✨Ma trận chéo hóa được

Ma trận chéo hóa được

Trong đại số tuyến tính, một ma trận vuông $A$ được gọi là chéo hóa được hay không khiếm khuyết nếu nó đồng dạng với một ma trận đường chéo, tức là tồn tại một ma trận khả nghịch $P$ và một ma trận đường chéo $D$ sao cho $P^{-1}AP=D$ , hay tương đương là $A = PDP^{-1}$ . (Các $P,D$ như vậy không phải duy nhất.) Cho một không gian vectơ hữu hạn chiều $V$ , biến đổi tuyến tính $T:V\to V$ được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một cơ sở có thứ tự của $V$ gồm các vectơ riêng của $T$ . Các định nghĩa trên là tương đương: nếu $T$ có biểu diễn ma trận $A = PDP^{-1}$ như trên thì các vectơ cột của $P$ tạo thành một cơ sở cho tất cả vectơ riêng của $T$ , và các phần tử trên đường chéo của ma trận $D$ là các giá trị riêng tương ứng của $T$ ; hay đối với cơ sở vectơ riêng này, ma trận $A$ được biểu diễn bởi $D$ .

Nói một cách hình học, một ma trận chéo hóa được là một phép giãn không đồng nhất (hay phép co giãn dị hướng) vì nó co giãn từng vectơ trong không gian giống như phép giãn đồng nhất nhưng với hệ số khác theo mỗi trục vectơ riêng, hệ số đó được cho bởi giá trị riêng tương ứng.

Chéo hóa là quá trình tìm các ma trận $P$ và $D$ trên. Các ma trận và biến đổi chéo hóa được rất dễ tính toán, sau khi đã tìm được các giá trị riêng và vectơ riêng của chúng. Ta có thể đưa một ma trận chéo $D$ nâng lên lũy thừa bậc bất kỳ bằng cách lấy lũy thừa bậc đó trên từng phần tử trên đường chéo, và định thức của một ma trận chéo đơn giản là bằng tích của các phần tử trên đường chéo, những tính toán như vậy cũng dễ dàng được thực hiện tổng quát với $A=PDP^{-1}$ .

Một ma trận vuông mà không chéo hóa được thì được gọi là khiếm khuyết. Có thể xảy ra trường hợp một ma trận $A$ có các phần tử số thực khiếm khuyết trên trường số thực, nghĩa là không thể có ma trận $P$ khả nghịch và $D$ chéo với các phần tử số thực sao cho $A = PDP^{-1}$ , nhưng lại có thể có với các phần tử số phức, sao cho $A$ là chéo hóa được trên trường số phức. Chẳng hạn, đây là trường hợp của ma trận phép quay thông thường.

Định nghĩa

Một ma trận vuông $A$ cỡ $n \times n$ trên một trường $F$ được gọi là chéo hóa được hay không khiếm khuyết nếu tồn tại một ma trận khả nghịch $P$ sao cho $P^{-1}AP$ là một ma trận đường chéo. Một cách chính tắc,

Đặc tính

Một kết quả cơ bản về các ma trận và biến đổi chéo hóa được được trình bày sau đây:

Một ma trận $A$ cỡ $n \times n$ trên trường $F$ là chéo hóa được khi và chỉ khi tổng số chiều của các không gian con riêng của nó bằng $n$ , tức là khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở của $F^n$ gồm các vectơ riêng của $A$ . Nếu một cơ sở như vậy đã được tìm ra, ta có thể lập ma trận $P$ có các vectơ cơ sở này là các cột, và ma trận $P^{-1}!AP$ sẽ là một ma trận đường chéo mà các phần tử trên đường chéo chính là các giá trị riêng của $A$ . Ma trận $P$ có vai trò chuyển cơ sở và gọi là ma trận modal của $A$ .
Một biến đổi tuyến tính $T: V \to V$ là chéo hóa được khi và chỉ khi tổng số chiều của các không gian con riêng của nó bằng $\operatorname{dim}(V)$ , tức là khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở của $V$ gồm các vectơ riêng của $T$ . Với một cơ sở như vậy, $T$ sẽ được biểu diễn bằng một ma trận đường chéo. Các phần tử trên đường chéo của ma trận này chính là các giá trị riêng của $T$ .

