Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT), đôi khi còn được gọi là biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier cho các tín hiệu thời gian rời rạc. Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu hạn các số thực hoặc số phức, làm biến đổi này là một công cụ lý tưởng để xử lý thông tin trên các máy tính. Đặc biệt, biến đổi này được sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và các ngành liên quan đến phân tích tần số chứa trong một tín hiệu, để giải phương trình đạo hàm riêng, và để làm các phép như tích chập. Biến đổi này có thể được tính nhanh bởi thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT).
Định nghĩa
Dãy của N số phức: được biến đổi thành chuỗi của N số phức X0,..., XN−1 bởi công thức sau đây:
:
với e là cơ số của lôgarit tự nhiên, là đơn vị ảo (), và π là pi. Phép biến đổi đôi khi được ký hiệu bởi , như sau hoặc hoặc .
Phép biến đổi Fourier rời rạc ngược (IDFT) được cho bởi công thức sau
:
Những phương trình này có thể được mô tả đơn giản như sau: các số phức Xk đại diện cho biên độ và pha ở các bước sóng khác nhau của "tín hiệu vào" xn. Phép biến đổi DFT tính các giá trị Xk từ các giá trị xn, trong khi IDFT tính xn bằng tổng của các sóng thành phần
với tần số _k / N_. Khi viết các phương trình dưới dạng như trên, ta đã sử dụng công thức Euler để biểu diễn các hàm lượng giác dưới dạng lũy thừa số phức để biến đổi được dễ dàng. Khi viết _X
k_ dưới dạng tọa độ cực, ta thu được biên độ _A
k / N_ và pha _φ
k_ từ modulus và argument của _X
k_:
:
:
trong đó atan2 là dạng hai đối số của hàm arctan. Cần ghi chú rằng các thừa số chuẩn hóa của DFT và IDFT (ở đây là 1 và 1/N) và dấu của các số mũ chỉ là quy ước, và có thể khác nhau trong các tài liệu khác nhau. Điều kiện duy nhất cho các quy ước này là DFT và IDFT có dấu ngược nhau ở các số mũ và tích của hai thừa số chuẩn hóa phải là 1/N.
Các tính chất
Đầy đủ
Phép biến đổi Fourier rời rạc là một biến đổi tuyến tính khả nghịch
:
trong đó C ký hiệu tập các số phức. Nói cách khác, với mọi N > 0, mọi vectơ phức N chiều đều có một DFT và một IDFT, và chúng đều là các vectơ phức N chiều.
Trực giao
Các vectơ tạo thành một cơ sở trực giao của tập các vectơ phức N chiều:
:
trong đó là hàm delta Kronecker. Có thể dùng điều kiện trực giao để suy ra công thức cho IDFT từ định nghĩa của DFT, và điều kiện này tương đương với điều kiện unita dưới đây.
Định lý Plancherel và định lý Parseval
Nếu Xk và Yk là các DFT của xn và yn thì theo định lý Plancherel:
:
trong đó dấu sao ký hiệu số phức liên hợp. Định lý Parseval là một trường hợp đặc biệt của định lý Plancherel:
:
Các định lý này tương đương với điều kiện unita dưới đây.
Tuần hoàn
Nếu như ta tính biểu thức định nghĩa DFT tại mọi số nguyên k thay vì chỉ cho k=0,..., N-1, thì dãy số nhận được là một mở rộng tuần hoàn của DFT, và có chu kì N.
Tính tuần hoàn có được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa:
:
Tương tự như vậy, biểu thức của IDFT cũng cho một dãy mở rộng tuần hoàn.
Định lý dịch
Việc nhân các số xn với một pha tuyến tính (m là một số nguyên bất kì) tương ứng với việc dịch vòng tròn các số Xk: Xk được thay bằng Xk-m, trong đó các chỉ số được tính theo mô đun N. Tương tự như vậy, việc dịch vòng tròn các số xn tương ứng với việc nhân các số Xk với một pha tuyến tính. Dưới dạng công thức, nếu {xn} đại diện cho vectơ x thì
:nếu
:thì
:và
Unita
Có thể nhận thấy theo mô tả ở trên, toán tử DFT có thể được biểu diễn dưới dạng một ma trận Vandermonde:
:
trong đó
:
là một căn nguyên thủy bậc N của đơn vị. Phép biến đổi ngược chính là ma trận nghịch đảo của ma trận trên:
:
Với hằng số chuẩn hóa unita
, DFT trở thành một biến đổi unita, định nghĩa bởi một ma trận unita:
:
:
:
trong đó _det()_ là hàm tính định thức. Định thức là tích của các giá trị riêng (luôn là
hoặc
như mô tả dưới đây). Trong không gian vectơ thực, một biến đổi unita có thể xem là phép quay vật rắn của hệ tọa độ, và tất cả các tính chất của phép quay vật rắn đều đúng cho toán tử unita DFT.
