✨Góc thiên đỉnh Mặt Trời

Góc thiên đỉnh Mặt Trời là góc giữa các tia song song của Mặt Trời và phương thẳng đứng. Nó là góc phụ với góc cao Mặt Trời, tức là góc chiếu của các tia Mặt Trời so với phương nằm ngang (chân trời), vì thế cosin của góc này là sin của góc kia. Các góc này có thể được tính bằng cùng một công thức, suy ra từ các kết quả của lượng giác cầu. Vào thời điểm trưa Mặt Trời địa phương, góc thiên đỉnh là nhỏ nhất và bằng trị tuyệt đối của vĩ độ trừ đi góc xích vĩ của Mặt Trời. Đây là cơ sở để những người đi biển thời xưa định hướng trên đại dương.

Công thức

: $\backslash cos\; \backslash theta\_s\; =\; \backslash sin\; \backslash alpha\_s\; =\; \backslash sin\; \backslash Phi\; \backslash sin\; \backslash delta\; +\; \backslash cos\; \backslash Phi\; \backslash cos\; \backslash delta\; \backslash cos\; h$

Trong đó:

• $\backslash theta\_s$ là góc thiên đỉnh Mặt Trời.
• $\backslash alpha\_s$ là góc cao Mặt Trời, $\backslash alpha\_s$ = 90° – $\backslash theta\_s$.
• $h$ là góc giờ, theo thời gian Mặt Trời địa phương.
• $\backslash delta$ là xích vĩ của Mặt Trời hiện tại.
• $\backslash Phi$ là vĩ độ của địa phương. Công thức này có thể được suy ra bằng cách áp dụng định lý cosin cho tam giác cầu thiên đỉnh–cực–Mặt Trời, tuy nhiên, cũng có thể được chứng minh bằng giải tích vectơ mà không cần sử dụng lượng giác cầu.

Trong hệ tọa độ Descartes, địa tâm cố định (ECEF), gọi $(\backslash phi${s}, \lambda{s}) và $(\backslash phi${o}, \lambda{o}) lần lượt là các cặp tọa độ kinh độ và vĩ độ, của hạ điểm Mặt Trời và vị trí của người quan sát, ta có vectơ chỉ hướng thẳng đứng lên tại hai địa điểm trên, $\backslash mathbf\{S\}$ và $\backslash mathbf\{V\}\_\{oz\}$, là:

: $\backslash mathbf\{S\}=\backslash cos\backslash phi${s}\cos\lambda{s}{\mathbf i}+\cos\phi{s}\sin\lambda{s}{\mathbf j}+\sin\phi{s}{\mathbf k}, : $\backslash mathbf\{V\}${oz}=\cos\phi{o}\cos\lambda{o}{\mathbf i}+\cos\phi{o}\sin\lambda{o}{\mathbf j}+\sin\phi_{o}{\mathbf k}.

Trong đó $\{\backslash mathbf\; i\}$, $\{\backslash mathbf\; j\}$ và $\{\backslash mathbf\; k\}$ là các vectơ cơ sở trong hệ tọa độ ECEF.

Cosin của góc thiên đỉnh Mặt Trời, $\backslash theta\_\{s\}$, đơn giản là tích vô hướng của hai vectơ trên:

: $\backslash cos\backslash theta${s}=\mathbf{S}\cdot\mathbf{V}{oz}=\sin\phi{o}\sin\phi{s}+\cos\phi{o}\cos\phi{s}\cos(\lambda{s}-\lambda{o}).

Chú ý rằng vĩ độ của hạ điểm Mặt Trời $\backslash phi${s} đúng bằng xích vĩ của Mặt Trời $\backslash delta$, và $\backslash lambda${s}-\lambda_{o} là tương đương với $-h$, trong đó $h$ là góc giờ Mặt Trời được định nghĩa ở trên. Do đó công thức theo dạng trên là tương tự với công thức cần chứng minh về mặt toán học.

