thế=|nhỏ|Về cơ bản, một độ đo có tính chấn của một [[hàm số đơn điệu|hàm đơn điệu theo nghĩa, nếu là tập con của khi này độ đo của nhỏ hơn hoặc bằng độ đo của . Hơn nữa, độ đo của một tập rỗng phải bằng không. Một ví dụ cho độ đo là thể tích.]]
Trong toán học, khái niệm độ đo (tiếng Anh: measure) là khái niệm tổng quát của các phép đo lường hình học như độ dài, diện tích hay thể tích và các khái niệm thông thường khác như chuẩn, khối lượng hay xác suất của các sự kiện. Những khái niệm này trông không liên quan tới nhau, nhưng lại có nhiều điểm chung và có thể được "đối xử" như nhau trên phuơng diện toán học. Độ đo là nền tảng của lý thuyết xác suất, tích phân và có thể được tổng quát hóa để biểu diễn các giá trị âm, như với điện tích. Các phép tổng quát rộng hơn của độ đo còn được sử dụng trong vật lý lượng tử và vật lý.
Ý tưởng của đọ đo đã xuất hiện kể từ Hy Lạp cổ đại, khi Archimedes cố gắng tính toán diện tích hình tròn. Nhưng phải tới cuối thế kỷ 19 - đầu thế kỷ 20, lý thuyết độ đo mới trở thành một nhánh của toán học. Sự ra đời của lý thuyết độ đo hiện đại đã xuất hiện trong công trình của Émile Borel, Henri Lebesgue, Nikolai Luzin, Johann Radon, Constantin Carathéodory, Maurice Fréchet và nhiều người khác.
Tính chất
Các tính chất sau đây có được từ các tiên đề trên:
Tính đơn điệu: Nếu E1,E2,... là các tập đo được và E1 là tập con của E2, thì μ(E1) ≤ μ(E2).
Tính hợp đếm được: Nếu E1,E2,E3,... là các tập đo được và En chứa trong En+1 với mọi n, vậy thì hợp E của các tập En là đo được và μ(E) = lim μ(En).
*Tính giao đếm được: Nếu E1,E2,E3,... là các tập đo được và En+1 chứa trong En với mọi n, vậy thì giao E của các tập En là đo được; hơn nữa, nếu tồn tại một tập En có độ đo hữu hạn, thì μ(E) = lim μ(En).
Một tập S được gọi là hầu như rỗng hay có thể bỏ được nếu μ(S) = 0. Độ đo μ được gọi là đủ nếu mọi tập con của một tập hầu như rỗng là đo được (một tập con như vậy thì bản thân nó cũng là một tập hầu như rỗng).
Ví dụ
Sau đây là một vài ví dụ tiêu biểu về độ đo:
Độ đo đếm được định nghĩa bởi = số phần tử của S.
Độ đo Lebesgue là độ đo đủ duy nhất bất biến qua phép dịch chuyển trên σ-đại số chứa các đoạn trên sao cho với
- Độ đo Haar cho một nhóm khả tô pô compact địa phương là trường hợp đặc biệt quan trọng của độ đo (chính xác hơn là độ đo Radon). Nó bất biên đối với phép dịch chuyển trong nhóm.
- Độ đo không được định nghĩa bởi với mọi S.
- Mọi không gian khả xác suất đều cho phép định nghĩa một độ đo nhận giá trị bằng 1 cho tập hợp toàn thể (và cũng nhận tất cả các giá trị trong đoạn [0, 1]). Một độ đo như vậy được gọi là một độ đo xác suất. Xem các tiên đề xác suất.
*Các khái niệm metric như độ dài, diện tích, thể tích đều là độ đo.
Tổng quát
Trong một vài trường hợp, sẽ rất có ích nếu ta có một "độ đo" cho các giá trị không bị giới hạn chỉ ở các số thực dương và ở vô hạn. Ví dụ, một hàm σ-cộng tính được định nghĩa trên các tập hợp và cho các giá trị dương được gọi là "độ đo đảm bảo" (độ đo signée), trong khi một hàm cũng như vậy, nhưng cho giá trị là các giá trị phức, được gọi là "độ đo phức". Một độ đo cho các giá trị trong một không gian Banach được gọi là "độ đo ảo" (độ đo spectrale). Các độ đo này được dùng chủ yếu trong giải tích hàm cho định lý ảo (định lý spectral).
Về khái niệm độ đo "cộng tính" hay "trung bình", định nghĩa tương tự như định nghĩa của độ đo nhưng tính σ-cộng tính được thay bởi tính cộng tính hữu hạn. Thật ra trước đây định nghĩa này được đưa vào trước, nhưng lại có ít ứng dụng trong thực tế.
