✨Phép biến đổi Laplace

thumb|220x124px | right| phép biến đổi Laplace của hàm f(t) = t và ảnh của nó là hàm F(s) = 1/s^2. F(s) cũng chính là phần diện tích bên dưới đường cong y = t.e^(-st) Biến đổi Laplace (Tiếng Anh: Laplace transform) là một biến đổi tích phân của hàm số $f(t)$ từ miền thời gian sang miền tần số phức $F(s)$, được tạo ra bởi nhà toán học người Pháp Pierre-Simon Laplace. Cùng với biến đổi Fourier, phép biến đổi này là một trong hai biến đổi hữu ích trong việc giải các bài toán vật lý, bằng cách đơn giản hóa các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân thành các phép tính đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển một phép toán nhân các số thành phép cộng các logarit của chúng). Vì vậy nó đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, và những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các hệ cơ học,... Bởi vì qua biến đổi Laplace các phương trình này có thể trở thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Đối với các nghiệm của hàm ảnh trong không gian p, chúng ta dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc trong không gian thực t.

Lịch sử

Từ năm 1744, nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler đã đưa ra các tích phân dưới đây để giải các phương trình vi phân:

$z=\; \backslash int\; X(x)e^\{ax\}dx$ và $z=\; \backslash int\; X(x)x^\{A\}dx$

Năm 1773, nhà toán học người Pháp gốc Ý Joseph-Louis Lagrange, một người rất ngưỡng mộ Euler, đã nghiên cứu cách tính tích phân của hàm mật độ xác suất và đưa ra biểu thức tích phân:

$\backslash int\; X(x)e^\{ax\}a^xdx$

Năm 1782, Laplace đã chú ý đến các dạng tích phân này khi ông tiếp tục công trình của Euler là sử dụng phép tính tích phân để giải phương trình. Đến năm 1785, vượt ra khỏi giới hạn giải quyết các phương trình bằng phương pháp tích phân, ông đã đưa ra các biến đổi mà sẽ trở nên phổ biến về sau, với phép tích phân:

$\backslash int\; x^s\; \backslash Phi\backslash \; (s)\; dx$

Nó tương tự với biến đổi Mellin, bằng cách biến đổi phương trình sai phân để giải phương trình biến đổi. Với cách thức tương tự, Laplace đã suy ra các tính chất của biến đổi Laplace. Ông cũng nhận ra rằng phương pháp của Joseph Fourier trong chuỗi Fourier để giải phương trình khuếch tán chỉ có thể áp dụng trong một vùng không gian giới hạn.

Định nghĩa

Phép biến đổi Laplace là cách tiếp cận miền tần số cho các tín hiệu thời gian liên tục bất kể tính ổn định của hệ thống. Phép biến đổi Laplace của hàm số (với mọi số thực ) là hàm số , được định nghĩa như sau:

$\backslash mathcal\{L\}\backslash \{f(t)\backslash \}=\; F(s)\; =\; \backslash int\backslash limits\_\{0^-\}^\{\backslash infty\}\; f(t)e^\{-st\}dt$ Trong đó: $s$ là biến số phức cho bởi $s\; =\; \backslash sigma+j\backslash omega$ (với $s$ là miền tần số, có đơn vị là phần giây (second) $s^\{-1\}$

Giới hạn $0^-$chỉ rõ thời điểm bắt đầu ngay trước khi $t\; =\; 0$, được dùng để lấy gốc hàm số $f(t)$ tại thời điểm $t\; =\; 0$.

Biến đổi Laplace hai phía

Một khi nói "biến đổi Laplace" mà không chú ý thêm gì, thường là ta nói đến biến đổi một phía. Biến đổi Laplace có thể được định nghĩa là biến đổi Laplace hai phía bằng cách mở rộng giới hạn của tích phân đến vô cực.

$F(s)=\backslash mathcal\{L\}\backslash left\backslash \{f(t)\backslash right\backslash \}=\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; f(t)e^\{-st\}dt$

Như vậy, biến đổi Laplace một phía đơn giản sẽ trở thành trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai phía, được xác định bằng cách lấy hàm đã chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside.

