thumb|Một hình elip (đỏ) bao quanh mặt cắt của một [[hình nón với một mặt phẳng nghiêng]] thumb|Các thành phần của hình elip thumb|Các hình elip với tâm sai tăng dần Trong toán học, một hình elip là một đường cong phẳng xung quanh hai tiêu điểm, sao cho với mọi điểm trên đường cong, tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là hằng số. Hình tròn là trường hợp đặc biệt của đường elip khi hai tiêu điểm trùng nhau. Độ dẹt của hình elip được biểu diễn bằng tâm sai của nó, chạy từ (trường hợp của đường tròn) đến (độ dẹt vô hạn, không còn là elip mà là một parabol).

Phương trình chính tắc của một elip với tâm là gốc tọa độ và chiều dài và chiều rộng là: : $\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}+\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1.$

Giả sử , các tiêu điểm có tọa độ với $c\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; -\; b^2\}$. Phương trình tham số của elip là: : $(x,y)\; =\; (a\backslash cos(t),b\backslash sin(t))\; \backslash qquad\; \backslash quad\; 0\backslash leq\; t\backslash leq\; 2\backslash pi.$

Elip là một loại đường conic đóng: một đường cong phẳng bao quanh mặt cắt của một hình nón với một mặt phẳng nghiêng (xem hình bên). Elip có nhiều điểm tương đồng với hai đường conic khác là parabol và hyperbol, cả hai đều hở và không có giới hạn. Một mặt cắt nghiêng của một hình trụ tròn cũng có hình elip.

Một hình elip cũng có thể được định nghĩa chỉ với một tiêu điểm và một đường thẳng nằm ngoại elip gọi là đường chuẩn: elip là quỹ tích các điểm có tỉ số khoảng cách tới tiêu điểm và đường chuẩn là hằng số. Hằng số tỉ lệ này chính là tâm sai của elip được tạo thành: : $e\; =\; \backslash frac\{c\}\{a\}\; =\; \backslash sqrt\{1\; -\; \backslash frac\{b^2\}\{a^2$.

Hình elip rất thông dụng trong vật lý, thiên văn và kỹ thuật. Ví dụ, quỹ đạo của mỗi hành tinh trong hệ Mặt Trời gần giống một hình elip với Mặt Trời là một tiêu điểm (chính xác, tiêu điểm là tâm tỉ cự của cặp Mặt Trờihành tinh). Quỹ đạo của mặt trăng xoay quanh hành tinh và tất cả cả hệ hai thiên thể khác đều như thế. Hình dạng của các hành tinh và sao thường được mô tả bằng hình ellipsoid. Một hình tròn nhìn từ một góc nghiêng trông giống một hình elíp, tức hình elip là ảnh của hình tròn qua một phép chiếu song song hay vuông góc. Hình elip cũng là dạng đường cong Lissajous đơn giản nhất, với chuyển động theo chiều ngang và dọc là các đường hình sin với cùng tần số. Hiện tượng tương tự dẫn đến phân cực elip của ánh sáng trong quang học.

Từ nguyên

Tên gọi "elíp" (tiếng Anh: ellipse), xuất phát từ tiếng Hy Lạp cổ đại: (, "thiếu"), được đưa ra bởi Apollonius xứ Perga trong quyển Conics của ông.

Định nghĩa quỹ tích

thumb|Elíp định nghĩa bằng tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm thumb|Elíp định nghĩa bằng tiêu điểm và đường tròn chuẩn Một đường elíp có thể được xác định là tập hợp hay quỹ tích các điểm trên mặt phẳng Euclid: : Với hai điểm cố định gọi là tiêu điểm và một khoảng cách lớn hơn khoảng cách giữa hai tiêu điểm, đường elíp là quỹ tích các điểm sao cho tổng các khoảng cách bằng . Tức là ::$E\; =\; \backslash left\{P\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^2\; :\backslash ,\; |PF\_1|\; +|PF\_2\; |\; =\; 2a\; \backslash right\}.$

Trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm gọi là tâm của elíp. Đường thẳng nối hai tiêu điểm là trục lớn, và đường vuông góc với nó đi qua tâm là trục bé. Các trục của hình elíp cắt elíp tại bốn điểm, gọi là các đỉnh của elíp. Độ dài đoạn thẳng được gọi là tiêu cự, và là bán tiêu cự. Tỉ số được gọi là độ lệch tâm hay tâm sai.

