✨Hyperbol

Trong toán học, hyperbol hay hypecbol (từ tiếng Hy Lạp: ὑπερβολή, nghĩa đen là "vượt quá" hay "thái quá") là một kiểu Đường cô-nic, được định nghĩa là đường giao của một mặt nón với một mặt phẳng cắt cả hai nửa của hình nón.

Đường hyperbol còn được nghĩa định là quỹ tích của những điểm trong mặt phẳng có giá trị tuyết đối của hiệu khoảng cách tới hai điểm cố định là một hằng số bằng 2a. a đồng thời cũng bằng độ dài bán trục lớn của Hyberbol. Hai điểm cố định đó gọi là hai tiêu điểm của hyperbol. Đường thẳng đi qua hai tiêu điểm này được gọi là trục thực của hyberbol và trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm này được gọi là tâm của hình hyperbol.

phải phải|Hình hyperbol được tạo bởi giao của một [[mặt phẳng với một mặt nón]]

Trong đại số, đường hyperbol là một đường cong trên mặt phẳng Descartes được định nghĩa bằng công thức tổng quát :$A\; x^2\; +\; B\; xy\; +\; C\; y^2\; +\; D\; x\; +\; E\; y\; +\; F\; =\; 0$ với $B^2\; >\; 4\; AC$, trong đó A, B, C, D, E đều là các hệ số thực, và có nhiều hơn một cách giải, với mỗi điểm (x, y) thuộc hình Hyperbol.

Định nghĩa

Hình hyberbol có thể được định nghĩa theo 3 cách:

Đường giao tạo bởi hai mặt nón với một mặt phẳng khi mặt phẳng cắt cả hai hình nón. Quỹ tích của các điểm mà hiệu khoảng cách tới hai điểm cho trước (hai tiêu điểm) là một hằng số. *Quỹ tích của các điểm thỏa mãn tỉ lệ khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm trên khoảng cách từ điểm đó đến một đường thẳng (được gọi là đường chuẩn) là một hằng số lớn hơn 1. Hằng số này được gọi là tâm sai của hyberbol.

Đường hyperbol có hai nhánh với hai tiêu điểm và hai đường tiệm cận. Hai đường tiệm cận đi qua tâm của hình hyperbol có phương trình $y\; =\backslash frac\{bx\}\{a\}$ và $y\; =-\backslash frac\{bx\}\{a\}$

Đường hyperbol có tính chất là một tia bắt đầu tại một tiêu điểm sẽ bị phản xạ qua giao điểm của nó với hyperbol (đường tiếp tuyến với hyperbol tại điểm đó là đường pháp tuyến) tạo thành một đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại, và ngược lại.

Các hình mà theo tên tiếng Anh là rectangular hyperbola (xanh lam và xanh lá cây) và các đường tiệm cận (đỏ) Trường hợp đặc biệt của hyperbol theo tên tiếng Anh được gọi là rectangular hyperbola khi hai đường tiệm cận tạo thành một góc vuông. Hình hyperbol đều với trục tọa độ là các đường tiệm cận được xác định bởi công thức xy=$c^2$, trong đó c là một hằng số (theo hình bên dưới). Điểm nằm trên Hyperbol gần gốc tọa độ nhất có tọa độ là $(\backslash sqrt\; c,\; \backslash sqrt\; c)$. Đồng thời, đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm đó thì vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó.

Vì hàm số sin và hàm số cos là hàm lượng giác dành cho đường elíp, nên hàm sin của hyperbol và hàm cos của hyperbol là hàm lượng giác của hyperbol.

Công thức

Hình hyper tuyển

Hình Hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây với tâm có tọa độ là (h,k): :$\backslash frac\{\backslash left(x-h\; \backslash right)^2\}\{a^2\}\; -\; \backslash frac\{\backslash left(y-k\; \backslash right)^2\}\{b^2\}\; =\; 1$ Phương trình chính tắc của đường hyperbol trong hệ tọa độ Descartes khi có tâm trùng với gốc tọa độ: :$\backslash frac\{\backslash left(x\; \backslash right)^2\}\{a^2\}\; -\; \backslash frac\{\backslash left(y\; \backslash right)^2\}\{b^2\}\; =\; 1$

Trong đó $c^2\; =\; a^2\; +\; b^2$ và 2c là tiêu cự Trục thực của hyperbol đi qua tâm của hình hyperbol và cắt các nhánh tại các đỉnh của mỗi nhánh. Các tiêu điểm cũng nằm trên đường thẳng chứa trục thực của hyperbol. Trục ảo vuông góc với trục thực tại tâm của hyperbol. *Hình chữ nhật cơ sở là hình chữ nhật có các đỉnh nằm trên các đường tiệm cận và có hai cạnh là hai tiếp tuyến của hyberbol, độ dài của hai cạnh này bằng 2b đơn vị độ dài, hai cạnh còn lại song song với trục thực có độ dài bằng 2a đơn vị độ dài. Chú ý rằng b có thể lớn hơn a.