Biến đổi Laplace ngược

Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s). Biến đổi Laplace ngược được định nghĩa bởi tích phân sau.

:$\backslash mathcal\{L\}^\{-1\}\; \backslash left\{F(s)\backslash right\}=f(t)=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; i\}\backslash int\_\{\backslash gamma\; -i\; \backslash infty\}^\{\backslash gamma\; +i\; \backslash infty\}e^\{st\}F(s)ds$

Nhưng thông thường chúng ta ít dùng đến tích phân này để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng" đã có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t).

Tính chất hàm gốc

Tập hợp các hàm f của biến số thực t sao cho tích phân $\backslash int${0}^\infty f(t)e^{-st}dt hội tụ ít nhất với một số phức p gọi là lớp hàm gốc. Trong khi đó tập hợp các giá trị của p sao cho tích phân $\backslash int${0}^\infty f(t)e^{-st}dt tồn tại thì được gọi là miền hội tụ (hay miền qui tụ).

Ta có thể chứng minh được lớp các hàm gốc phải thỏa mãn các tính chất sau.

• f(t) = 0, với mọi t < 0.
• Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục cùng với các đạo hàm cấp đủ lớn trên toàn trục t, trừ một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một.
• Khi $t\; \backslash to+\backslash infty$ hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại hằng số s>0 và M>0 sao cho $\backslash left|f(t)\backslash right|\backslash le\; Me^\{st\},\; \backslash forall\; t\; >0$ Khi đó s_o = inf {s} được gọi là chỉ số tăng của hàm f. (Tức là hàm f(t) không được tăng nhanh hơn hàm e^st để đảm bảo tích phân Laplace hội tụ).

Tính chất của biến đổi Laplace

• Cho các hàm f(t) và g(t), và các hàm ảnh tương ứng F(s) và G(s):

$f(t)=\backslash mathcal\{L\}^\{-1\}\backslash left\backslash \{F(s)\backslash right\backslash \}$ $g(t)=\backslash mathcal\{L\}^\{-1\}\backslash left\backslash \{G(s)\backslash right\backslash \}$

• Sau đây là bảng các tính chất của biến đổi Laplace: F \left ({s \over a} \right) |- !Biến đổi trong miền tần số ||$e^\{at\}\; f(t)\; \backslash$ ||$F(s\; -\; a)\; \backslash$ |- !Biến đổi trong miền thời gian ||$f(t\; -\; a)\; u(t\; -\; a)\; \backslash$ ||$e^\{-as\}\; F(s)\; \backslash$ |- !Tích chập ||$(f\; *\; g)(t)\; \backslash$ ||$F(s)\; \backslash cdot\; G(s)\; \backslash$ |- !Hàm tuần hoàn ||$f(t)\; \backslash$ ||$\{1\; \backslash over\; 1\; -\; e^\{-Ts\; \backslash int\_0^T\; e^\{-st\}\; f(t)\backslash ,dt$ |}

• Định lý giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn)

$f(0^+)=\backslash lim\_\{s\backslash to\; \backslash infty\}\{sF(s)\}$

• Định lý giá trị cuối: (Định lý giới hạn)

$f(\backslash infty)=\backslash lim\_\{s\backslash to\; 0\}\{sF(s)\}$, trong nửa mặt phẳng (Re.s > so)

Biến đổi Laplace của phép đạo hàm của một hàm

Thường dùng phép tính vi phân của biến đổi Laplace để tìm dạng đạo hàm của một hàm. Ta có thể thu được từ biểu thức cơ bản đối với biến đổi Laplace như sau:

:$\backslash mathcal\{L\}\; \backslash left\{f(t)\backslash right\}\; =\backslash int\_\{0^-\}^\{+\backslash infty\}\; e^\{-st\}\; f(t)\backslash ,dt$

:$~~\; =\; \backslash left[\; \backslash frac\{f(t)e^\{-st\{-s\}\; \backslash right]${0^-}^{+\infty} - \int{0^-}^{+\infty} \frac{e^{-st{-s} f'(t)dt (Từng phần)

:$~~\; =\; \backslash left[-\backslash frac\{f(0)\}\{-s\}\backslash right]\; +\; \backslash frac\{1\}\{s\}\backslash mathcal\{L\}\backslash left\{f\text{'}(t)\backslash right\},$