Trường hợp cho ta một đường tròn, trường hợp đặc biệt của elíp.

Phương trình có thể được xem theo cách khác: : Nếu là đường tròn với tâm là và bán kính thì quỹ tích các điểm có khoảng cách đến đường tròn bằng khoảng cách đến tiêu điểm tạo thành một đường elíp: ::$E\; =\; \backslash left\{P\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^2\; :\backslash ,\; |PF\_1|=|Pc\_2\; |\backslash right\}.$

Đường tròn gọi là đường tròn chuẩn (với tâm là tiêu điểm ) của elíp. Ngoài ra, còn một định nghĩa thường dùng của elíp sử dụng đường chuẩn được nêu ở dưới.

Sử dụng mặt cầu Dandelin, ta có thể chứng minh bất kì mặt cắt nghiêng của một hình nón là một hình elíp, với điều kiện mặt phẳng cắt không đi qua đỉnh và có độ dốc bé hơn độ dốc đường sinh của mặt nón.

Hệ tọa độ Descartes

thumb|Các tham số của hình elíp

Phương trình chính tắc

Trong suốt phần còn lại của bài, là elip trong hệ tọa độ Descartes với tâm tại gốc tọa độ, trục lớn là trục và : tiêu điểm là , : các đỉnh là , trong đó .

Với một điểm có tọa độ nằm trên elíp , bán kính qua tiêu điểm là $\backslash sqrt\{(x-c)^2+y^2\}$ và bán kính qua tiêu điểm còn lại là $\backslash sqrt\{(x+c)^2+y^2\}$. Do điểm nằm trên elip nên :$\backslash sqrt\{(x\; -\; c)^2\; +\; y^2\}\; +\; \backslash sqrt\{(x\; +\; c)^2\; +\; y^2\}\; =\; 2a.$

Biến đổi thích hợp và đặt ẩn phụ cho ta phương trình chính tắc của elip :

Giải tìm , ta được :$y\; =\; \backslash pm\backslash frac\{b\}\{a\}\backslash sqrt\{a^2\; -\; x^2\}\; =\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{\backslash left(a^2\; -\; x^2\backslash right)\backslash left(1\; -\; e^2\backslash right)\}.$

Chiều rộng và chiều cao được gọi là bán trục lớn và bán trục bé của elip. Bán kính qua tiêu điểm trái và phải của lần lượt là và .

Từ phương trình này dễ thấy hình elip đối xứng qua các trục tọa độ và qua gốc tọa độ.

;Chứng minh phương trình chính tắc Từ phương trình tổng khoảng cách :$\backslash sqrt\{(x\; -\; c)^2\; +\; y^2\}\; +\; \backslash sqrt\{(x\; +\; c)^2\; +\; y^2\}\; =\; 2a$ Chuyển vế một dấu căn rồi bình phương hai vế, ta được :$(x\; -\; c)^2\; +\; y^2\; =\; 4a^2\; +\; (x\; +\; c)^2\; +\; y^2\; -\; 4a\; \backslash sqrt\{(x\; +\; c)^2\; +\; y^2\}$ Rút gọn phương trình trên cho ta : Rút gọn phương trình trên và sắp xếp lại các hạng tử, ta được: :$a^2(a^2-c^2)\; =\; (a^2-c^2)x^2\; +\; a^2y^2$ Đặt rồi chia cả hai vế của phương trình trên cho ta , ta được phương trình chính tắc của elip.

Bán trục lớn và bé

Trong suốt bài viết này, sẽ là bán trục lớn còn là bán trục bé, tức . Trong dạng chính tắc của elip , nếu thì elip sẽ dài chứ không dẹt.

Bán tiêu cự

Bán tiêu cự là khoảng cách từ một tiêu điểm đến tâm elíp: $c\; =\; \backslash sqrt\{a^2-b^2\}$.

