✨Độ cong

Trong hình học, độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong, mặt cong hay không gian Riemann nói chung.

Độ cong của một đường cong

Định nghĩa

Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong $R$ là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong $\backslash kappa$ chính là nghịch đảo của bán kính cong $R$. :$\backslash kappa\; =\; \backslash frac\{1\}\{R\}$ Gọi $ds$ là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và $d\backslash phi$ là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong: :$\backslash kappa\; =\; \backslash frac\{d\backslash phi\}\{ds\}$

Tính độ cong của một đường cong phẳng

Trong hệ tọa độ Descartes

:_Xem thêm: _Hệ tọa độ Descartes Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số $\backslash begin\{cases\}\; x\; =\; x(t)\; \backslash \; y\; =\; y(t)\; \backslash end\{cases\}$

, từ phần trên ta có định nghĩa: :$\backslash kappa\; =\; \backslash frac\{d\backslash phi\}\{ds\}\; =\; \backslash dfrac\{\backslash dfrac\{d\backslash phi\}\{dt\{\backslash dfrac\{ds\}\{dt\; =\; \backslash dfrac\{\backslash dfrac\{d\backslash phi\}\{dt\{\backslash sqrt\{\backslash left\; (\backslash dfrac\{dx\}\{dt\}\backslash right)^2\; +\; \backslash left\; (\backslash dfrac\{dy\}\{dt\}\backslash right)^2\; =\; \backslash dfrac\{\backslash dfrac\{d\backslash phi\}\{dt\{\backslash sqrt$ $d\backslash phi$ là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa $\backslash phi$ là góc tiếp tuyến của đường cong. :$\backslash tan\; \backslash phi\; =\; \backslash dfrac\{dy\}\{dx\}\; =\; \backslash dfrac\{\backslash dfrac\{dy\}\{dt\{\backslash dfrac\{dx\}\{dt\; =\; \backslash dfrac\{y\text{'}\}\{x\text{'}\}$ Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số $t$ ta được: :$\backslash frac\{d\}\{dt\}(\backslash tan\; \backslash phi)\; =\; \backslash left\; (1\; +\; \{\backslash tan\}^2\; \backslash phi\; \backslash right)\backslash frac\{d\backslash phi\}\{dt\}\; =\; \backslash dfrac\{x\text{'}y\_\; -\; y\text{'}x\_\}$

Trong hệ tọa độ cực

:_Xem thêm: _Hệ tọa độ cực Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số $r\; =\; r(\backslash theta)$ thì độ cong được tính như sau: :$\backslash kappa\; =\; \backslash dfrac\{r^2\; +\; 2\backslash left\; (\backslash dfrac\{dr\}\{d\backslash theta\}\backslash right)^2\; -\; r\backslash dfrac\{d^2r\}\{d\backslash theta^2\{\backslash left\; [r^2+\backslash left\; (\backslash dfrac\{dr\}\{d\backslash theta\}\backslash right)^2\backslash right\; ]^\{3/2$

Ví dụ

Đường thẳng

Đường thẳng $\backslash begin\{cases\}\; x\; =\; t\; \backslash \; y\; =\; at\; +\; b\; \backslash end\{cases\}$

hay $y\; =\; ax\; +\; b$ sẽ có độ cong được tính như sau: :$x\text{'}\; =\; 1,\backslash quad\; x\_\; =\; 0,\backslash quad\; y\text{'}\; =\; a,\; \backslash quad\; y\_\; =\; 0,\backslash quad\; \backslash dfrac\{dy\}\{dx\}\; =\; a,\; \backslash quad\; \backslash dfrac\{d^2y\}\{dx^2\}\; =\; 0$ Áp dụng công thức ta có: :$\backslash kappa\; =\; \backslash dfrac\{x\text{'}y\_\; -\; y\text{'}x\_\}\{\backslash left\; (\{x\text{'}\}^2+\{y\text{'}\}^2\backslash right)^\{3/2\; =\; \backslash dfrac\{1\backslash cdot\; 0\; -\; a\backslash cdot\; 0\}\{\backslash left\; (\{1\}^2+\{a\}^2\backslash right)^\{3/2\; =\; 0$ hay công thức: :$\backslash kappa\; =\; \backslash dfrac\{\backslash dfrac\{d^2y\}\{dx^2\{\backslash left\; [1+\backslash left\; (\backslash dfrac\{dy\}\{dx\}\backslash right)^2\backslash right\; ]^\{3/2\; =\; \backslash dfrac\{0\}\{\backslash left\; [1+a^2\backslash right\; ]^\{3/2\; =\; 0$ Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.