:$\backslash mathcal\{L\}\backslash left\{\backslash frac\{df\}\{dt\}\backslash right\}\; =\; s\backslash cdot\backslash mathcal\{L\}\; \backslash left\{\; f(t)\; \backslash right\}-f(0),$

Trong trường hợp 2 bên, ta có

: $\backslash mathcal\{L\}\backslash left\{\; \{\; df\; \backslash over\; dt\; \}\; \backslash right\}\; =\; s\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; e^\{-st\}\; f(t)\backslash ,dt\; =\; s\; \backslash cdot\; \backslash mathcal\{L\}\; \{\; f(t)\; \}.$

Liên hệ với các biến đổi khác

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier liên tục tương đương với giá trị của biến đổi Laplace hai bên với argument là số phức s = iω hay $s\; =\; 2\backslash pi\; fi$

:{s = i \omega} = F(s)|{s = i \omega}\[1em] & = & \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\ \end{array}

Chú ý biểu thức này không tính đến hệ số tỉ lệ $\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi$, điều này được tính đến trong định nghĩa của biến đổi Fourier.

Mối quan hệ này giữa biến đổi Laplace và biến đổi Fourier thường được dùng để xác định quang phổ tần số của một tín hiệu hay hệ thống động lực học (dynamic system).

Biến đổi Mellin

Biến đổi Mellin và phép nghịch đảo của nó liên hệ với biến đổi Laplace hai bên bằng cách thay đổi biến. Trong biến đổi Mellin

:$G(s)\; =\; \backslash mathcal\{M\}\backslash left\{g(\backslash theta)\backslash right\}\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash theta^s\; g(\backslash theta)\; \backslash frac\{d\backslash theta\}\{\backslash theta\}$

Ta đặt θ = e^-t, ta sẽ thu được biến đổi Laplace hai bên.

Biến đổi Z

Biến đổi Z là biến đổi Laplace của một tín hiệu thử lý tưởng bằng cách thay thế:

:$z\; \backslash \; \backslash stackrel\{\backslash mathrm\{def\{=\}\backslash \; e^\{s\; T\}\; \backslash$, với $T\; =\; 1/f\_s\; \backslash$ là chu kỳ (đơn vị là giây), và $f\_s\; \backslash$ là tần số (đơn vị là hertz)

đặt :$\backslash Delta$T(t) \ \stackrel{\mathrm{def{=}\ \sum{n=0}^{\infty} \delta(t - n T) là xung lực thử (còn gọi là lực Dirac).

và

:$x\_q(t)\; \backslash \; \backslash stackrel\{\backslash mathrm\{def\{=\}\backslash \; x(t)\; \backslash Delta$T(t) = x(t) \sum{n=0}^{\infty} \delta(t - n T) $=\; \backslash sum${n=0}^{\infty} x(n T) \delta(t - n T) = \sum{n=0}^{\infty} x[n] \delta(t - n T)

là sự biểu diễn liên tục thời gian (continuous-time) của x(t) còn $x[n]\; \backslash \; \backslash stackrel\{\backslash mathrm\{def\{=\}\backslash \; x(nT)\; \backslash$ là biểu diễn sự rời rạc của x(t).

Biến đổi Laplace đối với tín hiệu thử x_q(t) là

:$X$q(s) = \int{0^-}^{\infty} xq(t) e^{-s t} \,dt ::$\backslash \; =\; \backslash int${0^-}^{\infty} \sum{n=0}^{\infty} x[n] \delta(t - n T) e^{-s t} \, dt ::$\backslash \; =\; \backslash sum${n=0}^{\infty} x[n] \int{0^-}^{\infty} \delta(t - n T) e^{-s t} \, dt ::$\backslash \; =\; \backslash sum${n=0}^{\infty} x[n] e^{-n s T}.

Đây là định nghĩa chính xác của biến đổi Z đối với hàm x[n].

:$X(z)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; x[n]\; z^\{-n\}$ (thay $z\; \backslash leftarrow\; e^\{s\; T\}\; \backslash$)

So sánh 2 phương trình cuối ta thấy mối liên hệ giữa biến đổi Z và biến đổi Laplace của tín hiệu thử

:$X$q(s) = X(z) \Big|{z=e^{sT.