Độ lệch tâm

Độ lệch tâm hay tâm sai là : $e\; =\; \backslash frac\{c\}\{a\}\; =\; \backslash sqrt\{1\; -\; \backslash left(\backslash frac\{b\}\{a\}\backslash right)^2\}$,

với điều kiện . Một elip với hai trục bằng nhau () có tâm sai bằng 0, và là một đường tròn. Một elíp với trục bé bằng 0 có tâm sai bằng 1, và là một parabol.

Bán trục bên

Độ dài của dây cung qua một tiêu điểm và vuông góc với trục lớn được gọi là trục bên (tiếng Anh: latus rectum). Một nửa độ dài đó là bán trục bên, thường được ký hiệu là và bằng : $\backslash ell\; =\; \backslash frac\{b^2\}a\; =\; a\; \backslash left(1\; -\; e^2\backslash right).$

Bán trục bên bằng bán kính cong của đường tròn mật tiếp elíp tại các đỉnh trên trục lớn.

Tiếp tuyến

Một đường thẳng tùy ý cắt elíp tại 2 điểm gọi là cát tuyến, tại 1 điểm là tiếp tuyến. Tiếp tuyến của elíp tại điểm có phương trình tọa độ là: :$\backslash frac\{x\_1\}\{a^2\}x\; +\; \backslash frac\{y\_1\}\{b^2\}y\; =\; 1.$

Phương trình tham số của tiếp tuyến này là: : $\backslash begin\{cases\}\; x\; =\; x\_1\; -\; y\_1a^2t\backslash \; y\; =\; y\_1\; +\; x\_1b^2t\; \backslash end\{cases\}\backslash ,\; (t\backslash in\; \backslash mathbb\{R\})$

Hoặc viết theo dạng vectơ thì: :$\backslash vec\{d\}\; =\; (x\_1,\; y\_1)\; +\; t(-y\_1a^2,\; x\_1b^2).$

Nếu hai điểm trên elíp và thỏa $\backslash frac\{x\_1x\_2\}\{a^2\}\; +\; \backslash tfrac\{y\_1v\}\{b^2\}\; =\; 0$, thì chúng nằm trên hai đường kính liên hợp (xem ở dưới). Nếu , elip là hình tròn và "liên hợp" ở đây là "vuông góc".

;Chứng minh Xét điểm nằm trên elíp và $\backslash vec\{d\}\; =\; (x\_1,\; y\_1)\; +\; t(u,\; v)$ là phương trình đường thẳng bất kỳ đi qua . Như vậy một điểm nằm trên đường thẳng có tọa độ . Giả sử điểm cũng nằm trên elíp . Thay tọa độ của vào phương trình chính tắc của elíp , ta được :

Đến đây ta có hai trường hợp: # $\backslash frac\{x\_1\}\{a^2\}u\; +\; \backslash frac\{y\_1\}\{b^2\}v\; =\; 0.$ Tức , hay chính là . Nói cách khác, đường thẳng chỉ cắt elíp tại một điểm duy nhất là , tức là tiếp tuyến tại đó. Vectơ pháp tuyến của là $\backslash begin\{pmatrix\}\backslash frac\{x\_1\}\{a^2\},\; \backslash frac\{y\_1\}\{b^2\}\backslash end\{pmatrix\}$, do đó phương trình tiếp tuyến là $\backslash frac\{x\_1\}\{a^2\}x\; +\; \backslash tfrac\{y\_1\}\{b^2\}y\; =\; k$ với một số nào đó. Vì nằm trên tiếp tuyến đó, thế vào ta được . # $\backslash frac\{x\_\; 1\}\{a^2\}u\; +\; \backslash frac\{y\_1\}\{b^2\}v\; \backslash ne\; 0.$ Khi ấy đường thẳng cắt elíp tại hai điểm, tương ứng với $t=0$ và $t=-2\backslash left(\backslash frac\{x\_1u\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{y\_1v\}\{b^2\}\backslash right)\; \backslash left(\backslash frac\{u^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{v^2\}\{b^2\}\backslash right)\; ^\{-1\}.$ Tức là cát tuyến qua elíp .