Tính khoảng cách từ một điểm bất kì tới hai tiêu điểm, hiệu hai giá trị này luôn luôn bằng 2a. *Tâm sai được tính bằng công thức :$\backslash varepsilon\; =\; \backslash sqrt\{1+\backslash frac\{b^2\}\{a^2\; =\; \backslash sec\backslash left(\backslash arctan\backslash left(\backslash frac\{b\}\{a\}\backslash right)\backslash right)\; =\; \backslash cosh\backslash left(\backslash operatorname\{arsinh\}\backslash left(\backslash frac\{b\}\{a\}\backslash right)\backslash right)$

Nếu c bằng khoảng cách từ tâm cho đến mỗi tiêu điểm, ta có :$\backslash varepsilon\; =\; \backslash frac\{c\}\{a\}$ trong đó :$c\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}$. Khoảng cách c được hiểu là nửa tiêu cự của hyperbol. Khoảng cách giữa hai tiêu điểm (tiêu cự) bằng 2c hay 2aε.

*Tiêu điểm của đường hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây được xác định bởi công thức: :$\backslash left(h\backslash pm\; c,\; k\backslash right)$ và đối với đường hyperbol Bắc-Nam được xác định bởi công thức :$\backslash left(h,\; k\backslash pm\; c\backslash right)$.

*Đường chuẩn của đường hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây được xác định bởi công thức :$x\; =\; h\backslash pm\; a\; \backslash ;\; \backslash cos\backslash left(\backslash arctan\backslash left(\backslash frac\{b\}\{a\}\backslash right)\backslash right)$ và đối với đường hyperbol nằm theo hướng Bắc-Nam được xác định bởi công thức :$y\; =\; k\backslash pm\; a\; \backslash ;\; \backslash cos\backslash left(\backslash arctan\backslash left(\backslash frac\{b\}\{a\}\backslash right)\backslash right)$.

Hình hyperbol đều

Hình của hyperbol đều $y=\backslash frac\{1\}\{x\}$.

Đối với đường hyperbol đều có trục tọa song song với các đường tiệm cận: :$(x-h)(y-k)\; =\; c\; \backslash ,$

Ví dụ đơn giản nhất của hình hyperbol đều :$y=\backslash frac\{m\}\{x\}\backslash ,$.

Cực của đường hyperbol

Hình hyperbol nằm theo hướng đông-tây: :$r^2\; =a\backslash sec\; 2\backslash theta\; \backslash ,$ Hình hyperbol nằm theo hướng bắc-nam: :$r^2\; =-a\backslash sec\; 2\backslash theta\; \backslash ,$ Hình hyperbol nằm theo hướng Đông Bắc-Tây Nam: :$r^2\; =a\backslash csc\; 2\backslash theta\; \backslash ,$ Hình hyperbol nằm theo hướng Tây Bắc-Đông Nam :$r^2\; =-a\backslash csc\; 2\backslash theta\; \backslash ,$

Hàm số

Hình hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây :$\backslash begin\{matrix\}\; x\; =\; a\backslash sec\; t\; +\; h\; \backslash \; y\; =\; b\backslash tan\; t\; +\; k\; \backslash \; \backslash end\{matrix\}\; \backslash qquad\; \backslash mathrm\{or\}\; \backslash qquad\backslash begin\{matrix\}\; x\; =\; \backslash pm\; a\backslash cosh\; t\; +\; h\; \backslash \; y\; =\; b\backslash sinh\; t\; +\; k\; \backslash \; \backslash end\{matrix\}$

Hình hyperbol nằm theo hướng Bắc-Nam: :$\backslash begin\{matrix\}\; x\; =\; a\backslash tan\; t\; +\; h\; \backslash \; y\; =\; b\backslash sec\; t\; +\; k\; \backslash \; \backslash end\{matrix\}\; \backslash qquad\; \backslash mathrm\{or\}\; \backslash qquad\backslash begin\{matrix\}\; x\; =\; a\backslash sinh\; t\; +\; h\; \backslash \; y\; =\; \backslash pm\; b\backslash cosh\; t\; +\; k\; \backslash \; \backslash end\{matrix\}$

Trong công thức (h,k) là tọa độ tâm của hyperbol, a bằng nửa độ dài trục thực, và b bằng nửa độ dài trục ảo.

Hyperbol chữ nhật

thumb|A graph of the rectangular hyperbola $y=\backslash tfrac\{1\}\{x\}$, the [[Multiplicative inverse|reciprocal function]]

Hyperbol chữ nhật, hyperbol đều, hoặc hyperbol vuông là một hyperbol với hai đường tiệm cận vuông góc.

Phương trình của Hyperbol chữ nhật trong hệ trục tọa độ song song với hai đường tiệm cận:

:$(x-h)(y-k)\; =\; m\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,$.

Phương trình tối giản của hyperbol chữ nhật có dạng sau đây:

:$y=\backslash frac\{m\}\{x\}\backslash ,$

Một conic ngoại tiếp đi qua trực tâm của một tam giác là một hyperbol chữ nhật.

Định lý Feuerbach phát biểu rằng nếu một hyperbol chữ nhật đi qua ba điểm A,B,C thì tâm của hyperbol này nằm trên đường tròn chín điểm của tam giác ABC.

Một hyperbol chữ nhật đi qua ba điểm A,B,C và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại T thì tâm của hyperbol này là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm tam giác ABC và T.

Trong tam giác có ba đường hyperbol chữ nhật nổi tiếng là hyperbol Kiepert, hyperbol Jerabek và hyperbol Feuerbach.