thumb|Từ trái qua phải: một mặt với độ cong Gauss âm ([[hyperboloid), mặt với độ cong Gauss bằng 0 (hình trụ), và mặt có độ cong Gauss dương (mặt cầu).]]
Trong hình học vi phân, độ cong Gauss của một mặt tại một điểm là tích của hai độ cong chính, κ1 và κ2 tại điểm đó. Nó là một độ cong nội tại, chỉ phụ thuộc vào khoảng cách được đo trên mặt đó chứ không phụ thuộc vào mặt được nhúng đẳng cự (isometrically embedding) vào một không gian bất kỳ. Nó được đặt theo tên của nhà toán học Carl Friedrich Gauss, và là nội dung nêu trong tác phẩm Theorema Egregium của ông.
Phương trình xác định độ cong Gauss Κ viết là
:
với κ1 và κ2 các độ cong chính.
Định nghĩa trực quan
thumb|right|[[Mặt yên ngựa với các mặt phẳng pháp tuyến trong hướng của độ cong chính.]]
Tại một điểm bất kỳ trên mặt chúng ta có thể tìm được vectơ pháp tuyến nằm vuông góc với mặt đó; các mặt phẳng chứa pháp tuyến được gọi là mặt phẳng pháp tuyến. Giao của một mặt phẳng pháp tuyến với mặt sẽ tạo thành một đường cong gọi là tiết diện pháp tuyến và độ cong của đường này gọi là độ cong pháp tuyến. Đối với phần lớn các điểm trên phần lớn các mặt, các tiết diện khác nhau sẽ có độ cong khác nhau; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của những độ cong này được gọi là độ cong chính, ký hiệu là κ1, κ2. Độ cong Gauss được định nghĩa bằng tích của hai độ cong chính Κ = κ1 κ2.
Dấu của độ cong Gauss là một trong những dấu hiệu đặc trưng cho một mặt:
Nếu cả hai độ cong chính có cùng dấu: κ1κ2 > 0, thì độ cong Gauss là dương và ta nói mặt có một điểm eliptic. Tại những điểm này mặt sẽ giống như hình mái vòng, nằm hoàn toàn trên một phía của mặt phẳng tiếp tuyến tại điểm elliptic. Mọi độ cong tiết diện sẽ có cùng dấu.
Nếu các độ cong chính khác dấu: κ1κ2 < 0, thì độ cong Gauss là âm và mặt có một điểm hypebolic. Tại những điểm như thế mặt sẽ giống mặt yên ngựa. Với hai hướng thì độ cong tiết diện sẽ bằng 0 hay sinh ra đường tiệm cận.
*Nếu một trong hai độ cong bằng 0: κ1κ2 = 0, độ cong Gauss bằng 0 và mặt có điểm parabolic.
Hầu hết các mặt sẽ chứa những vùng có độ cong Gauss dương (chứa điểm eliptic) và tách biệt với vùng có độ cong Gauss âm bằng những đường có độ cong Gauss bằng 0 gọi là đường parabolic.
👁️
0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
thumb|Từ trái qua phải: một mặt với độ cong Gauss âm ([[hyperboloid), mặt với độ cong Gauss bằng 0 (hình trụ), và mặt có độ cong Gauss dương (mặt cầu).]] Trong hình học vi phân,
Trong hình học, **độ cong** thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong, mặt cong hay không gian Riemann nói chung. ## Độ cong của một đường cong ### Định nghĩa Theo
phải|Đường cong Gauss chuẩn hóa với [[giá trị kỳ vọng μ và phương sai σ2. Những tham số tương ứng là _a_ = 1/(σ√(2π)), _b_ = μ, _c_ = σ]] Trong toán học, **hàm Gauss**
Trong vật lý và giải tích toán học, **định luật Gauss** là một ứng dụng của định lý Gauss cho các trường véctơ tuân theo luật bình phương nghịch đảo với khoảng cách. Ví dụ,
thumb|Một hậu quả của Theorema Egregium là [[Trái Đất không thể được hiển thị trên bản đồ mà không bị biến dạng. Phép chiếu Mercator, được hiển thị ở đây, giữ nguyên góc nhưng không
**Johann Carl Friedrich Gauß** (; ; ; 30 tháng 4 năm 1777 – 23 tháng 2 năm 1855) là một nhà toán học và nhà khoa học người Đức tài năng, người đã có nhiều
Trong đại số tuyến tính, **phép khử Gauss** là một thuật toán có thể được sử dụng để tìm nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, tìm hạng (hay rank) của một ma trận,