Tâm khác gốc tọa độ

Nếu elíp chuẩn trên có tâm tại thì phương trình chính tắc của nó là: : $\backslash frac\{\backslash left(x\; -\; x\_0\backslash right)^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash left(y\; -\; y\_0\backslash right)^2\}\{b^2\}\; =\; 1\; \backslash \; .$

Các trục của elíp vẫn song song với trục và .

Elíp tổng quát

Trong hình học giải tích, hình elíp là một mặt bậc hai: tập hợp các điểm $(X,\backslash ,\; Y)$ trên mặt phẳng Descartes thỏa mãn phương trình ẩn

với điều kiện

Để phân biệt với trường hợp suy biến, đặt là định thức

:

Khi ấy hình elíp là một elíp thực (tức có nghiệm thực) không suy biến khi và chỉ khi . Nếu , phương trình không có nghiệm thực, và nếu , elíp suy biến thành một điểm.

Nếu một elíp có bán trục lớn , bán trục bé , tọa độ của tâm là , và góc quay (góc giữa trục dương đến bán trục lớn của elíp) thì hệ số của phương trình là:

:

Những biểu thức này có thể suy ra từ phương trình chính tắc $\backslash tfrac\{x^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash tfrac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$ bằng phép biến đổi afin của tọa độ:

:

Ngược lại, từ phương trình tổng quát ta có thể suy ra phương trình chính tắc như sau:

:

Biểu diễn tham số

thumb|Quỹ tích các điểm theo phương trình tham số và ý nghĩa của tham số , được Philippe de la Hire đưa ra thumb|Các điểm trên elíp tính bằng biểu diễn hữu tỉ với các tham số cách đều nhau ().

Biểu diễn tham số chính tắc

Sử dụng các hàm lượng giác, biểu diễn tham số của elíp chuẩn $\backslash tfrac\{x^2\}\{a^2\}+\backslash tfrac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$ là: :

Tham số (gọi là dị thường lệch tâm trong thiên văn học) không phải là góc giữa điểm với trục hoành, mà có ý nghĩa hình do Philippe de La Hire đưa ra (xem Vẽ elíp ở dưới).

Biểu diễn hữu tỉ

Bằng phép đổi biến $u\; =\; \backslash tan\backslash left(\backslash frac\{t\}\{2\}\backslash right)$, ta được các biểu thức hữu tỉ cho các hàm lượng giác: :$\backslash cos\; t\; =\; \backslash frac\{1\; -\; u^2\}\{u^2\; +\; 1\}\backslash \; ,\backslash quad\; \backslash sin\; t\; =\; \backslash frac\{2u\}\{u^2\; +\; 1\}$

và phương trình tham số hữu tỉ của hình elíp :

Phương trình trên cho ta tất cả các điểm trên elíp chính tắc $\backslash tfrac\{x^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash tfrac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$ ngoại trừ đỉnh trái

Với $u\; \backslash in\; [0,\; 1]$, công thức này biểu diễn góc phần tư thứ nhất (phần trên bên phải) của hình elíp, đi ngược chiều kim đồng hồ khi tăng dần. Đỉnh bên trái là giới hạn $\backslash lim\_\{u\; \backslash to\; \backslash pm\; \backslash infty\}\; (x(u),\backslash ,\; y(u)).$

Dạng hữu tỉ của các đường conic thường được dùng trong các phần mềm CAD (xem đường cong Bézier).

Độ dốc tiếp tuyến làm tham số

Một biểu diễn tham số khác sử dụng độ dốc của tiếp tuyến tại điểm . Độ dốc này có thể được tính từ đạo hàm của phương trình tham số ở trên. Cụ thể là: :

Sử dụng các đẳng thức lượng giác ta tính được: :$\backslash cos\; t\; =\; \backslash frac\{\backslash cot\; t\}\{\backslash pm\backslash sqrt\{1\; +\; \backslash cot^2t\; =\; \backslash frac\{-ma\}\{\backslash pm\backslash sqrt\{m^2\; a^2\; +\; b^2\backslash \; ,\backslash quad\; \backslash sin\; t\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash pm\backslash sqrt\{1\; +\; \backslash cot^2t\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash pm\backslash sqrt\{m^2\; a^2\; +\; b^2.$