Biến đổi Borel

Dạng tích phân của biến đổi Borel có liên hệ với biến đổi Laplace; thật sự, có một số nhầm lẫn khi cho rằng chúng tương tự như nhau. Biến đổi Borel tổng quát tạo ra biến đổi Laplace cho những hàm không phải hàm mũ.

Mối quan hệ cơ bản

Từ biến đổi Laplace ban đầu có thể xem như là trường hợp đặc biệt của biến đổi hai bên, và từ biến đổi hai bên có thể xem như là tổng của hai biến đổi một bên, điểm khác biệt riêng của các biến đổi Laplace, Fourier, Mellin, Z ở trên là sự liên quan của từng biến đổi đối với biến đổi tích phân.

Bảng các biến đổi Laplace

Vì biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính nên

• Biến đổi Laplace của tổng bằng tổng các biến đổi Laplace của các số hạng ::$\backslash mathcal\{L\}\backslash left\{f(t)\; +\; g(t)\; \backslash right\}\; =\; \backslash mathcal\{L\}\backslash left\{f(t)\backslash right\}\; +\; \backslash mathcal\{L\}\backslash left\{\; g(t)\; \backslash right\}$

• Biến đổi Laplace của một bội số của hàm bằng bội số nhân cho biến đổi Laplace của hàm đó ::$\backslash mathcal\{L\}\backslash left\{a\; f(t)\backslash right\}\; =\; a\; \backslash mathcal\{L\}\backslash left\{\; f(t)\backslash right\}$

Tính đơn ánh của biến đổi Laplace chỉ đúng khi t là số không âm, vì thế các hàm trong miền thời gian ở bảng dưới là bội của hàm bậc thang Heaviside u(t).

• Bảng cung cấp những biến đổi Laplace đối với những hàm chung một biến.

Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong mạch miền s

Biến đổi Laplace được sử dụng để biến đổi các yếu tố mạch điện từ miền thời gian t sang mạch miền s

khung|giữa|Bảng so sánh giữa mạch miền t và mạch miền s

Mối quan hệ dòng áp trong miền s của các yếu tố mạch điện RLC

$V\_R\; (s)=\; R.I(s)$ $V\_L\; (s)=\; s.L.I(s)\; -\; L.I\_o$ $V\_C\; (s)=\; \backslash frac\{1\}\{s.C\}I(s)\; +\; \backslash frac\{V\_o\}\{s\}$

Chú ý: đối với điện trở R, mạch miền t và mạch miền s giống nhau. Riêng đối với cuộn cảm L và tụ điện C cần phải kể đến nguồn điều kiện ban đầu (dòng ban đầu đối với cuộn cảm và áp ban đầu đối với tụ điện)

Ứng dụng các tính chất và định lý của biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace được sử dụng nhiều trong kỹ thuật và vật lý học. Việc tính toán được chuyển sang không gian Laplace nhằm chuyển phép nhân chập về phép nhân thông thường, khi đó ta có thể giải quyết vấn đề bằng phương pháp đại số.

Biến đổi Laplace còn được sử dụng để giải phương trình vi phân và được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật điện (electrical engineering). Phương pháp sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân được phát triển bởi kỹ sư người Anh Oliver Heaviside.

Những ví dụ dưới đây được sử dụng trong hệ đơn vị SI

Giải phương trình vi phân

Bài toán trong vật lý hạt nhân nguyên tử

Phương trình biểu diễn sự phân rã phóng xạ của một chất đồng vị phóng xạ

$\backslash frac\{dN\}\{dt\}\; =\; -\backslash lambda\; N$(1) N=N(t): số nguyên tử còn lại không bị phân rã ở thời điểm t(s) $\backslash lambda$: hằng số phân rã

Ta sẽ sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình này

Từ (1) ta có

$\backslash frac\{dN\}\{dt\}\; +\; \backslash lambda\; N\; =\; 0$

Thực hiện biến đổi Laplace cho cả hai vế của phương trình

$\backslash left(s\; \backslash tilde\{N\}(s)\; -\; N\_o\; \backslash right)\; +\; \backslash lambda\; \backslash tilde\{N\}(s)\; \backslash \; =\; \backslash \; 0$