thumb|Một môi trường điện môi cho thấy hiện tượng các điện tích định hướng tạo nên sự phân cực. Một môi trường như thế có thể có tỉ lệ điện thông với điện tích thấp
**Giải Carl Friedrich Gauss về Toán học ứng dụng** là một giải thưởng do Hội liên hiệp Toán học quốc tế (_International Mathematical Union_) và Hội Toán học Đức dành cho "các đóng góp toán
Trong giải tích số, **phương pháp Gauss-Seidel** hay còn gọi là **phương pháp lặp Gauss-Seidel**, **phương pháp Liebmann** hay **phương pháp tự sửa sai** là một phương pháp lặp được sử dụng để giải một
thumb|Các đảo cực địa từ hiện đại và thang địa thời tính bằng _Ma_ (triệu năm) **Đảo ngược Gauss-Matuyama** là một sự kiện địa chất xảy ra khoảng 2,588 ± 0,005 triệu năm trước, khi
phải|Một tam giác nhúng trên mặt yên ngựa (mặt [[hyperbolic paraboloid), cũng như hai đường thẳng _song song_ trên nó.]] **Hình học vi phân** là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ
nhỏ|Không gian mà chú cua [[còng này (có một càng to hơn bên kia nên là một hình không đối xứng) sinh sống là một mặt Mobius. Lưu ý rằng chú cua biến thành hình
**Leonhard Euler** ( , ; 15 tháng 4 năm 170718 tháng 9 năm 1783) là một nhà toán học, nhà vật lý học, nhà thiên văn học, nhà lý luận và kỹ sư người Thụy
**Vĩ độ** (Tiếng Anh: _latitude_) thường được ký hiệu bằng chữ cái phi () trong bảng chữ cái Hy Lạp, là giá trị xác định vị trí của một điểm trên bề mặt Trái Đất
thumb|[[Alexander Friedmann]] **Phương trình Friedmann** là một tập hợp các phương trình trong vũ trụ học vật lý miêu tả sự mở rộng của vũ trụ trong các mô hình đồng nhất và đẳng hướng
Hình **phỏng cầu** (Tiếng Anh: _Spheroid_), hoặc hình **tựa cầu**, là một bề mặt bậc hai thu được khi quay hình elíp xung quanh một trục của nó. Một hình phỏng cầu có đối xứng
Trong toán học, một **cấp số cộng** hay **dãy số cách đều** (tiếng Anh: _arithmetic progression_ hoặc _arithmetic sequence_) là một dãy số thoả mãn điều kiện hai phần tử liên tiếp nhau sai khác
Trong hình học, hệ **tọa độ Barycentric** (Còn gọi là Hệ tọa độ tỉ cự) là một hệ tọa độ trong đó vị trí của một điểm trong một đa diện, được xác định là
Số **pi** (ký hiệu: ****), còn gọi là **hằng số Archimedes**, là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường
nhỏ|250x250px|Xác suất của việc tung một số con số bằng cách sử dụng hai con xúc xắc. **Xác suất** (Tiếng Anh: _probability_) là một nhánh của toán học liên quan đến các mô tả bằng
Từ trường của một thanh [[nam châm hình trụ.]] **Từ trường** là môi trường năng lượng đặc biệt sinh ra quanh các điện tích chuyển động hoặc do sự biến thiên của điện trường hoặc
Trong toán học và thống kê, một **phân phối xác suất** hay thường gọi hơn là một **hàm phân phối xác suất** là quy luật cho biết cách gán mỗi xác suất cho mỗi khoảng
**Đơn vị thiên văn** (ký hiệu: au) là một đơn vị đo chiều dài, xấp xỉ bằng khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời. Tuy nhiên, bởi vì khoảng cách này thay đổi khi
## Sự hình thành thuyết tương đối tổng quát ### Những khảo sát ban đầu Albert Einstein sau này nói rằng, lý do cho sự phát triển thuyết tương đối tổng quát là do sự
**Georg Friedrich Bernhard Riemann** (phát âm như "ri manh" hay IPA ['ri:man]; 17 tháng 9 năm 1826 – 20 tháng 7 năm 1866) là một nhà toán học người Đức, người đã có nhiều đóng
**John Forbes Nash Jr.** (13 tháng 6 năm 1928 – 23 tháng 5 năm 2015) là một nhà toán học người Mỹ với chuyên ngành lý thuyết trò chơi, hình học vi phân và phương
phải|Một parabol phải|Parabol như một giao tuyến giữa một mặt nón và mặt phẳng song song với đường sinh của nó. nhỏ|phải|Một hình miêu tả tính chất đối xứng, đường chuẩn (xanh lá cây), và