Thay các biểu thức trên cho và trong dạng tham số chuẩn ở trên, ta được: : $\backslash begin\{cases\}x\; =\; \backslash dfrac\{-ma^2\}\{\backslash pm\backslash sqrt\{m^2\; a^2\; +\; b^2\backslash \; y\; =\; \backslash dfrac\{b^2\}\{\backslash pm\backslash sqrt\{m^2a^2\; +\; b^2\backslash end\{cases\}\; \backslash qquad\; m\; \backslash in\; \backslash R.$

Ở đây là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm trên elíp. Khi dấu trước căn thức ở dưới mẫu là dương, điểm thuộc nửa trên của elíp, ngược lại nếu dấu âm thì điểm đó thuộc nửa dưới của elíp. Hai đỉnh trái phải không được biểu diễn do có tiếp tuyến thẳng đứng (độ dốc là vô cùng).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có dạng . Hệ số tự do có thể được xác định bằng cách thay tọa độ của điểm trên elíp tương ứng, cho ta: : $y\; =\; mx\; \backslash pm\backslash sqrt\{m^2\; a^2\; +\; b^2\}\backslash ;\; .$

Phương trình tiếp tuyến này có thể được dùng để xác định phương khuy của hình elíp.

Elíp tổng quát

thumb|Elíp tổng quát dưới dạng ảnh afin của đường tròn đơn vị Một định nghĩa khác cho elíp sử dụng biến đổi afin là: : Một elíp bất kỳ là ảnh của một phép biến đổi afin của đường tròn đơn vị với phương trình $x^2\; +\; y^2\; =\; 1$.

;Biểu diễn tham số Một phép biến đổi afin của mặt phẳng Euclid có dạng $\backslash vec\; x\; \backslash mapsto\; \backslash vec\; f!\_0\; +\; A\backslash vec\; x$, trong đó là một ma trận (với định thức khác không) và $\backslash vec\; f!\_0$ là một vectơ bất kỳ. Nếu $\backslash vec\; f!\_1,\; \backslash vec\; f!\_2$ là các vectơ cột của ma trận , đường tròn đơn vị , trong đó , biến thành hình elíp:

Ở đây $\backslash vec\; f!\_0$ là tâm và $\backslash vec\; f!\_1,\backslash ;\; \backslash vec\; f!\_2$ là hướng của của hai đường kính liên hợp, không nhất thiết phải vuông góc.

;Đỉnh Bốn đỉnh của elíp là $\backslash vec\; p\backslash left(t\_0\; +\; k\backslash tfrac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right),\backslash ,\; k=0,1,2,3$, trong đó tham số là nghiệm của: : $\backslash cot\; (2t\_0)\; =\; \backslash frac\{\backslash vec\; f!\_1^\{\backslash ,2\}\; -\; \backslash vec\; f!\_2^\{\backslash ,2\{2\backslash vec\; f!\_1\; \backslash cdot\; \backslash vec\; f!\_2\}.$

(Nếu $\backslash vec\; f!\_1\; \backslash cdot\; \backslash vec\; f!\_2\; =\; 0$, thì .) Phương trình trên được suy ra như sau. Vectơ tiếp tuyến tại điểm $\backslash vec\; p(t)$ is: : $\backslash vec\; p\backslash ,\text{'}(t)\; =\; -\backslash vec\; f!\_1\backslash sin\; t\; +\; \backslash vec\; f!\_2\backslash cos\; t\; \backslash \; .$

Tại đỉnh của với tham số , tiếp tuyến với elíp vuông góc với bán trục lớn/bé, do đó: : $0\; =\; \backslash vec\; p\backslash ,\text{'}(t)\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash vec\; p(t)\; -\backslash vec\; f!\_0\backslash right)\; =\; \backslash left(-\backslash vec\; f!\_1\backslash sin\; t\; +\; \backslash vec\; f!\_2\backslash cos\; t\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash vec\; f!\_1\; \backslash cos\; t\; +\; \backslash vec\; f!\_2\; \backslash sin\; t\backslash right).$

Khai triển và sử dụng các đẳng thức lượng giác cho ta phương trình trên.