Một kết quả đáng lưu ý trong hình tích phân, được biết dưới cái tên định lý Hadwiger, phát biểu rằng: không gian các bất biến hàm qua một phép biến đổi, cộng tính, là hàm số của các tập hợp không nhất thiết dương và được định nghĩa trên hợp của các tập compact lồi trong , được cấu thành từ các độ đo đồng nhất bậc k với mọi k = 0,1,2,...,n và tổ hợp tuyến tính của các "độ đo" này.
Tính "đồng nhất bậc k" nghĩa là "mở rộng" bất kỳ một tập hợp nào đó bởi bất kỳ một hệ số c>0 nào đó cho nhân "độ đo" của tập hợp với ck. Độ đo duy nhất có tính đồng nhất bậc n là thể tích thông thường với số chiều là n. Độ đo duy nhất có tính đồng nhất bậc n-1 là "thể tích bề mặt" và được gọi là độ đo bề mặt. Độ đo có tính đồng nhất bậc 1 được gọi là "chiều rộng trung bình" (largeur moyenne). Độ đo có tính đồng nhất bậc 0 là đặc trưng Euler.
👁️
1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
phải|nhỏ|350x350px|Hệ tọa độ chân trời sử dụng một [[thiên cầu lấy tâm là người quan sát. Góc phương vị được đo từ điểm bắc (nhưng đôi khi từ điểm nam) và thuận theo hướng đông
**Suy giảm độ dốc** (còn gọi là **giảm độ dốc**, tiếng Anh: **gradient descent**) là một thuật toán tối ưu hóa lặp bậc nhất để tìm một cực trị của một hàm khả vi. Để
Trong thiên văn học, **xuân phân** là một trong hai vị trí trên thiên cầu mà tại đó hoàng đạo giao với đường xích đạo thiên thể. Mặc dù có hai giao điểm của hoàng
**Đo sâu điện thẳng đứng**, thường gọi theo viết tắt tiếng Anh là **VES** (_Vertical electrical sounding_) hay theo tiếng Nga là **VEZ** (_Вертикальное электрическое зондирование_), là một phương pháp địa vật lý thuộc nhóm
**Phó vương và Toàn quyền Ấn Độ** (Tiếng Anh: Viceroy and governor-general of India; 1773 - 1950, từ 1858 đến 1947 được gọi là Phó vương và Toàn quyền Ấn Độ) là đại diện của
**Lịch sử Ấn Độ độc lập** bắt đầu khi Ấn Độ trở thành quốc gia độc lập trong Khối Thịnh vượng chung Anh vào ngày 15 tháng 8 năm 1947. Kể từ năm 1858, người
**Danh sách Toàn quyền Ấn Độ** là thống kê những cá nhân được bổ nhiệm đứng đầu chính phủ thuộc địa Ấn Độ thuộc Anh và sau này còn được chỉ định đại diện cho
**Độ tương tự cosin** là một cách đo độ tương tự (measure of similarity) giữa hai vectơ khác không của một không gian tích vô hướng. Độ tương tự này được định nghĩa bằng giá
nhỏ|Ông lão người do thái Ashkenazi **Người Do Thái Ashkenazi** ( ), hay còn gọi là **Ashkenazic Do Thái** trong tiếng Hebrew số nhiều có hậu tố _-im,_ **Ashkenazim** là một Cộng đồng người Do
nhỏ|Hàng nghìn bia mộ được đặt trong Nghĩa trang Do Thái cổ ở Prague. **Nghĩa trang Do Thái Cổ** (tiếng Séc: _Starý židovský hřbitov_) là nghĩa trang Do Thái ở Praha, Cộng hòa Séc. Đây
nhỏ|[[Ze'ev Jabotinsky]] **Chủ nghĩa phục quốc Do Thái xét lại** (tiếng Hebrew: ציונות רוויזיוניסטית) hay **Chủ nghĩa Zion xét lại** là một phong trào trong Chủ nghĩa phục quốc Do Thái do Ze'ev Jabotinsky khởi
**Đơn vị đo lường** hay **đơn vị đo** là bất kỳ một đại lượng vật lý, hay tổng quát là một khái niệm, nào có thể so sánh được, ở điều kiện tiêu chuẩn (thường
liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp tin:Measuring_Tape_Inch+CM.jpg|nhỏ|Một chiếc [[thước cuộn thép với cả đơn vị đo lường hệ mét và đơn vị đo lường của Anh đặc cạnh hai đồng xu Mỹ để so sánh.]] **Đo lường** là việc gán