Ngoài ra, tham khảo

Cực đại và cực tiểu

nhỏ|Cực tiểu trong ngày của góc thiên đỉnh Mặt Trời trong năm 2020 theo dạng một hàm của vĩ độ và ngày trong năm.|224x224px nhỏ|Cực đại trong ngày của góc thiên đỉnh Mặt Trời trong năm 2020 theo dạng một hàm của vĩ độ và ngày trong năm.|224x224px Tại một địa điểm cho trước trong một ngày bất kỳ, góc thiên đỉnh Mặt Trời $\backslash theta${s} đạt giá trị cực tiểu $\backslash theta${min} tại lúc trưa Mặt Trời địa phương khi góc giờ $h=0$, hay $\backslash lambda${s}-\lambda{o}=0, tức là $\backslash cos\backslash theta${min}=\cos(|\phi{o}-\phi{s}|), hoặc $\backslash theta${min}=|\phi{o}-\phi{s}|. Nếu $\backslash theta\_\{min\}>90^\{\backslash circ\}$ thì đó là trường hợp ban đêm vùng cực.

Tại một địa điểm cho trước trong một ngày, góc thiên đỉnh Mặt Trời $\backslash theta${s} đạt giá trị cực đại $\backslash theta${max}tại lúc nửa đêm địa phương khi góc giờ $h=-180^\{\backslash circ\}$, hay $\backslash lambda${s}-\lambda{o}=-180^{\circ}, tức là $\backslash cos\backslash theta${max}=\cos(180^{\circ}-|\phi{o}+\phi{s}|), hoặc $\backslash theta${max}=180^{\circ}-|\phi{o}+\phi{s}|. Nếu thì đó là trường hợp ban ngày vùng cực.

Ứng dụng

Mặt Trời mọc và Mặt Trời lặn

Mặt Trời mọc và Mặt Trời lặn xảy ra khi góc thiên đỉnh xấp xỉ bằng 90°, vào lúc góc giờ h₀ thỏa mãn:

:: $\backslash cos\; h\_0\; =\; -\backslash tan\; \backslash Phi\; \backslash tan\; \backslash delta.$

Thời điểm Mặt Trời mọc và lặn chính xác là vào lúc rìa trên của Mặt Trời được thấy chạm vào đường chân trời, qua sự khúc xạ khí quyển.

Suất phản chiếu

Giá trị góc thiên đỉnh trung bình ngày có trọng số, được sử dụng để tính toán suất phản chiếu địa phương của Trái Đất, được cho bởi công thức

:: $\backslash overline\{\backslash cos\; \backslash theta$s} = \frac{\int{-h_0}^{h_0} Q \cos \thetas \text{d}h}{\int{-h_0}^{h_0} Q \text{d}h}

trong đó Q là cường độ bức xạ Mặt Trời tức thời.

Một số giá trị góc đặc biệt

Một số ví dụ về góc cao Mặt Trời (hay góc nhập xạ vào buổi trưa):

• 90° nếu đứng tại xích đạo, vào ngày điểm phân, lúc 12 giờ trưa theo thời gian Mặt Trời.
• gần 0° vào lúc Mặt Trời mọc hoặc Mặt Trời lặn.
• giữa 0° và -90° vào ban đêm (nửa đêm). Góc thiên đỉnh Mặt Trời bằng đúng vĩ độ của địa điểm vào lúc trưa Mặt Trời của ngày điểm phân.

Vào lúc trưa Mặt Trời địa phương, góc giờ bằng 0°, khi đó Mặt Trời nằm trên đường kinh tuyến (bắc–nam), còn gọi là thời gian quá cảnh Mặt Trời. Nếu tại một địa điểm trên Trái Đất, vào lúc trưa Mặt Trời của một ngày nhất định trong năm, mà Mặt Trời lên vị trí thiên đỉnh, tức là góc thiên đỉnh bằng 0° vào buổi trưa thì địa điểm đó được gọi là hạ điểm Mặt Trời. Tại hạ điểm Mặt Trời, các tia nắng trực tiếp chiếu thẳng xuống, vì thế các vật thể trên mặt đất không có bóng phía sau. Theo công thức ở mục trên, có thể thấy hạ điểm Mặt Trời có vĩ độ không quá xích vĩ tối đa của Mặt Trời, tức là vùng nhiệt đới trong khoảng từ 0° đến ±23,4°, và ngày xảy ra là ngày mà xích vĩ của Mặt Trời bằng vĩ độ.