Với $\backslash tilde\{N\}(s)\; =\; \backslash mathcal\{L\}\{N(t)\}$

$N\_o\; \backslash \; =\; \backslash \; N(0).$

Giải phương trình ta có

$\backslash tilde\{N\}(s)\; =\; \{\; N\_o\; \backslash over\; s\; +\; \backslash lambda\; \}.$

Cuối cùng ta thực hiện biến đổi ngược để chuyển về miền t

$N(t)\; \backslash \; =\; \backslash mathcal\{L\}^\{-1\}\; \backslash \{\backslash tilde\{N\}(s)\backslash \}\; =\; \backslash mathcal\{L\}^\{-1\}\; \backslash left\backslash \{\; \backslash frac\{N\_o\}\{s\; +\; \backslash lambda\}\; \backslash right\backslash \}$

Tổng trở Z(s) của tụ điện và cuộn cảm

Ví dụ này dựa vào lý thuyết giải tích mạch điện (electrical circuit)

Quan hệ dòng áp của các phần tử RLC trong miền thời gian t

$i\_R\; (t)=\backslash frac\{V\_R\; (t)\}\{R\}$ $i\_C\; (t)=C.\backslash frac\{dV\_C\; (t)\}\{dt\}$ $V\_L\; (t)=L.\backslash frac\{di\_L\; (t)\}\{dt\}$

Với i(t) là lượng điện tích chạy qua các thành phần RLC trong một đơn vị thời gian và V(t) là điện áp giữa 2 đầu từng thành phần RLC, cũng là hàm theo thời gian t

Dùng biến đổi Laplace để chuyển sang miền s

$V\_R\; (s)=R.I)(s)$ $V\_L\; (s)=s.L.I(s)-L.I\_o$ $V\_C\; (s)=\backslash frac\{1\}\{sC\}I(s)+\backslash frac\{V\_o\}\{s\}$

Với $I(s)=\backslash mathcal\{L\}\{i(t)\}$, $V(s)=\backslash mathcal\{L\}\{v(t)\}$

$I\_o=i(0)$: dòng điện ban đầu chạy qua cuộn cảm L $V\_o=V\_C(0)$: điện áp ban đầu qua tụ điện C

Tổng trở Z(s) được định nghĩa là tỷ số giữa áp V và dòng i khi điều kiện ban đầu bằng 0

$Z(s)\; =\; \{\; V(s)\; \backslash over\; I(s)\; \}\; \backslash bigg|\_\{V\_o\; =\; 0\}.$

Từ đây ta suy ra tổng trở của các thành phần RLC

$Z\_R\; (s)=R$ $Z\_L\; (s)=s.L$ $Z\_C\; (s)=\backslash frac\{1\}\{sC\}$

Hàm truyền

Sự liên hệ giữa miền thời gian t và miền tần số được biểu diễn thông qua bảng sau: giữa

Chú ý rằng ký hiệu * trong miền thời gian chính là phép nhân chập

Xét hệ tuyến tính bất biến theo thời gian với

$h(t)\; =\; A\; e^\{-\; \backslash alpha\; t\}\; \backslash cos(\backslash omega\_d\; t\; -\; \backslash phi\_d)$ (1) $\backslash omega\_d\; t\; -\; \backslash phi\_d\; \backslash ge\; 0$ $0\; \backslash le\; \backslash phi\_d\; \backslash le\; 2\; \backslash pi$: sự trễ pha

Ta biến đổi (1)

$h(t)\; =\; A\; e^\{-\; \backslash alpha\; t\}\; \backslash cos\; \backslash left[\; \backslash omega\_d\; (t\; -\; t\_d)\; \backslash right]\; \backslash cdot\; u(t\; -\; t\_d)$

Với $t\_d\; =\; \{\; \backslash phi\_d\; \backslash over\; \backslash omega\_d\; \}$: thời gian trễ của hệ và u(t) là hàm bước Heaviside.