**Bản đồ học** hay **Đồ bản học** là khoa học nghiên cứu và phản ánh sự phân bố không gian, sự phối hợp mối liên hệ giữa các đối tượng, hiện tượng tự nhiên và
nhỏ|300x300px|Mật độ dân số theo quốc gia năm [[2018]] **Mật độ dân số** là một phép đo dân số trên đơn vị diện tích. Nó thường được áp dụng cho các sinh vật sống nói
**Tượng Nữ thần Tự do** (; tên đầy đủ là **Nữ thần Tự do Soi sáng Thế giới**; ; ) là một tác phẩm điêu khắc bằng đồng theo phong cách tân cổ điển với
Một **Hệ tọa độ Descartes** (tiếng Anh: **Cartesian coordinate system**) xác định vị trí của một điểm (_point_) trên một mặt phẳng (_plane_) cho trước bằng một cặp số tọa độ (_x_, _y_). Trong đó,
**Bảng mạch đồ họa**, **Bộ chuyển đổi đồ hoạ** (_graphics adapter_), **thẻ đồ họa, card đồ họa (graphics card)**, **thẻ màn hình**, **card màn hình** là một bảng mạch mở rộng (expansion card) dùng để
**Thang đo Richter** là một loại thang để xác định sức tàn phá của các cơn động đất (địa chấn). Sau này, nó được xem lại và đổi tên thành **thang độ lớn địa phương**,
Máy ghi của máy đo mưa nhỏ giọt Biểu đồ đo mưa của máy đo mưa nhỏ giọt **Máy đo mưa** hay còn gọi là **vũ lượng kế** hoặc **vũ kế** là một dụng cụ
**Nhạc đỏ**, tức **nhạc cách mạng Việt Nam**, là một dòng của tân nhạc Việt Nam gồm những bài hát được hình thành và phát triển trong thời kỳ Việt Nam Dân chủ Cộng hoà
**Tốc độ ánh sáng** trong chân không, ký hiệu là , là một hằng số vật lý cơ bản quan trọng trong nhiều lĩnh vực vật lý. Nó có giá trị chính xác bằng 299.792.458 m/s
nhỏ|Hệ tọa độ xích đạo|257x257px **Hệ tọa độ xích đạo** là hệ tọa độ thiên văn được sử dụng nhiều cho các quan sát bầu trời từ Trái Đất. Nó là hệ tọa độ gắn
Máy đo gió trên nóc Deconism Gallery. **Máy đo gió** (tiếng Anh: _anemometer_, bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp là "_anemos_" có nghĩa là _gió_), Hán Việt: **Phong tốc kế** 風速計, là một thiết bị
thumb|[[Eleanor Roosevelt và Tuyên Ngôn Quốc tế Nhân quyền (1949)— Điều 19 quy định rằng "Ai cũng có quyền tự do quan niệm và tự do phát biểu quan điểm; quyền này bao gồm quyền
Lưu ý: Danh sách **thuật ngữ lý thuyết đồ thị** này chỉ là điểm khởi đầu cho những người mới nhập môn làm quen với một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản. Bài
Trong lý thuyết đồ thị, một **đồ thị phẳng** là một đồ thị có thể được nhúng vào mặt phẳng, tức là có thể được vẽ trên mặt phẳng sao cho các cạnh chỉ gặp
:_Bài này chỉ viết về các định nghĩa cơ bản. Để hiểu rộng hơn, xin xem lý thuyết đồ thị. Về ý nghĩa biểu diễn hàm số trên hệ tọa độ, xem đồ thị hàm
nhỏ|phải|Hình vẽ một đồ thị có 6 đỉnh và 7 cạnh Trong toán học và tin học, **lý thuyết đồ thị** (tiếng Anh: _graph theory_) nghiên cứu các tính chất của đồ thị. Một cách
## Tác động Nhiều quá trình vật lý liên quan đến nhiệt độ, chẳng hạn như: * Các tính chất vật lý của vật chất bao gồm pha (rắn, lỏng, khí hoặc plasma), tỷ trọng,
nhỏ|Một biển cảnh báo giao thông tại [[Québec với ghi chú rằng nhiệt độ nóng chảy của nước là 0
°C .]] **Nhiệt độ nóng chảy**, còn gọi là **điểm nóng chảy** hay **nhiệt độ