;Phương trình ẩn Giải phương trình tham số cho sử dụng quy tắc Cramer và để ý rằng , ta được phương trình ẩn :$\backslash det(\backslash vec\; x!-!\backslash vec\; f!\_0,\backslash vec\; f!\_2)^2+\backslash det(\backslash vec\; f!\_1,\backslash vec\; x!-!\backslash vec\; f!\_0)^2-\backslash det(\backslash vec\; f!\_1,\backslash vec\; f!\_2)^2=0$.

;Elíp trong không gian Định nghĩa của elíp tổng quát trong phần này cho ta biểu diễn tham số của một elíp bất kỳ, thậm chí trong không gian ba chiều, nếu ta cho $\backslash vec\; f!\_0,\; \backslash vec\; f!\_1,\; \backslash vec\; f!\_2$ là các vectơ trong không gian.

Dạng cực

Dạng cực đối với tâm

thumb|right|Tọa độ cực với gốc đặt tại tâm elíp. Trong hệ tọa độ cực, với gốc tọa độ là tâm của elíp và với tọa độ góc tính từ bán trục lớn, phương trình elíp là : Với điểm thuộc elíp, pháp tuyến với elíp tại điểm chia đôi góc $\backslash widehat\{F\_1PF\_2\}.$ (Pháp tuyến trong trường hợp này là đường vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó)

;Chứng minh Ta sẽ chứng minh điều tương đương là tiếp tuyến là đường phân giác ngoài của tam giác

Lấy điểm trên tia sao cho với là bán trục lớn của elíp. Gọi đường thẳng là phân giác ngoài đỉnh của tam giác Để chứng minh là tiếp tuyến tại điểm , lấy điểm khác nằm trên , ta sẽ chứng minh không thuộc elíp. Khi ấy đường thẳng chỉ cắt elíp tại một điểm là , nên nó là tiếp tuyến với elíp tại

Từ hình vẽ bên, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta thấy , do đó: $\backslash left|QF\_2\backslash right|\; +\; \backslash left|QF\_1\backslash right|\; >\; 2a.$ Nhưng nếu nằm trên elíp thì tổng đó phải bằng Như vậy không thuộc elíp, ta có điều phải chứng minh.

; Ứng dụng Các tia từ một tiêu điểm bị phản chiếu bởi elíp đến tiêu điểm thứ hai, dẫn đến ứng dụng quang và âm thanh tương tự với tính chất phản chiếu của một parabol (xem phòng thì thầm).

Đường kính liên hợp

thumb|Hai đường kính vuông góc của đường tròn và hình vuông ngoại tiếp nó, qua phép biến đổi afin, trở thành hai đường kính liên hợp của elíp và hình bình hành ngoại tiếp nó

Một đường tròn có tính chất sau: : Trung điểm của các dây cung song song thì nằm trên một đường kính.

Đường kính đó vuông góc với các dây cung song song. Qua một phép biến đổi afin, tính song song và trung điểm của các đoạn thẳng được giữ nguyên, nên tính chất này vẫn đúng với hình elíp. Tuy nhiên khi ấy đường kính và các dây cung song song không vuông góc với nhau. Đường kính liên hợp của elíp tổng quát hóa đường kính vuông góc trong đường tròn.

; Định nghĩa: Hai đường kính của một elíp gọi là liên hợp nếu trung điểm các dây cung song song với nằm trên

Từ hình vẽ ta thấy: : Hai đường kính của một elíp là liên hợp với nhau khi và chỉ khi tiếp tuyến tại (hoặc song song với

Trong phương trình tham số cho elíp tổng quát ở trên: : $\backslash vec\; x\; =\; \backslash vec\; p(t)\; =\; \backslash vec\; f!\_0\; +\backslash vec\; f!\_1\; \backslash cos\; t\; +\; \backslash vec\; f!\_2\; \backslash sin\; t,$

bất kỳ hai điểm $\backslash vec\; p(t),\backslash \; \backslash vec\; p(t\; +\; \backslash pi)$ tạo thành một đường kính, và cặp $\backslash vec\; p\backslash left(t\; +\; \backslash tfrac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right),\backslash \; \backslash vec\; p\backslash left(t\; -\; \backslash tfrac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)$ tạo thành đường kính liên hợp với nó.

