✨Hàm hyperbolic ngược

Hàm hyperbolic ngược

thumb|right|Một tia qua [[đường hyperbol đơn vị $\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1$ ở điểm $\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)$ , khi $\scriptstyle a$ gấp hai lần diện tích giữa tia, đường hyperbol, và trục $\scriptstyle x$ ]] thumb|right|Hàm hyperbolic ngược Trong toán học, hàm hyperbolic ngược hay hàm hyperbolic nghịch đảo là hàm ngược của hàm hyperbolic.

Cho một giá trị của hàm hyperbolic, ta được một hàm hyperbolic ngược tương ứng với một góc hyperbolic tương ứng. Độ lớn góc hyperbolic tương ứng sẽ bằng diện tích của vùng hyperbolic tương ứng của một đường hyperbol , hoặc gấp hai lần diện tích của vùng tương ứng của đường hyperbola đơn vị , khi mà góc tròn gấp hai lần diện tích của hình quạt tròn của đường tròn đơn vị. Nhiều tác giả đã gọi hàm hyperbolic ngược là "hàm diện tích" để nhận ra góc hyperbolic.

Chuyển đổi

: $\ln x = \operatorname{artanh} \left( \frac{x^2-1}{x^2+1}\right)
= \operatorname{arsinh} \left( \frac{x^2-1}{2 x}\right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac{x^2+1}{2 x}\right)$

: $\operatorname{artanh} x
= \operatorname{arsinh} \left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2\right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2\right)$

: $\operatorname{arsinh} x
= \operatorname{artanh} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2\right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \sqrt{1+x^2}\right)$

: $\operatorname{arcosh} x
= \left| \operatorname{arsinh} \left( \sqrt{x^2-1}\right) \right|
= \left| \operatorname{artanh} \left( \frac{\sqrt{x^2-1{x}
\right) \right|$

Đạo hàm

: $\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2+1, \text{ với mọi số thực } x\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1, \text{ với mọi số thực } x>1\
\frac{d}{dx} \operatorname{artanh} x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \text{ với mọi số thực } |x|<1\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcoth} x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \text{ với mọi số thực } |x|>1\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech} x & {}= \frac{-1}{x\sqrt{1-x^2, \text{ với mọi số thực } x \in (0,1)\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch} x & {}= \frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2, \text{ với mọi số thực } x\text{, ngoại trừ } 0\
\end{align}$

Ví dụ vi phân: cho θ = arsinh x, vậy (khi sinh² θ = (sinh θ)²): : $\frac{d\,\operatorname{arsinh} x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2.$

Khai triển biểu thức

Biểu thức sau đây có thể được khai triển:

: $\begin{align}\operatorname{arsinh} x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} \pm\cdots \
& = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1 {2n+1} , \qquad \left| x \right| < 1 \end{align}$

: $\begin{align}\operatorname{arcosh} x & = \ln(2x) - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2 {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4 {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6 {6} +\cdots \right) \
& = \ln(2x) - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n {2n} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}$

: $\begin{align}\operatorname{artanh} x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \
& = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1 {2n+1} , \qquad \left| x \right| < 1 \end{align}$

: $\begin{align}\operatorname{arcsch} x = \operatorname{arsinh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3 {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5 {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7 {7} \pm\cdots \
& = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1) {2n+1} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}$

: $\begin{align}\operatorname{arsech} x = \operatorname{arcosh} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2 {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4 {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6 {6} +\cdots \right) \
& = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n {2n} , \qquad 0 < x \le 1 \end{align}$

: $\begin{align}\operatorname{arcoth} x = \operatorname{artanh} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3 {3} + \frac {x^{-5 {5} + \frac {x^{-7 {7} +\cdots \
& = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1) {2n+1} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}$ Khai triển tiệm cận cho hàm arsinh x được cho bởi

: $\operatorname{arsinh} x = \ln(2x) + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac} \frac{1}$

Biểu thị đồ họa

👁️ 1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Hàm hyperbolic ngược

thumb|right|Một tia qua [[đường hyperbol đơn vị

\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1

ở điểm

\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)

, khi

\scriptstyle a

gấp hai lần diện tích giữa tia, đường hyperbol, và trục

\scriptstyle x

]] thumb|right|Hàm hyperbolic

💫 Danh sách tích phân với hàm hyperbolic ngược

Dưới đây là **danh sách các tích phân với hàm hyperbolic ngược**. :

\int\mathrm{arsinh}\,\frac{x}{c}\,dx = x\,\mathrm{arsinh}\,\frac{x}{c}-\sqrt{x^2+c^2}

\int\mathrm{arcosh}\,\frac{x}{c}\,dx = x\,\mathrm{arcosh}\,\frac{x}{c}-\sqrt{x^2-c^2}

\int\mathrm{artanh}\,\frac{x}{c}\,dx = x\,\mathrm{artanh}\,\frac{x}{c} + \frac{c}{2}\ln|c^2 - x^2| \qquad\mbox{(}|x|<|c|\mbox{)}