Một đặc tính nâng cao khác: Một ma trận hay biến đổi tuyến tính chéo hóa được trên trường $F$ khi và chỉ khi đa thức tối tiểu của nó là một tích của các nhân tử tuyến tính phân biệt trên $F$ . (Nói cách khác, một ma trận là chéo hóa được khi và chỉ khi tất cả các ước nguyên sơ của nó là tuyến tính.)

Điều kiện đủ (nhưng chưa cần) sau đây rất hữu dụng.Cho $A$ là một ma trận trên $F$ . Nếu $A$ chéo hóa được thì các lũy thừa bậc bất kỳ của nó cũng vậy.

Nhiều kết quả cho các ma trận chéo hóa được chỉ đúng trên một trường đại số đóng (ví dụ như trường số phức). Trong trường hợp này, tập các ma trận chéo hóa được là trù mật trong không gian các ma trận, nghĩa là mỗi ma trận khiếm khuyết có thể biến thành ma trận chéo hóa được do một nhiễu loạn nhỏ; và định lý dạng chuẩn tắc Jordan phát biểu rằng mỗi ma trận là tổng duy nhất của một ma trận chéo hóa được và một ma trận lũy linh. Trên một trường đại số đóng, các ma trận chéo hóa được tương đương với các ma trận nửa đơn.

Chéo hóa

phải|nhỏ|357x357px|Chéo hóa một ma trận có thể được hiểu là việc quay các trục tọa độ để cho chúng thẳng hàng với các vectơ riêng. Nếu một ma trận $A$ chéo hóa được, tức là

: $P^{-1}AP = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \dots & 0 \
0 & \lambda_2 & \dots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \dots & \lambda_n
\end{pmatrix},$

thì:

: $AP = P\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \dots & 0 \
0 & \lambda_2 & \dots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \dots & \lambda_n
\end{pmatrix}.$

Viết $P$ dưới dạng ma trận khối gồm các vectơ cột của nó $\vec{\alpha}_{i}$

: $P = \begin{pmatrix}\vec{\alpha}_1 & \vec{\alpha}_2 & \cdots & \vec{\alpha}_n\end{pmatrix},$

phương trình trên có thể được viết lại dưới dạng

: $A\vec{\alpha}_i = \lambda_i\vec{\alpha}_i\qquad(i=1,2,\cdots,n).$

Vì vậy các vectơ cột của $P$ là các vectơ riêng bên phải của $A$ (còn các vectơ hàng của $P^{-1}$ là các vectơ riêng bên trái), và các giá trị trên đường chéo tương ứng với các giá trị riêng của chúng. Từ sự khả nghịch của $P$ cũng có thể thấy rằng các vectơ riêng là độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở của $F^{n}$ . Đây là điều kiện cần và đủ cho sự chéo hóa được và là cách tiếp cận chính tắc của việc chéo hóa: tức là ta biểu diễn $A$ đối với cơ sở riêng của nó.

Khi một ma trận phức $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ là ma trận Hermite (hay tổng quát hơn, là ma trận chuẩn tắc), các vectơ riêng của $A$ có thể được chọn để tạo ra một cơ sở trực chuẩn của $\mathbb{C}^n$ , khi đó $P$ có thể được chọn là ma trận unita. Ngoài ra nếu $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ là một ma trận đối xứng thực thì các vectơ riêng của nó có thể được chọn là một cơ sở trực chuẩn của $\mathbb{R}^n$ và $P$ có thể được chọn là ma trận trực giao.

Đối với hầu hết các mục đích thực tiễn, các ma trận được chéo hóa bằng số nhờ sử dụng các phần mềm máy tính. Nhiều thuật toán đã ra đời để thực hiện điều này.

Chéo hóa đồng thời

Một tập hợp các ma trận được gọi là chéo hóa được đồng thời nếu tồn tại duy nhất một ma trận khả nghịch $P$ sao cho $P^{-1}AP$ là ma trận chéo đối với mọi ma trận $A$ trong tập. Định lý sau đây đặc trưng cho các ma trận chéo hóa được đồng thời: Một tập hợp các ma trận chéo hóa được giao hoán khi và chỉ khi tập hợp ma trận đó chéo hóa được đồng thời.