Hàm truyền H(s) được suy ra bằng cách dùng biến đổi Laplace đối với hàm h(t)

$H(s)\; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash mathcal\{L\}\; \backslash \{\; h(t)\; \backslash \}\; =\; A\; e^\{-s\; t\_d\}\; \{(s\; +\; \backslash alpha)\; \backslash over\; (s\; +\; \backslash alpha)^2\; +\; \backslash omega\_d^2\; \}$ $=\; \backslash \; A\; e^\{-s\; t\_d\}\; \{(s\; +\; \backslash alpha)\; \backslash over\; (s^2\; +\; 2\; \backslash alpha\; s\; +\; \backslash alpha^2)\; +\; \backslash omega\_d^2\; \}$ $=\; \backslash \; A\; e^\{-s\; t\_d\}\; \{(s\; +\; \backslash alpha)\; \backslash over\; (s^2\; +\; 2\; \backslash alpha\; s\; +\; \backslash omega\_0^2)\; \}$

với $\backslash omega\_0\; =\; \backslash sqrt\{\backslash alpha^2\; +\; \backslash omega\_d^2\}$ là tần số cộng hưởng của hệ(rad/s)

Phương pháp khai triển thừa số riêng phần

Xét hệ tuyến tính bất biến với thời gian và hàm truyền

$H(s)\; =\; \backslash frac\{1\}\{(s+\backslash alpha)(s+\backslash beta)\}$ $h(t)\; =\; \backslash mathcal\{L\}^\{-1\}\backslash \{H(s)\backslash \}$: biến đổi Laplace ngược của hàm truyền H(s)

Để thực hiện biến đổi Laplace ngược, ta bắt đầu khai triển H(s) bằng cách sử dụng phương pháp khai triển riêng phần

$H(s)\; =\; \backslash frac\{1\}\{(s+\backslash alpha)(s+\backslash beta)\}\; =\; \{\; P\; \backslash over\; (s+\backslash alpha)\; \}\; +\; \{\; R\; \backslash over\; (s+\backslash beta)\; \}$

P, R là các hằng số chưa biết. Để tìm hằng số này ta dùng đồng nhất thức

$\backslash frac\{s+\backslash alpha\}\{s+\backslash beta\}=\backslash frac\{P(s+\backslash beta)+R(s+\backslash alpha)\}\{(s+\backslash alpha)(s+\backslash beta)\}$

Từ đây suy ra

$P\; =\; \backslash left.\{1\; \backslash over\; (s+\backslash beta)\}\backslash right|\_\{s=-\backslash alpha\}\; =\; \{1\; \backslash over\; (\backslash beta\; -\; \backslash alpha)\}$

và

$R\; =\; \backslash left.\{1\; \backslash over\; (s+\backslash alpha)\}\backslash right|\_\{s=-\backslash beta\}\; =\; \{1\; \backslash over\; (\backslash alpha\; -\; \backslash beta)\}\; =\; \{-1\; \backslash over\; (\backslash beta\; -\; \backslash alpha)\}\; =\; -\; P$

Thay vào H(s) ta tìm được

$H(s)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{\backslash beta-\backslash alpha\}\; \backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash left(\{\; 1\; \backslash over\; (s+\backslash alpha)\; \}\; -\; \{\; 1\; \backslash over\; (s+\backslash beta)\; \}\; \backslash right)$

Cuối cùng sử dụng tính chất và bảng biến đổi Laplace, ta thực hiện biến đổi Laplace ngược cho hàm H(s)

$h(t)\; =\; \backslash mathcal\{L\}^\{-1\}\backslash \{H(s)\backslash \}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash beta-\backslash alpha\}\backslash left(e^\{-\backslash alpha\; t\}-e^\{-\backslash beta\; t\}\backslash right)$

Tổng hợp hàm sin, cos và hàm mũ

Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace $X(s)\; =\; \backslash frac\{s+\backslash beta\}\{(s+\backslash alpha)^2+\backslash omega^2\}$

Ta tìm hàm ngược của X(s) bằng cách thêm và bớt hằng số vào tử số

$X(s)\; =\; \backslash frac\{s+\backslash alpha\; \}\; \{\; (s+\backslash alpha)^2+\backslash omega^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash beta\; -\; \backslash alpha\; \}\{(s+\backslash alpha)^2+\backslash omega^2\}$

