✨Hệ tọa độ Descartes

Một Hệ tọa độ Descartes (tiếng Anh: Cartesian coordinate system) xác định vị trí của một điểm (point) trên một mặt phẳng (plane) cho trước bằng một cặp số tọa độ (x, y). Trong đó, x và y là 2 giá trị được xác định bởi 2 đường thẳng có hướng vuông góc với nhau (cùng đơn vị đo). 2 đường thẳng đó gọi là trục tọa độ (coordinate axis) (hoặc đơn giản là trục); trục nằm ngang gọi là trục hoành, trục đứng gọi là trục tung; điểm giao nhau của 2 đường gọi là gốc tọa độ (origin) và nó có giá trị là (0, 0).

Hệ tọa độ này là ý tưởng của nhà toán học và triết học người Pháp René Descartes thể hiện vào năm 1637 trong hai bài viết của ông. Trong phần hai của bài Phương pháp luận (Descartes) (tiếng Pháp: Discours de la méthode, tựa Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences), ông đã giới thiệu ý tưởng mới về việc xác định vị trí của một điểm hay vật thể trên một bề mặt bằng cách dùng hai trục giao nhau để đo. Còn trong bài La Géométrie, ông phát triển sâu hơn khái niệm trên.

Descartes là người đã có công hợp nhất đại số và hình học Euclide. Công trình này của ông có ảnh hưởng đến sự phát triển của ngành hình học giải tích, tích phân, và khoa học bản đồ.

Ngoài ra, ý tưởng về hệ tọa độ có thể được mở rộng ra không gian ba chiều (three-dimensional space) bằng cách sử dụng 3 tọa độ Descartes (nói cách khác là thêm một trục tọa độ vào một hệ tọa độ Descartes). Một cách tổng quát, một hệ tọa độ n-chiều có thể được xây dựng bằng cách sử dụng n tọa độ Descartes (tương đương với n-trục).

Hệ tọa độ trên mặt phẳng (2 chiều)

Là 2 trục vuông góc x'Ox và y'Oy mà trên đó đã chọn 2 vectơ đơn vị $\backslash vec\; i$, $\backslash vec\; j$ sao cho độ dài của 2 vectơ này bằng nhau

Trục x'Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.

Trục y'Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

Tọa độ vectơ

Nếu $\backslash vec\{a\}=x\backslash vec\{i\}+y\backslash vec\{j\}$ thì cặp số (x;y) được gọi là tọa độ của vectơ $\backslash vec\{a\}$. x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của $\backslash vec\{a\}$.

Ký hiệu $\backslash vec\{a\}=(x;y)$

Tọa độ điểm

Mỗi điểm M được xác định bởi một cặp số M(x,y), được gọi là tọa độ điểm M, x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của điểm M

Tính chất:

• $\backslash forall\; x\backslash neq0,\; M(x;0)\backslash in\; Ox$
• $\backslash forall\; y\backslash neq0,\; M(0;y)\backslash in\; Oy$
• Tọa độ của một điểm chính là tọa độ của vectơ có điểm cuối là điểm đó và điểm đầu là O. Ta có $M\; \backslash left(x,y\; \backslash right)\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash overrightarrow\{OM\}=(x;y)$

Tìm tọa độ của vectơ biết tọa độ điểm đầu và cuối

Cho 2 điểm $A(x\_A;y\_A)$ và $B(x\_B;y\_B)$, khi đó ta có $\backslash overrightarrow\{AB\}=\; \backslash left(x\_B-x\_A;y\_B-y\_A\; \backslash right)$

Độ dài vectơ và khoảng cách giữa 2 điểm

Cho $\backslash vec\{a\}=(a\_1;a\_2)$, khi đó $\backslash left\backslash vert\; \backslash vec\{a\}\; \backslash right\backslash vert=\backslash sqrt\{a\_1^2+a\_2^2\}$ là độ dài của vectơ $\backslash vec\{a\}$