Đường tròn

Đường tròn $\backslash begin\{cases\}\; x\; =\; R\backslash cos\; t\; \backslash \; y\; =\; R\backslash sin\; t\; \backslash end\{cases\}$

hay $r\; =\; R$ sẽ có độ cong được tính như sau: :$x\text{'}\; =\; -R\backslash sin\; t,\backslash quad\; x\_\; =\; -R\backslash cos\; t,\backslash quad\; y\text{'}\; =\; R\backslash cos\; t,\; \backslash quad\; y\_\; =\; -R\backslash sin\; t,\backslash quad\; \backslash dfrac\{dr\}\{d\backslash theta\}\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash dfrac\{d^2r\}\{d\backslash theta^2\}\; =\; 0$ Áp dụng công thức ta có: :$\backslash kappa\; =\; \backslash dfrac\{x\text{'}y\_\; -\; y\text{'}x\_\}\{\backslash left\; (\{x\text{'}\}^2+\{y\text{'}\}^2\backslash right)^\{3/2\; =\; \backslash dfrac\{(-R\backslash sin\; t)\backslash cdot\; (-R\backslash sin\; t)\; -\; (R\backslash cos\; t)\backslash cdot\; (-R\backslash cos\; t)\}\{\backslash left\; [\{(-R\backslash sin\; t)\}^2+\{(R\backslash cos\; t)\}^2\backslash right\; ]^\{3/2\; =\; \backslash frac\{1\}\{R\}$ hay công thức: :$\backslash kappa\; =\; \backslash dfrac\{r^2\; +\; 2\backslash left\; (\backslash dfrac\{dr\}\{d\backslash theta\}\backslash right)^2\; -\; r\backslash dfrac\{d^2r\}\{d\backslash theta^2\{\backslash left\; [r^2+\backslash left\; (\backslash dfrac\{dr\}\{d\backslash theta\}\backslash right)^2\backslash right\; ]^\{3/2\; =\; \backslash dfrac\{R^2\; +\; 2\backslash cdot\; 0^2\; -\; R\backslash cdot\; 0\}\{\backslash left\; [R^2+0^2\backslash right\; ]^\{3/2\; =\; \backslash frac\{1\}\{R\}$ Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó. ##### Các đường khác ***Đường parabol** $y\; =\; ax^2$ sẽ có độ cong được tính như sau: :$\backslash dfrac\{dy\}\{dx\}\; =\; 2ax,\; \backslash quad\; \backslash dfrac\{d^2y\}\{dx^2\}\; =\; 2a$ Áp dụng công thức ta có: :$\backslash kappa\; =\; \backslash dfrac\{\backslash dfrac\{d^2y\}\{dx^2\{\backslash left\; [1+\backslash left\; (\backslash dfrac\{dy\}\{dx\}\backslash right)^2\backslash right\; ]^\{3/2\; =\; \backslash dfrac\{2a\}\{\backslash left\; [1+(2ax)^2\backslash right\; ]^\{3/2\; =\; \backslash dfrac\{2a\}\{\backslash left\; (1+4a^2x^2\backslash right)^\{3/2$ * **Đường ellipse** $\backslash begin\{cases\}\; x\; =\; a\backslash cos\; t\; \backslash \backslash \; y\; =\; b\backslash sin\; t\; \backslash end\{cases\}$ sẽ có độ cong được tính như sau: :$x\text{'}\; =\; -a\backslash sin\; t,\backslash quad\; x\_\; =\; -a\backslash cos\; t,\backslash quad\; y\text{'}\; =\; b\backslash cos\; t,\; \backslash quad\; y\_\; =\; -b\backslash sin\; t$ Áp dụng công thức ta có: :$\backslash kappa\; =\; \backslash dfrac\{x\text{'}y\_\; -\; y\text{'}x\_\}\{\backslash left\; (\{x\text{'}\}^2+\{y\text{'}\}^2\backslash right)^\{3/2\; =\; \backslash dfrac\{(-a\backslash sin\; t)\backslash cdot\; (-b\backslash sin\; t)\; -\; (b\backslash cos\; t)\backslash cdot\; (-a\backslash cos\; t)\}\{\backslash left\; [\{(-a\backslash sin\; t)\}^2+\{(b\backslash cos\; t)\}^2\backslash right\; ]^\{3/2$ ::$=\; \backslash frac\{ab\}\{\backslash left\; [\backslash left\; (\backslash dfrac\{ay\}\{b\}\backslash right)^2+\backslash left\; (\backslash dfrac\{bx\}\{a\}\backslash right)^2\backslash right\; ]^\{3/2\; =\; \backslash frac\{ab\}\{\backslash left\; [a^2\backslash left\; (1-\backslash dfrac\{x^2\}\{a^2\}\backslash right)+\backslash dfrac\{b^2\}\{a^2\}x^2\backslash right\; ]^\{3/2$ ::$=\; \backslash frac\{ab\}\{\backslash left\; [a^2\; -\; \backslash left\; (1\; -\; \backslash dfrac\{b^2\}\{a^2\}\backslash right)x^2\backslash right\; ]^\{3/2\; =\; \backslash frac\{ab\}\{\backslash left\; (a^2\; -\; e^2x^2\backslash right)^\{3/2$ với $e=\backslash sqrt\{1\; -\; \backslash dfrac\{b^2\}\{a^2$ là tâm sai của ellipse.

Độ cong của một đường cong ghềnh

Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes $\backslash begin\{cases\}\; x\; =\; x(t)\; \backslash \; y\; =\; y(t)\; \backslash \; z\; =\; z(t)\; \backslash end\{cases\}$

được tính theo công thức :$\backslash kappa=\backslash frac\{\backslash sqrt\{(z\_y\text{'}-y\_z\text{'})^2+(x\_z\text{'}-z\_x\text{'})^2+(y\_x\text{'}-x\_y\text{'})^2\{(x\text{'}^2+y\text{'}^2+z\text{'}^2)^\{3/2$

Độ cong của một mặt cong

Độ cong Gauss

Độ cong trung bình

Độ cong của một không gian

Tenxơ độ cong Riemann

Tenxơ độ cong Ricci