Định lý Apollonius về đường kính liên hợp

thumb|Định lý Apollonius về đường kính liên hợp Cho elíp với hai bán trục . Giả sử là hai bán kính liên hợp của elíp, tức một nửa của dường kính liên hợp. Khi ấy ta có:

$c\_1^2\; +\; c\_2^2\; =\; a^2\; +\; b^2$,

hình bình hành tạo bởi các tiếp tuyến với các đường kính liên hợp đã cho có diện tích

Đẳng thức đầu tiên được gọi là định lý thứ nhất của Apollonius về đường kính liên hợp, còn công thức diện tích là định lý Apollonius thứ hai.

; Chứng minh: Giả sử elíp ở dạng chuẩn (tâm ở gốc tọa độ, hai bán trục là hai trục hoành và tung), với phương trình tham số: : $\backslash vec\; p(t)\; =\; (a\backslash cos\; t,\backslash ,\; b\backslash sin\; t)$.

Hai điểm $\backslash vec\; c\_1\; =\; \backslash vec\; p(t),\backslash \; \backslash vec\; c\_2\; =\; \backslash vec\; p\backslash left(t\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)$ là hai đường kính liên hợp (xem phần trên). Từ công thức lượng giác ta có $\backslash vec\; c\_2\; =\; (-a\backslash sin\; t,\backslash ,\; b\backslash cos\; t)$. Biến đổi đại số ta dễ chứng minh: : $\backslash left|\backslash vec\; c\_1\backslash right|^2\; +\; \backslash left|\backslash vec\; c\_2\backslash right|^2\; =\; \backslash cdots\; =\; a^2\; +\; b^2\backslash \; .$

Diện tích của tam giác tạo bởi $\backslash vec\; c\_1,\backslash ,\; \backslash vec\; c$2 và dây cung nối hai điểm là: : $A$\Delta = \frac{1}{2}\det\left(\vec c_1,\, \vec c_2\right) = \cdots = \frac{1}{2}ab

Từ hình vẽ ta thấy diện tích hình bình hành ngoại tiếp elíp bằng 8 lần diện tích tam giác đó, suy ra diện tích hình bình hành là

Tính chất đo lường

Tất cả tính chất sau áp dụng cho elíp với phương trình $\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}+\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1.$

Diện tích

Diện tích $A$\text{elip} của elíp là: : $A$\text{elip} = \pi ab

Trong đó và là độ dài các bán trục lớn và bé của elíp. Công thức này khá tự nhiên: bắt đầu từ đường tròn có bán kính và diện tích và kéo dài nó với tỉ số $a/b$ để tạo thành elíp. Việc kéo dài này làm tăng diện tích lên tỉ số bằng nhau: $\backslash pi\; b^2(a/b)\; =\; \backslash pi\; a\; b.$ Ta cũng có thể chứng minh chặt chẽ tính chất này bằng tích phân như sau.

Phương trình có thể được viết lại thành $y(x)=\; b\; \backslash sqrt\{1\; -\; x^2/a^2\},$ với $x\backslash in[-a,a],$ đường cong này lànửa trên của elíp. Vậy diện tích elíp bằng hai lần tích phân của trên đoạn : : $\backslash begin\{align\}\; A$\text{elip} &= 2 \int{-a}^a b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2\,dx\ &= \frac{b}{a}\int_{-a}^a 2\sqrt{a^2 - x^2}\,dx. \end{align}

Tích phân thứ hai là diện tích của đường tròn với bán kính bằng Do đó : $A\_\backslash text\{ellipse\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{a\}\backslash pi\; a^2\; =\; \backslash pi\; ab.$