Cho 2 điểm $A(x\_A;y\_A)$ và $B(x\_B;y\_B)$, khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng cách giữa A và B là $AB=\backslash sqrt\{\backslash left(x\_B-x\_A\; \backslash right)^2+\; \backslash left(y\_B-y\_A\; \backslash right)^2\}$

Góc giữa 2 vectơ

Cho $\backslash vec\{a\}=(a\_1;a\_2)$ và $\backslash vec\{b\}=(b\_1;b\_2)$. Gọi $\backslash alpha$ là góc giữa 2 vectơ $\backslash vec\{a\}$ và $\backslash vec\{b\}$. Khi đó $\backslash cos\; \backslash alpha=\{a\_1b\_1+a\_2b\_2\; \backslash over\; \backslash sqrt\{\backslash left(a\_1^2+a\_2^2\; \backslash right)\; \backslash left(b\_1^2+b\_2^2\; \backslash right)$

Một số biểu thức tọa độ

Cho $\backslash vec\{a\}=(a\_1;a\_2)$ ta có $k\backslash vec\{a\}=(ka\_1;ka\_2)$

Cho $\backslash vec\{a\}=(a\_1;a\_2)$ và $\backslash vec\{b\}=(b\_1;b\_2)$ ta có

$\backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\}=(a\_1+b\_1;a\_2+b\_2)$ $\backslash vec\{a\}-\backslash vec\{b\}=(a\_1-b\_1;a\_2-b\_2)$ $\backslash vec\{a\}.\backslash vec\{b\}=a\_1b\_1+a\_2b\_2$ $\backslash vec\{a\}$ và $\backslash vec\{b\}$ cùng phương $\backslash Leftrightarrow$ $a\_1\; b\_2=a\_2\; b\_1$

Cho đoạn thẳng AB có $A(x\_A;y\_A)$ và $B(x\_B;y\_B)$, Khi đó $I\; \backslash left(\{x\_A+x\_B\backslash over\; 2\};\{y\_A+y\_B\backslash over\; 2\}\; \backslash right)$ là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB

Cho $\backslash bigtriangleup\; ABC$ có $A(x\_A;y\_A)$, $B(x\_B;y\_B)$ và $C(x\_C;y\_C)$, khi đó $G\; \backslash left(\{x\_A+x\_B+x\_C\backslash over\; 3\};\{y\_A+y\_B+y\_C\backslash over\; 3\}\; \backslash right)$ là tọa độ trọng tâm của $\backslash bigtriangleup\; ABC$

Hệ tọa độ trong không gian (3 chiều)

Là 3 trục vuông góc nhau từng đôi một x'Ox, y'Oy, z'Oz mà trên đó đã chọn 3 vectơ đơn vị $\backslash vec\{i\}$, $\backslash vec\{j\}$, $\backslash vec\{k\}$ sao cho độ dài của 3 vectơ này bằng nhau

Trục x'Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.

Trục y'Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.

Trục z'Oz (hay trục Oz) gọi là trục cao.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

3 trục tọa độ nói trên vuông góc với nhau tạo thành 3 mặt phẳng tọa độ là Oxy, Oyz và Ozx vuộng góc với nhau từng đôi một

Tọa độ của điểm

Trong không gian, mỗi điểm M được xác định bởi bộ số M(x,y,z). và ngược lại, bộ số đó được gọi là tọa độ của điểm M, x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ và z được gọi là cao độ của điểm M.