**Sách đỏ IUCN** hay gọi tắt là **Sách đỏ** (tiếng Anh: _IUCN Red List of Threatened Species_ hay _IUCN Red List_) được bắt đầu từ năm 1964, là danh sách toàn diện nhất về tình
**Đô thị hóa** là sự mở rộng của đô thị, tính theo tỉ lệ phần trăm giữa số dân đô thị hay diện tích đô thị trên tổng số dân hay diện tích của một
phải|nhỏ|Biểu tượng của Ấn Độ giáo được thế giới biết đến nhỏ|phải|Một ngôi đền Ấn Độ giáo **Ấn Độ giáo**, **Ấn giáo** hay **Hindu giáo** (Hưng đô giáo) là một tôn giáo, hệ thống tín
**Ấn Độ** (, ), tên gọi chính thức là **Cộng hòa Ấn Độ** (, ) là một quốc gia ở khu vực Nam Á. Đây là quốc gia lớn thứ 7 về diện tích và
nhỏ|Bản đồ thế giới do [[Johannes Kepler]] nhỏ|Bản đồ thế giới năm 2016 **Bản đồ** là hình thu nhỏ tương đối chính xác về một khu vực hay cả Trái Đất. Bản vẽ đơn giản
thumb|Hệ **tọa độ hoàng đạo** với tâm đặt tại [[Trái Đất, được nhìn từ phía ngoài thiên cầu. Hoàng kinh (màu đỏ) được đo dọc theo hoàng đạo từ điểm xuân phân. Hoàng vĩ (màu
Trong thiên văn học, **hệ tọa độ thiên văn** là một hệ tọa độ mặt cầu dùng để xác định vị trí biểu kiến của thiên thể trên thiên cầu. Trong tọa độ Descartes, một
**Khmer Đỏ** (tiếng Campuchia: ខ្មែរក្រហម, ) là tên gọi dành cho thế lực và tổ chức chính trị cực tả cầm quyền tại Campuchia từ 1975 đến 1979 dưới sự lãnh đạo công khai của
**Ấn Độ Dương** (Tiếng Anh: _Indian Ocean_) là đại dương có diện tích lớn thứ ba trên thế giới, bao phủ 75.000.000 km² hay 19,8% diện tích mặt nước trên Trái Đất. Đại dương này được
Đền Taj Mahal **Nền văn minh Ấn Độ** là một nền văn minh nổi tiếng và thuộc về những nền văn minh cổ nhất thế giới. Nền văn minh Ấn Độ thời cổ đại bao
Đồng **đô la Mỹ** hay **Mỹ kim**, **USD** (), còn được gọi ngắn là "đô la" hay "đô", là đơn vị tiền tệ chính thức của Hoa Kỳ. Nó cũng được dùng để dự trữ
nhỏ|Tịnh độ phương Đông|375x375px **Tịnh độ** (zh. _jìngtǔ_ 淨土, sa. _buddhakṣetra_, ja. _jōdo_) nguyên nghĩa Phạn ngữ là Phật (_buddha_) độ (_kṣetra_), cõi Phật, cõi thanh tịnh. Trong Bắc tông, người ta hiểu mỗi Tịnh
**Do Thái giáo** hay **đạo Do Thái** (tiếng Hebrew: יהודה, _Yehudah_, "Judah" theo tiếng Latin và tiếng Hy Lạp) là một tôn giáo đơn thần cổ đại thuộc nhóm các tôn giáo khởi nguồn từ
Các điểm trong hệ tọa độ cực với gốc cực _O_ và trục cực _L_. Điểm màu xanh lá có bán kính là 3 và góc phương vị là 60°, tọa độ là (3, 60°).
liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp tin:Abm2.jpg|nhỏ|260x260px|Người nhảy xuống nước, sử dụng ý chí tự do của mình **Ý chí tự do** là khả năng lựa chọn giữa các con đường hành động có thể mà không bị cản trở.
Lịch sử Ấn Độ bắt đầu với thời kỳ Văn minh lưu vực sông Ấn Độ, một nền văn minh phát triển hưng thịnh tại phần Tây Bắc tiểu lục địa Ấn Độ từ năm
thumb|alt=Màn hình máy tính của hệ điều hành, màn hình hiển thị các ứng dụng phần mềm tự do khác nhau.|Ví dụ về một hệ điều hành phần mềm tự do hiện đại chạy một
**Máy dò kim loại** hay **máy phát hiện kim loại** là thiết bị ứng dụng hiện tượng _cảm ứng điện từ_ để phát hiện ra các vật bằng kim loại thông qua độ dẫn điện
**Đỗ Bảo** (tên đầy đủ là **Đỗ Quốc Bảo**, sinh ngày 30 tháng 6 năm 1978 tại Hà Nội) là nhạc sĩ và nhà sản xuất âm nhạc người Việt Nam. Anh là một trong