✨Hàm hermite

Trong giải tích toán học, một hàm hermite là một hàm phức với tính chất liên hợp phức của nó bằng hàm gốc với đối số được đổi dấu:

: $f^*(x)\; =\; f(-x)$

(ở đây kí hiệu $^*$ chỉ liên hợp phức) với mọi $x$ trong miền của $f$. Trong vật lý, tính chất này được gọi là đối xứng PT.

Định nghĩa này cũng mở rộng cho các hàm của hai hoặc nhiều biến, ví dụ, trong trường hợp $f$ là một hàm hai biến thì nó là hàm hermite nếu như

: $f^*(x\_1,\; x\_2)\; =\; f(-x\_1,\; -x\_2)$

cho mọi cặp $(x\_1,\; x\_2)$ trong miền của $f$.

Từ định nghĩa này, sau đó suy ra rằng: $f$ là một hàm hermite khi và chỉ khi

• phần thực của $f$ là một hàm chẵn,
• phần ảo của $f$ là một hàm lẻ.

Nguồn gốc

Các hàm hermite xuất hiện thường xuyên trong toán học, vật lý và xử lý tín hiệu. Ví dụ, hai mệnh đề sau đây tuân theo các thuộc tính cơ bản của phép biến đổi Fourier:

• Hàm $f$ có giá trị số thực khi và chỉ khi biến đổi Fourier của $f$ là hermite.
• Hàm $f$ là hermite khi và chỉ khi biến đổi Fourier của $f$ có giá trị thực.

Vì biến đổi Fourier của một tín hiệu thực được đảm bảo là hermite, nên nó có thể được nén bằng cách sử dụng đối xứng chẵn/lẻ hermite. Ví dụ, điều này cho phép biến đổi Fourier rời rạc của một tín hiệu (nói chung là phức) được lưu trữ trong cùng một không gian với tín hiệu thực ban đầu.

• Nếu hàm f là hermite, thì $f\; \backslash star\; g\; =\; f*g$.

Ở đây $\backslash star$ là tương quan chéo và $*$ là tích chập.

• Nếu cả f và g đều là hàm hermite, thì $f\; \backslash star\; g\; =\; g\; \backslash star\; f$.