Tính chất

• $\backslash forall\; xy\backslash neq0,\; A(x,y,0)\backslash in\; Oxy$
• $\backslash forall\; xz\backslash neq0,\; A(x,0,z)\backslash in\; Oxz$
• $\backslash forall\; yz\backslash neq0,\; A(0,y,z)\backslash in\; Oyz$
• $\backslash forall\; x\backslash neq0,M(x;0;0)\backslash in\; Ox$
• $\backslash forall\; y\backslash neq0,M(0;y;0)\backslash in\; Oy$
• $\backslash forall\; z\backslash neq0,M(0;0;z)\backslash in\; Oz$

Tọa độ của vectơ

Trong không gian, cho vectơ $\backslash vec\{a\}=x\backslash vec\{i\}+y\backslash vec\{j\}+z\backslash vec\{k\}$, khi đó bộ số (x;y;z) được gọi là tọa độ của vectơ $\backslash vec\{a\}$.

Ký hiệu: $\backslash vec\{a\}=(x;y;z)$

Liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ điểm

Cho 2 điểm $A(x\_A;y\_A;z\_A)$ và $B(x\_B;y\_B;z\_B)$, khi đó ta có $\backslash overrightarrow\{AB\}=\; \backslash left(x\_B-x\_A;y\_B-y\_A;z\_B-z\_A\; \backslash right)$

Cho điểm $M(x\_M;y\_M;z\_M)$, khi đó ta có $\backslash vec\{OM\}=(x\_M;y\_M;z\_M)$ và ngược lại

Độ dài vectơ và khoảng cách giữa 2 điểm

Cho $\backslash vec\{a\}=(a\_1;a\_2;a\_3)$, khi đó $\backslash left\backslash vert\; \backslash vec\{a\}\; \backslash right\backslash vert=\backslash sqrt\{a\_1^2+a\_2^2+a\_3^2\}$ là độ dài của vectơ $\backslash vec\{a\}$

Cho 2 điểm $A(x\_A;y\_A;z\_A)$ và $B(x\_B;y\_B;z\_B)$, khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng cách giữa A và B là $AB=\backslash sqrt\{(x\_B-x\_A)^2+(y\_B-y\_A)^2+(z\_B-z\_A)^2\}$

Góc giữa 2 vectơ

Cho $\backslash vec\{a\}=(a\_1;a\_2;a\_3)$ và $\backslash vec\{b\}=(b\_1;b\_2;b\_3)$. Gọi $\backslash alpha$ là góc giữa 2 vectơ $\backslash vec\{a\}$ và $\backslash vec\{b\}$. Khi đó

Một số biểu thức tọa độ

Cho $\backslash vec\{a\}=(a\_1;a\_2;a\_3)$ ta có $k\backslash vec\{a\}=(ka\_1;ka\_2;ka\_3)$

Cho $\backslash vec\{a\}=(a\_1;a\_2;a\_3)$ và $\backslash vec\{b\}=(b\_1;b\_2;b\_3)$ ta có

$\backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\}=(a\_1+b\_1;a\_2+b\_2;a\_3+b\_3)$ $\backslash vec\{a\}-\backslash vec\{b\}=(a\_1-b\_1;a\_2-b\_2;a\_3-b\_3)$ $\backslash vec\{a\}.\backslash vec\{b\}=a\_1b\_1+a\_2b\_2+a\_3b\_3$

Cho đoạn thẳng AB có $A(x\_A;y\_A;z\_A)$ và $B(x\_B;y\_B;z\_B)$, Khi đó $I\; \backslash left(\{x\_A+x\_B\backslash over\; 2\};\{y\_A+y\_B\backslash over\; 2\};\{z\_A+z\_B\backslash over\; 2\}\; \backslash right)$ là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB

Cho $\backslash bigtriangleup\; ABC$ có $A(x\_A;y\_A;z\_A)$, $B(x\_B;y\_B;z\_B)$ và $C(x\_C;y\_C;z\_C)$, khi đó $G\; \backslash left(\{x\_A+x\_B+x\_C\backslash over\; 3\};\{y\_A+y\_B+y\_C\backslash over\; 3\};\{z\_A+z\_B+z\_C\backslash over\; 3\}\; \backslash right)$ là tọa độ trọng tâm của $\backslash bigtriangleup\; ABC$