Một elíp với phương trình $Ax^2+\; Bxy\; +\; Cy^2\; =\; 1$ có diện tích $2\backslash pi\; /\; \backslash sqrt\{4AC\; -\; B^2\}.$

Chu vi

thumb|Các elíp với cùng chu vi Chu vi của một elíp là: : $C\; \backslash ,=\backslash ,\; 4a\backslash int\_0^\{\backslash pi/2\}\backslash sqrt\; \{1\; -\; e^2\; \backslash sin^2\backslash theta\}\backslash \; d\backslash theta\; \backslash ,=\backslash ,\; 4\; a\; \backslash ,E(e)$

trong đó là độ dài của bán trục lớn, $e=\backslash sqrt\{1\; -\; b^2/a^2\}$ là tâm sai của elíp, và hàm số là tích phân elliptic đầy đủ loại II, : $E(e)\; \backslash ,=\backslash ,\; \backslash int\_0^\{\backslash pi/2\}\backslash sqrt\; \{1\; -\; e^2\; \backslash sin^2\backslash theta\}\backslash \; d\backslash theta.$

Chuỗi vô hạn của công thức này là: :

trong đó là giai thừa đôi. Chuỗi này hội tụ, nhưng bằng cách đặt James Ivory và Bessel cho một công thức khác hội tụ nhanh hơn nhiều:

:{n=1}^\infty \left(\frac{(2n-1)!!}{2^n n!}\right)^2 \frac{h^n}{(2n-1)^2}\right]. \ &= \pi (a+b) \left[1 + \frac{h}{4} + \sum{n=2}^\infty \left(\frac{(2n-3)!!}{2^n n!}\right)^2 h^n\right]. \end{align}

Srinivasa Ramanujan đưa ra hai xấp xỉ cho chu vi trong phần §16 của "Modular Equations and Approximations to ": : $C\; \backslash approx\; \backslash pi\; \backslash left\; (3(a\; +\; b)\; -\; \backslash sqrt\{(3a\; +\; b)(a\; +\; 3b)\}\; \backslash right\; ),$

và : $C\backslash approx\backslash pi\backslash left(a+b\backslash right)\backslash left(1+\backslash frac\{3h\}\{10+\backslash sqrt\{4-3h\backslash right).$

Sai số của những xấp xỉ này lần lượt cỡ bậc của và

Một số bất đẳng thức về chu vi của elíp chuẩn với là :

Ở đây chặn trên là chu vi của đường tròn ngoại tiếp đi qua hai đỉnh của trục lớn elíp, và chặn dưới $4\backslash sqrt\{a^2+b^2\}$ là chu vi của một hình thoi nối bốn đỉnh của elíp.

Độ cong

Độ cong của elíp là :$\backslash kappa\; =\; \backslash frac\{1\}\{a^2\; b^2\}\backslash left(\backslash frac\{x^2\}\{a^4\}+\backslash frac\{y^2\}\{b^4\}\backslash right)^\{-3/2\}\backslash \; ,$

Bán kính cong tại điểm : : $\backslash rho\; =\; a^2\; b^2\; \backslash left(\backslash frac\{x^\{2\{a^4\}\; +\; \backslash frac\{y^\{2\{b^4\}\backslash right)^\{3/2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{a^4\; b^4\}\; \backslash sqrt\{\backslash left(a^4\; y^\{2\}\; +\; b^4\; x^\{2\}\backslash right)^3\}\; \backslash \; .$

Bán kính cong tại hai đỉnh và tâm cong là: : $\backslash rho\_0\; =\; \backslash frac\{b^2\}\{a\}=p\backslash \; ,\; \backslash qquad\; \backslash left(\backslash pm\backslash frac\{c^2\}\{a\}\backslash ,\backslash bigg|\backslash ,0\backslash right)\backslash \; .$

Bán kính cong tại hai đỉnh và tâm cong là: : $\backslash rho\_1\; =\; \backslash frac\{a^2\}\{b\}\backslash \; ,\; \backslash qquad\; \backslash left(0\backslash ,\backslash bigg|\backslash ,\backslash pm\backslash frac\{c^2\}\{b\}\backslash right)\backslash \; .$