Dựa vào định lý dịch chuyển ta có

$x(t)\; =\; e^\{-\backslash alpha\; t\}\; \backslash mathcal\{L\}^\{-1\}\; \backslash left\backslash \{\; \{s\; \backslash over\; s^2\; +\; \backslash omega^2\}\; +\; \{\; \backslash beta\; -\; \backslash alpha\; \backslash over\; s^2\; +\; \backslash omega^2\; \}\; \backslash right\backslash \}$

:$=\; e^\{-\backslash alpha\; t\}\; \backslash mathcal\{L\}^\{-1\}\; \backslash left\{\; \{s\; \backslash over\; s^2\; +\; \backslash omega^2\}\; +\; \backslash left(\{\; \backslash beta\; -\; \backslash alpha\; \backslash over\; \backslash omega\; \}\; \backslash right)\; \backslash left(\{\; \backslash omega\; \backslash over\; s^2\; +\; \backslash omega^2\; \}\; \backslash right)\; \backslash right\}$

:$=\; e^\{-\backslash alpha\; t\}\; \backslash left[\; \backslash mathcal\{L\}^\{-1\}\; \backslash left\{\; \{s\; \backslash over\; s^2\; +\; \backslash omega^2\}\; \backslash right\}\; +\; \backslash left(\{\; \backslash beta\; -\; \backslash alpha\; \backslash over\; \backslash omega\; \}\; \backslash right)\; \backslash mathcal\{L\}^\{-1\}\; \backslash left\{\; \{\; \backslash omega\; \backslash over\; s^2\; +\; \backslash omega^2\; \}\; \backslash right\}\; \backslash right]$

Cuối cùng, dùng biến đổi Laplace cho hàm sin và cos, ta thu được

$x(t)\; =\; e^\{-\backslash alpha\; t\}\; \backslash left[\; \backslash cos\{(\backslash omega\; t)\}u(t)+\backslash left(\backslash frac\{\backslash beta-\backslash alpha\}\{\backslash omega\}\backslash right)\backslash sin\{(\backslash omega\; t)\}u(t)\backslash right]$ $x(t)\; =\; e^\{-\backslash alpha\; t\}\; \backslash left[\; \backslash cos\{(\backslash omega\; t)\}+\backslash left(\backslash frac\{\backslash beta-\backslash alpha\}\{\backslash omega\}\backslash right)\backslash sin\{(\backslash omega\; t)\}\backslash right]u(t)$

Sự trễ pha

Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace

$X(s)\; =\; \backslash frac\{s\backslash sin\backslash phi+\backslash omega\; \backslash cos\backslash phi\}\{s^2+\backslash omega^2\}$

Suy ra

$X(s)\; =\; \backslash frac\{s\; \backslash sin\; \backslash phi\}\{s^2\; +\; \backslash omega^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash omega\; \backslash cos\; \backslash phi\}\{s^2\; +\; \backslash omega^2\}$

:$\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,=\; (\backslash sin\; \backslash phi)\; \backslash left(\backslash frac\{s\}\{s^2\; +\; \backslash omega^2\}\; \backslash right)\; +\; (\backslash cos\; \backslash phi)\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash omega\}\{s^2\; +\; \backslash omega^2\}\; \backslash right)$

Thực hiện biến đổi ngược cho X(s), ta có

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác (trigonometric identity)

$a\; \backslash sin\; \backslash omega\; t\; +\; b\; \backslash cos\; \backslash omega\; t\; =\; \backslash sqrt\{a^2+b^2\}\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash left(\backslash omega\; t\; +\; \backslash arctan\; (b/a)\; \backslash right)$

Ta suy ra

Tương tự ta cũng nhận được

$\backslash mathcal\{L\}^\{-1\}\; \backslash left\backslash \{\; \backslash frac\{s\backslash cos\backslash phi\; -\; \backslash omega\; \backslash sin\backslash phi\}\{s^2+\backslash omega^2\}\; \backslash right\backslash \}\; =\; \backslash cos\{(\backslash omega\; t+\backslash phi)\}$