✨Tích chập Dirichlet

Tích chập Dirichlet

Trong toán học, tích chập Dirichlet, còn gọi là phép nhân Dirichlet, là một phép toán hai ngôi đóng giữa các hàm số học, tức những hàm số đi từ tập số nguyên dương đến tập số phức. Phép toán này được sử dụng trong lý thuyết số, bao gồm lý thuyết số đại số và lý thuyết số giải tích, cũng như những bài toán đếm tổ hợp.

thumb|right|Nhà toán học [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] Nhà toán học Dirichlet phát triển tích chập này năm 1837 để chứng minh định lý về cấp số cộng mang tên ông.

Định nghĩa và ví dụ

Ký hiệu

Trong bài viết này, ta sẽ sử dụng các ký hiệu sau:

  • là tập hợp các hàm số học, trong đó
  • là hàm chỉ thị cho tập đơn vị : và với mọi số nguyên dương khác ,
  • là hàm hằng có giá trị : ,
  • là hàm đồng nhất: .

Định nghĩa

Tích chập này xuất hiện trong quá trình nghiên cứu các chuỗi Dirichlet như hàm zeta Riemann. Nó miêu tả phép nhân hai chuỗi Dirichlet biểu diễn bằng các hệ số của chúng: : \left(\sum{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}\right) \left(\sum{n=1}^\infty \frac{g(n)}{n^s}\right)

\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{(f*g)(n)}{n^s}\right).

Ví dụ

  • Mọi hàm số học đều thỏa mãn đẳng thức
  • Tích chập của hàm phi Euler với hàm hằng là hàm đồng nhất: Điều này tương đương với đẳng thức n = \sum_{d\,\mid \,n} \varphi(d).

Tính chất

Cơ bản

Tích chập Dirichlet có các tính chất sau đây:

  • Tính giao hoán : f g = g f.
  • Tính kết hợp : f (g h) = (f g) h
  • Tính phân phối với phép cộng : f (g + h) = f g + f * h
  • Phần tử đơn vị là : f \delta_1 = \delta_1 f = f

Cấu trúc

Tập hợp các hàm số học, cùng với phép cộng thông thường (tức với mọi ) và phép nhân Dirichlet, tạo thành một miền nguyên, hay vành Dirichlet. Điều này suy ra từ việc cùng với phép cộng tạo thành một nhóm giao hoán, và phép toán tích chập có tính giao hoán, tính kết hợp, tính phân phối với phép cộng, đơn vị của phép nhân là hàm , và nếu thì

Phép toán định nghĩa bởi (trong đó là hàm lôgarít trong cơ số bất kỳ) là một đạo hàm trên vành này.

Hàm nhân tính

Hàm nhân tính là những hàm số học thỏa mãn và với mọi số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Hàm nhân tính hoàn toàn là những hàm nhân tính mà với mọi số nguyên dương và , bất kể có nguyên tố cùng nhau hay không.

Nhóm hàm nhân tính

Mặc dù phép nhân Dirichlet có tính giao hoán, vành các hàm số học không phải là một trường, bởi một nghịch đảo phép nhân không nhất thiết phải tồn tại. Cụ thể, một hàm số học có nghịch đảo Dirichlet khi và chỉ khi Các hàm số như thế tạo thành nhóm đơn vị của vành

Tích chập Dirichlet của hai hàm nhân tính thì là một hàm nhân tính, và mọi hàm nhân tính khác đều có một nghịch đảo Dirichlet cũng nhân tính. Nói cách khác, các hàm nhân tính tạo thành một nhóm con của nhóm đơn vị các phần tử khả nghịch của vành Dirichlet. Cần chú ý rằng tổng của hai hàm nhân tính thì không nhất thiết nhân tính, do đó tập hợp các hàm nhân tính không tạo thành một vành con của vành Dirichlet.

Hàm Möbius

Hàm hằng cũng thuộc nhóm hàm nhân tính ở trên. Nghịch đảo Dirichlet của nó là hàm Möbius : : \mathbf{1} * \mu = \delta_1.

Nghịch đảo này của đóng vai trò quan trọng trong tích chập Dirichlet. Nếu ta có hàm số học và thỏa mãn thì bằng tích chập với , ta có . Việc biểu diễn theo này được gọi là công thức nghịch đảo Möbius.

Một ví dụ của công thức này là với hàm phi Euler. Theo ví dụ thứ hai ở trên, ta có đẳng thức Bằng công thức nghịch đảo, ta suy ra: : \varphi = \textrm{Id} * \mu \quad \text{hay} \quad \varphi(n)=\sum_{d\,\mid\, n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)d.

Hàm nhân tính hoàn toàn

Tích chập Dirichlet của hai hàm nhân tính hoàn toàn là một hàm nhân tính, nhưng không nhất thiết nhân tính hoàn toàn. Ví dụ như tích chập chính là hàm đếm số ước và là một hàm số không nhân tính hoàn toàn: còn

Nếu là một hàm nhân tính hoàn toàn thì:

  • Nghịch đảo Dirichlet của nó là tích thông thường , : f^{-1}(n) = (f\mu)(n) = f(n)\mu(n).
  • Tích chập Dirichlet của với chính nó bằng tích , : (f * f)(n) = f(n) \sigma_0 (n).
  • Với mọi hàm số học và , ta có tính chất phân phối

Tính chất đầu tiên trong ba tính chất này còn xác định một hàm nhân tính hoàn toàn, tức một hàm số học là nhân tính hoàn toàn khi và chỉ khi nó thỏa tính chất đầu tiên.

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
Trong toán học, **tích chập Dirichlet**, còn gọi là **phép nhân Dirichlet**, là một phép toán hai ngôi đóng giữa các hàm số học, tức những hàm số đi từ tập số nguyên dương đến
Trong lý thuyết số, **hàm nhân tính hoàn toàn** hay **hàm nhân tính toàn bộ** là một hàm số học giữ lại phép nhân giữa hai số bất kỳ. Nói cách khác, hàm số định
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
Trong toán học và thống kê, một **phân phối xác suất** hay thường gọi hơn là một **hàm phân phối xác suất** là quy luật cho biết cách gán mỗi xác suất cho mỗi khoảng
Trong **thị giác máy tính**, **mô hình túi từ** (**bag-of-words model,** mô hình BoW) có thể được áp dụng để phân loại hình ảnh, bằng cách coi các đặc trưng của hình ảnh như từ
**Lý thuyết số** là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà
**Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor** (;  – 6 tháng 1 năm 1918) là một nhà toán học người Đức, được biết đến nhiều nhất với tư cách cha đẻ của lý thuyết tập hợp, một
**Norbert Wiener** (26 tháng 11 năm 1894 - 18 tháng 3 năm 1964) là một nhà toán học và triết học Mỹ. Ông là Giáo sư Toán học tại MIT. Được biết đến như một
Trong vật lý và các ngành khoa học khác, một **hệ thống phi tuyến**, trái ngược với một hệ thống tuyến tính, là một hệ thống mà không thỏa mãn nguyên tắc xếp chồng -
thumb|220x124px | right | Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a
Mặc dù hàm số không được định nghĩa tại , khi tiến
phải|nhỏ|Sơ đồ Voronoi của một tập hợp các điểm được chọn ngẫu nhiên trên mặt phẳng (tất cả các điểm này đều nằm trong hình vẽ). Trong toán học, một **sơ đồ Voronoi**, đặt tên
**Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến** (_The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences_), hay đơn giản là **Sloane's**, là cơ sở dữ liệu chuỗi số nguyên trực tuyến. Bảng được tạo ra và bảo