\int\mathrm{arcoth}\,\frac{x}{c}\,dx = x\,\mathrm{arcoth}\,\frac{x}{c} + \frac{c}{2}\ln|x^2

💫 Hàm sigmoid

thumb|right|[[Hàm Lôgit]] thumb|Biểu đồ của [[hàm lỗi]] **Hàm sigmoid** là một hàm số có dạng đường cong hình "S" hay còn gọi là ** đường cong sigmoid**. Một ví dụ phổ biến của một hàm

💫 Hàm số sơ cấp

Trong toán học, một **hàm số sơ cấp** là một hàm của một biến số và là tổ hợp của một số hữu hạn các phép toán số học , hàm mũ, logarit, hằng số

💫 Hàm số cơ bản

Trong toán học, một **hàm số cơ bản** là một hàm một biến số và là tổ hợp của một số hữu hạn các phép toán số học , hàm mũ, logarit, hằng số và

💫 Logarit

💫 Nhiễu xạ điện tử tán xạ ngược

**Nhiễu xạ điện tử tán xạ ngược** (**EBSD**) là một kỹ thuật sử dụng máy quét điện tử (SEM) để nghiên cứu cấu trúc tinh thể của các vật liệu. EBSD được thực hiện trên

💫 Chuỗi Taylor

phải|Hình vẽ miêu tả [[hàm số sin(_x_) và các xấp xỉ Taylor của nó, tức là các đa thức Taylor bậc 1, 3, 5, 7, 9, 11 và

💫 Thuyết tương đối hẹp

Trong vật lý học, **thuyết tương đối hẹp** (**SR**, hay còn gọi là **thuyết tương đối đặc biệt** hoặc **STR**) là một lý thuyết vật lý đã được xác nhận bằng thực nghiệm và chấp

💫 Hệ thống phi tuyến

Trong vật lý và các ngành khoa học khác, một **hệ thống phi tuyến**, trái ngược với một hệ thống tuyến tính, là một hệ thống mà không thỏa mãn nguyên tắc xếp chồng -

💫 Mạch điện RLC

thumb|Hình minh họa hoạt động của một [[mạch LC, là một mạch RLC không có trở kháng. Dòng chảy qua lại giữa các bản tụ và xuyên qua cuộn cảm. Năng lượng dao động qua

💫 Định lý Pythagoras

**Định lý Pythagoras**
Tổng diện tích của hai hình vuông có cạnh là hai cạnh vuông của tam giác vuông (_a_ và _b_) bằng diện tích của hình vuông có cạnh là cạnh huyền (_c_). Trong

💫 Nhóm (toán học)

thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán

💫 Lịch sử toán học

_Cuốn [[The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing_]] Từ _toán học_ có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể

💫 Danh sách thuật toán

Bài viết này là **danh sách các thuật toán** cùng một mô tả ngắn cho mỗi thuật toán. ## Thuật toán tổ hợp ### Thuật toán tổ hợp tổng quát * Thuật toán Brent: tìm

💫 Hằng số Catalan

Trong toán học và tổ hợp, **hằng số Catalan** , đặt tên theo nhà toán học Eugène Charles Catalan, được định nghĩa là :

G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2}

💫 Địa chấn phản xạ

Thăm dò **Địa chấn phản xạ** (Seismic Reflection), là một phương pháp của _địa vật lý thăm dò_, phát sóng đàn hồi vào môi trường và bố trí thu trên mặt các _sóng phản xạ_

💫 Không gian mêtric

Trong toán học, **không gian mêtric** là một tập hợp mà một khái niệm của khoảng cách (được gọi là mêtric) giữa các phần tử của tập hợp đã được định nghĩa. Không gian mêtric

💫 Phương pháp chụp sốc

Trong động lực học chất lưu tính toán, các **phương pháp chụp sốc** là một loại kỹ thuật sử dụng cho việc tính toán dòng chảy không nhớt với sóng xung kích (shock waves). Tính

💫 Mặt (tô pô)

thumb|right| Mặt yên ngựa (mặt hyperbolic paraboloid). thumb|right|Chai Klein trong không gian 3 chiều. Trong toán học, cụ thể là trong topo, một **mặt** là một đa tạp topo 2 chiều. Ví dụ quen thuộc

💫 Kinh tế học hành vi

**Kinh tế học hành vi** và lĩnh vực liên quan, **tài chính hành vi**, nghiên cứu các ảnh hưởng của xã hội, nhận thức, và các yếu tố cảm xúc trên các quyết định kinh

💫 Đường giới hạn khả năng sản xuất

**Đường giới hạn khả năng sản xuất** (tiếng Anh: _Production possibility frontier_, viết tắt là **PPF**) Trong kinh tế vĩ mô, một **đường giới hạn sản xuất (PPF)**, **đường cong khả năng sản xuất (PPC)**,

💫 Nguyễn Cảnh Toàn

**Nguyễn Cảnh Toàn** (28 tháng 9 năm 1926 – 8 tháng 2 năm 2017) là một Giáo sư Toán học Việt Nam, nguyên Hiệu trưởng trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Đại học Sư