Tính trực giao của DFT nay có thể viết dưới dạng điều kiện trực chuẩn:
:
Nếu X được định nghĩa là unita DFT của vectơ x thì
:
và định lý Plancherel có thể viết dưới dạng:
:
Nếu ta coi DFT chỉ là một phép biến đổi tọa độ trong đó chỉ cần chỉ ra các thành phần của vectơ trong hệ tọa độ mới, thì mệnh đề trên chỉ nói rằng tích vô hướng của hai vectơ được giữ nguyên trong phép biến đổi unita DFT. Trong trường hợp đặc biệt khi x=y, điều này có nghĩa là độ dài vectơ cũng được giữ nguyên—đây chính là định lý Parseval:
:
Ứng dụng
DFT có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khác nhau. Ở đây chỉ mô tả một số ví dụ (tham khảo thêm các tài liệu ở cuối trang). Tất cả các ứng dụng của DFT đều dựa trên một tính chất quan trọng là DFT và IDFT đều có thể được tính nhanh chóng bằng thuật toán biến đổi Fourier nhanh.
Phân tích phổ
Khi sử dụng DFT để phân tích phổ, dãy {_xn} thường đại diện cho một dãy hữu hạn các mẫu tại các thời điểm cách đều nhau của một tín hiệu x(t), trong đó t để chỉ thời gian. Việc chuyển từ thời gian liên tục sang mẫu (thời gian rời rạc) chuyển biến đổi Fourier liên tục của x(t) thành biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT), và thường gây ra hiệu ứng răng cưa. Việc chọn lựa tần số lấy mẫu thích hợp (xem tần số Nyquist) là vô cùng quan trọng cho việc giảm thiểu hiệu ứng này.
Một số cặp biến đổi Fourier rời rạc
👁️
1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
Trong toán học, phép **biến đổi Fourier rời rạc (DFT)**, đôi khi còn được gọi là biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier cho các tín hiệu thời gian
**Biến đổi Fourier** hay **chuyển hóa Fourier**, được đặt tên theo nhà toán học người Pháp Joseph Fourier, là phép biến đổi một hàm số hoặc một tín hiệu theo miền thời gian sang miền
**Biến đổi Fourier lượng tử** là một phép biến đổi tuyến tính trên các qubit (đơn vị cơ bản của thông tin lượng tử), phép biến đổi này tương tự như biến đổi Fourier rời
Trong toán học, **biến đổi Fourier liên tục** là một toán tử tuyến tính chuyển một hàm khả tích (theo tích phân Lebesgue) sang một hàm khả tích khác. Theo ngôn ngữ của chuyên ngành
Trong toán học và xử lý tín hiệu, **biến đổi Z **chuyển đổi một tín hiệu thời gian rời rạc, là một chuỗi số thực hoặc số phức, thành một đại diện trong miền tần
Tích của một hàm logic và một ma trận Walsh chính là phổ Walsh của nó:
(1,0,1,0,0,1,1,0) * H(8) = (4,2,0,−2,0,2,0,2) Biến đổi Walsh–Hadamard nhanh
Một cách nhanh hơn để tính phổ Walsh của (1,0,1,0,0,1,1,0). Hàm gốc
**Biến đổi Fourier nhanh (FFT)** là một thuật toán rất hiệu quả để tính toán Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) và Biến đổi ngược. Có nhiều loại thuật toán FFT khác nhau sử dụng
thumb|220x124px | right| phép biến đổi Laplace của hàm f(t) = t và ảnh của nó là hàm F(s) = 1/s^2. F(s) cũng chính là phần diện tích bên dưới đường cong y = t.e^(-st)
Trong toán học, một **biến đổi tích phân** là biến đổi _T_ có dạng sau: : Đầu vào của biến đổi là một hàm _f_, và đầu
Trong tính toán lượng tử, **thuật toán lượng tử** là một thuật toán chạy bằng mô hình thực tế của tính toán lượng tử, mô hình được sử dụng phổ biến nhất là mô hình
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
Trong giải tích toán học, một **hàm hermite** là một hàm phức với tính chất liên hợp phức của nó bằng hàm gốc với đối số được đổi dấu: : (ở đây
**Giám sát tình trạng** (tiếng Anh là Condition monitoring) là quá trình theo dõi một tham số điều kiện làm việc của máy móc (độ rung, nhiệt độ, vv), để xác định một thay đổi
Trong lý thuyết mã hóa, **mã Reed-Solomon (RS)** là một mã vòng sửa lỗi tuyến tính phát minh bởi Irving S. Reed và Gustave Solomon. Bằng cách thêm vào _t_ ký hiệu kiểm tra, mã
Trong khoa học máy tính, **chia để trị** là một mô hình thiết kế thuật toán quan trọng dựa trên đệ quy với nhiều phân nhánh. Thuật toán chia để trị hoạt động bằng cách
Trong toán học, **đa thức** là biểu thức bao gồm các biến và các hệ số, và chỉ dùng các phép cộng, phép trừ, phép nhân, và lũy thừa với số mũ tự nhiên của
phải|nhỏ|Căn đơn vị cấp 5 trong [[Mặt phẳng phức]] Trong toán học, **căn đơn vị**, đôi khi gọi là số de Moivre, là số phức bất kỳ khi lũy thừa mũ nguyên dương có kết
Trong đại số tuyến tính, một **ma trận Vandermonde**, đặt tên theo Alexandre-Théophile Vandermonde, là một ma trận với các phần tử tạo thành một cấp số nhân trên mỗi hàng, nghĩa là, một ma
**Nén hình ảnh** là một loại của nén dữ liệu được áp dụng cho hình ảnh kỹ thuật số, để giảm chi phí cho việc lưu trữ hoặc truyền tải. Các thuật toán có thể
**Thư viện phần mềm khoa học GNU** là một thư viện phần mềm viết bằng ngôn ngữ lập trình C cho các phương pháp tính toán số trong toán học ứng dụng và khoa học.
