thành thế năng trọng trường.

💫 Máy gia tốc hạt tuyến tính

phải|nhỏ|375x375px|Máy Linac ở trong máy gia tốc [[Australian Synchrotron sử dụng sóng vô tuyến từ một máy cộng hưởng ờ đầu linac để gia tốc chùm electron lên đến năng lượng bằng 100 MeV.]] **Máy