phải|Bản đồ [[dị thường trọng lực của trọng trường Trái Đất từ vệ tinh GRACE.]] Trong vật lý học, **trường hấp dẫn** là một mô hình được sử dụng để giải thích sự ảnh hưởng
**CGS (centimetre-gram-second system)** là hệ đơn vị của vật lý học dựa trên centimet như là đơn vị của chiều dài, gam là đơn vị khối lượng, và giây là đơn vị thời gian. Tất
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán
nhỏ|Lực hấp dẫn làm các [[hành tinh quay quanh Mặt Trời.]] Trong vật lý học, **lực hấp dẫn**, hay chính xác hơn là **tương tác hấp dẫn,** là một hiện tượng tự nhiên mà tất
right|thumb|alt=Three shapes on a square grid|Tổng diện tích của 3 hình xấp xỉ 15.57 hình vuông đơn vị **Diện tích** là đại lượng biểu thị phạm vi của hình hoặc hình hai chiều hoặc lamina
**Nhôm** là một nguyên tố hóa học có ký hiệu **Al** và số nguyên tử 13. Nhôm có khối lượng riêng thấp hơn các kim loại thông thường khác, khoảng một phần ba so với
[[Đĩa bồi tụ bao quanh lỗ đen siêu khối lượng ở trung tâm của thiên hà elip khổng lồ Messier 87 trong chòm sao Xử Nữ. Khối lượng của nó khoảng 7 tỉ lần khối
Thí nghiệm kiểm tra lý thuyết tương đối tổng quát đạt độ chính xác cao nhờ tàu thăm dò không gian [[Cassini–Huygens|Cassini (ảnh minh họa): Các tín hiệu radio được gửi đi giữa Trái Đất
Khái niệm của vòng phản hồi dùng để điều khiển hành vi động lực của hệ thống: đây là phản hồi âm, vì giá trị cảm biến (sensor) bị trừ đi từ giá trị mong
**Omega SA** thường được gọi là Omega là một hãng sản xuất đồng hồ xa xỉ Thụy Sỹ có trụ sở đặt tại Biel/Bienne, Thụy Sỹ. Năm 1917 Quân đoàn Bay Hoàng Gia của Vương
thumb|Các trang web của dự án quan sát vi sóng SETI (tìm kiếm trí thông minh ngoài Trái Đất) thuộc NASA. **Giao tiếp với trí thông minh ngoài Trái Đất** hay **CETI**, là một nhánh
**Vũ trụ** bao gồm tất cả các vật chất, năng lượng và không gian hiện có, được xem là một khối bao quát. Vũ trụ hiện tại chưa xác định được kích thước chính xác,
**Đa thức Chebyshev**, được đặt theo tên nhà toán học Nga Pafnuty Chebyshev, [1] là một dãy đa thức trực giao (tiếng Anh: orthogonal polynomials), và có liên quan đến công thức de Moivre (de
**Từ quyển của Sao Mộc** là khoang rỗng trong luồng gió mặt trời sinh ra bởi từ trường của hành tinh này. Mở rộng đến bảy triệu km theo hướng về phía Mặt Trời và
**Giuseppe Piazzi** ( , ; 16 tháng 7 năm 1746 - 22 tháng 7 năm 1826) là một linh mục Công giáo người Ý thuộc dòng Theatine, nhà toán học và nhà thiên văn học.
**Từ kế** hay **máy đo từ** là thiết bị dùng để đo đạc _cường độ_ và có thể cả _hướng_ của từ trường trong vùng đặt _cảm biến từ trường_. _Cảm biến từ trường_ hoạt
**Bài toán tám quân hậu** là bài toán đặt tám quân hậu trên bàn cờ vua kích thước 8×8 sao cho không có quân hậu nào có thể "ăn" được quân hậu khác, hay nói
**Số ảo** hay **số thuần ảo** là một số phức mà khi bình phương lên được kết quả là một số nguyên không dương. Số ảo là tích của một số thực với ,
**Hình học phi Euclid** là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất một trong số những tiên đề Euclid. Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công trình
Đường tăng trưởng số lượng transistor trên bộ vi xử lý (dot) của Intel và định luật Moore (đường trên với chu kỳ 18 tháng, đường dưới chu kỳ 24 tháng **Định luật Moore** được
phải|[[Tenxơ ứng suất Cauchy, một tenxơ hạng hai. Thành phần của tenxơ, trong hệ tọa độ Descartes 3 chiều, tạo thành ma trận
**Francis Bitter** (22 tháng 7 năm 1902 – 26 tháng 7 năm 1967) là một nhà vật lý người Mỹ. Bitter đã phát minh ra mảng Bitter được dùng trong nam châm điện trở (còn