thumb|upright=1.3|Các [[hàm sóng của electron trong một nguyên tử hydro tại các mức năng lượng khác nhau. Cơ học lượng tử không dự đoán chính xác vị trí của một hạt trong không gian, nó
Thăm dò **Địa chấn phản xạ** (Seismic Reflection), là một phương pháp của _địa vật lý thăm dò_, phát sóng đàn hồi vào môi trường và bố trí thu trên mặt các _sóng phản xạ_
Phân tích phương trình vi phân từng phần bằng phương pháp số là một nhánh nghiên cứu của phân tích số, hay còn gọi là giải tích số, một lĩnh vực nghiên cứu về lời
nhỏ|325x325px|Hàm bước Heaviside, sử dụng quy ước tối đa một nửa **Hàm bước Heaviside**, hoặc **hàm bước đơn vị**, thường được biểu thị bằng H hoặc θ (nhưng đôi khi bằng u, hoặc ), là
nhỏ|Lý thuyết biểu diễn nghiên cứu cách các cấu trúc đại số "biến đổi" các đối tượng toán học. Ví dụ đơn giản nhất là cách [[Nhóm nhị diện|nhóm đối xứng của các đa giác
Trong vật lý lý thuyết, **Lý thuyết trường lượng tử** (tiếng Anh: **quantum field theory**, thường viết tắt QFT) là một khuôn khổ lý thuyết để xây dựng các mô hình cơ học lượng tử
**Hiển vi siêu phân giải** (Super-resolution microscopy) là một loại hiển vi quang học. Do nhiễu xạ của ánh sáng, độ phân giải của kính hiển vi quang học thông thường bị giới hạn bởi
nhỏ|400x400px| Truyền tín hiệu sử dụng xử lý tín hiệu điện tử. [[Bộ chuyển đổi chuyển đổi tín hiệu từ vật lý khác dạng sóng để điện hiện tại hoặc điện áp dạng sóng, mà
Trong kỹ thuật, **hàm truyền** (còn được gọi là **hàm hệ thống** hoặc **hàm mạng**) của thành phần hệ thống điện tử hoặc điều khiển là một hàm toán học mô hình hóa lý thuyết
Trong vi tích phân nói riêng, và trong giải tích toán học nói chung, **tích phân từng phần** là quá trình tìm tích phân của tích các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm
phải|nhỏ|200x200px|Mô phỏng một nguyên tử hydro cho thấy đường kính bằng xấp xỉ hai lần bán kính [[mô hình Bohr. (Ảnh mang tính minh họa)]] Một **nguyên tử hydro** là một nguyên tử của nguyên
Trong lý thuyết xác suất và thống kê, **hàm sinh mô men** (**moment-generating function** hay **MGF**) của một biến ngẫu nhiên là một mô tả thay thế cho hàm phân phối xác suất của nó.
Trong lý thuyết thông tin, một chuyên ngành của toán học ứng dụng và kỹ thuật điện/điện tử, **tín hiệu** là một đại lượng vật lý chứa đựng thông tin hay dữ liệu có thể
thumb|right|Quang học nghiên cứu hiện tượng [[tán sắc của ánh sáng.]] **Quang học** là một ngành của vật lý học nghiên cứu các tính chất và hoạt động của ánh sáng, bao gồm tương tác
Lấy mẫu tín hiệu. Các tín hiệu liên tục có màu xanh lục còn các mẫu rời rạc có màu xanh lam. Trong xử lý tín hiệu, **lấy mẫu** là chuyển đổi một tín hiệu
**Photon** hay **quang tử** (, phōs, ánh sáng; tiếng Việt đọc là _phô tông_ hay _phô tôn_) là một loại hạt cơ bản, đồng thời là hạt lượng tử của trường điện từ và ánh
nhỏ|Dưới con mắt tôpô học, cái cốc và cái vòng là một **Tô pô** hay **tô pô học** có gốc từ trong tiếng Hy Lạp là topologia (tiếng Hy Lạp: τοπολογία) gồm _topos_ (nghĩa là
**Logic toán** là một ngành con của toán học có liên hệ gần gũi với cơ sở toán học, khoa học máy tính lý thuyết, logic triết học. Ngành này bao gồm hai phần: nghiên
nhỏ|Khu vực hấp dẫn kỳ lạ phát sinh từ một [[phương trình vi phân. Phương trình vi phân là một lĩnh vực quan trọng của giải tích toán học với nhiều ứng dụng cho khoa