Tập hợp các ma trận $n \times n$ chéo hóa được (trên $\mathbb{C}$ ) với $n > 1$ không chéo hóa được đồng thời. Lấy ví dụ, hai ma trận

: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad\text{and}\quad \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$

đều chéo hóa được nhưng không chéo hóa được đồng thời vì chúng không giao hoán.

Một tập hợp chứa các ma trận chuẩn tắc giao hoán khi và chỉ khi nó chéo hóa được đồng thời bởi một ma trận unita; tức là tồn tại một ma trận unita $U$ sao cho $U^{*}!AU$ là ma trận chéo với mọi $A$ trong tập hợp.

Ví dụ

Ma trận chéo hóa được

Các phép chiếu là chéo hóa được, với đường chéo gồm các số 0 và 1.
Các ma trận đối xứng thực là chéo hóa được bởi các ma trận trực giao; tức là cho $A$ là ma trận đối xứng thực, ta có $Q^{\mathrm T}AQ$ là ma trận đường chéo với $Q$ trực giao. Tổng quát hơn, các ma trận chéo hóa được bởi ma trận unita khi và chỉ khi chúng là chuẩn tắc. Trong trường hợp ma trận đối xứng thực, ta thấy rằng $A=A^{\mathrm T}$ , nên $AA^{\mathrm T} = A^{\mathrm T}A$ tất nhiên đúng. Các ví dụ của ma trận chuẩn tắc gồm các ma trận thực đối xứng hoặc đối xứng chéo (ví dụ ma trận phương sai), các ma trận Hermite và Hermite chéo. Xem thêm điều này tại bài định lý phổ.

Ma trận không chéo hóa được

Ma trận của phép quay nói chung là không chéo hóa được trên trường số thực nhưng có thể trên trường số phức.

Một số ma trận không thể chéo hóa được trên bất kỳ trường nào, đáng chú ý nhất là các ma trận lũy linh khác không. Điều này thường xảy ra hơn nếu số bội đại số và số bội hình học của một giá trị riêng không bằng nhau.

Tuy nhiên, ngay cả khi một ma trận không chéo hóa được, ta vẫn luôn có thể thay vào đó tìm dạng chuẩn tắc Jordan của nó.

Một vài ma trận thực không chéo hóa được trên trường số thực. Xét ví dụ ma trận đối xứng chéo sau

: $B = \left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \ !-1 & 0 \end{array}\right].$

Ma trận $B$ không có giá trị riêng thực, vì vậy không tồn tại ma trận khả nghịch thực $Q$ sao cho $Q^{-1}BQ$ là ma trận đường chéo. Tuy nhiên, ta có thể chéo hóa $B$ nếu cho phép dùng số phức. Thật vậy nếu ta chọn

: $Q = \begin{bmatrix} 1 & \textrm{i} \ \textrm{i} & 1 \end{bmatrix},$

thì $Q^{-1}BQ$ là ma trận đường chéo. Dễ tìm ra rằng B là ma trận của phép quay ngược chiều kim đồng hồ một góc $\theta=\tfrac{3\pi}{2}$ .

Cách chéo hóa một ma trận

Chéo hóa ma trận là quá trình tương tự việc tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của nó, trong trường hợp các vectơ riêng tạo thành cơ sở. Ví dụ, xét ma trận

: $A=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & !!!-2\
0 & 1 & 0\
1 & !!!-1 & 3
\end{array}\right].$

Các nghiệm của đa thức đặc trưng $p(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ là các giá trị riêng $\lambda_1 = 1,\lambda_2 = 1,\lambda_3 = 2$ . Giải hệ tuyến tính $(I-A)(\mathbf{v})=0$ ta có các vectơ riêng $\mathbf{v}_1 = (1,1,0)$ và $\mathbf{v}_2 = (0,2,1)$ , trong khi hệ $(2I-A)(\mathbf{v})=0$ cho $\mathbf{v}_3=(1,0,-1)$ ; tức là $A(\mathbf{v}_i)=\lambda_i\mathbf{v}_i$ với $i = 1,2,3$ . Các vectơ trên tạo thành một cơ sở của $V=\mathbb{R}^3$ , vì vậy ta có thể đặt chúng vào các vectơ cột của một ma trận chuyển cơ sở $P$ để có:

$P^{-1}!AP \ = \
\left[\begin{array}{rrr}
1 & \,0 & 1\
1 & 2 & 0\
0 & 1 & !!!!-1
\end{array}\right]^{-1}
\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & !!!-2\
0 & 1 & 0\
1 & !!!-1 & 3
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{rrr}
1 & \,0 & 1\
1 & 2 & 0\
0 & 1 & !!!!-1
\end{array}\right]
\ =\
\begin{bmatrix} 1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&2\end{bmatrix} \ =\ D .$

Ta có thể hiểu phương trình này theo các biến đổi tuyến tính:

P

chuyển cơ sở chuẩn tắc sang cơ sở riêng:

P(\mathbf{e}_i) = \mathbf{v}_i

, vì thế ta có:

$P^{-1}!AP(\mathbf{e}_i) \ =\
P^{-1}!A(\mathbf{v}_i) \ =\
P^{-1}!(\lambda_i\mathbf{v}_i) \ = \
\lambda_i\mathbf{e}_i,$

sao cho ma trận

P^{-1}!AP

nhận các vectơ cơ sở chuẩn tắc là các vectơ riêng của nó, đây là tính chất định nghĩa của ma trận

D

Chú ý rằng không có thứ tự ưu tiên nào đối với các cột vectơ riêng trong $P$ ; việc đổi chỗ các vectơ riêng trong $P$ chỉ làm thay đổi thứ tự của các giá trị riêng trong dạng chéo của $A$ .

Áp dụng vào hàm ma trận

Chéo hóa có thể được sử dụng để tính toán hiệu quả lũy thừa của một ma trận $A=PDP^{-1}$ :

: $\begin{align}
A^k &= \left(PDP^{-1}\right)^k = \left(PDP^{-1}\right) \left(PDP^{-1}\right) \cdots \left(PDP^{-1}\right) \
&= PD\left(P^{-1}P\right) D \left(P^{-1}P\right) \cdots \left(P^{-1}P\right) D P^{-1} = PD^kP^{-1},
\end{align}$

dạng này rất dễ tính toán bởi nó chỉ liên quan đến việc tính lũy thừa của một ma trận chéo. Ví dụ với ma trận $A$ với các giá trị riêng $\lambda = 1,1,2$ ở ví dụ trên ta tính:

: $\begin{align}
A^k = PD^kP^{-1}
&= \left[\begin{array}{rrr}
1 & \,0 & 1 \
1 & 2 & 0 \
0 & 1 & !!!!-1
\end{array}\right]
\begin{bmatrix} 1^k & 0 & 0 \ 0 & 1^k & 0 \ 0 & 0 & 2^k \end{bmatrix}
\left[\begin{array}{rrr}
1 & \,0 & 1 \
1 & 2 & 0 \
0 & 1 & !!!!-1
\end{array}\right]^{-1} \[1em]
&= \begin{bmatrix}
2 - 2^k & -1 + 2^k & 2 - 2^{k + 1} \
0 & 1 & 0 \
-1 + 2^k & 1 - 2^k & -1 + 2^{k + 1}
\end{bmatrix}.
\end{align}$

Tiếp cận này có thể được tổng quát hóa lên với hàm mũ ma trận và các hàm ma trận khác mà có thể được định nghĩa theo chuỗi lũy thừa. Ví dụ, định nghĩa hàm $\exp(A) = I + A + \tfrac{1}{2!}A^2 + \tfrac{1}{3!}A^3 + \cdots$ , ta có:

: $\begin{align}
\exp(A) = P\,\exp(D)\,P^{-1}
&= \left[\begin{array}{rrr}
1 & \,0 & 1 \
1 & 2 & 0 \
0 & 1 & !!!!-1
\end{array}\right]
\begin{bmatrix} e^1 & 0 & 0 \ 0 & e^1 & 0 \ 0 & 0 & e^2 \end{bmatrix}
\left[\begin{array}{rrr}
1 & \,0 & 1\
1 & 2 & 0\
0 & 1 & !!!!-1
\end{array}\right]^{-1} \[1em]
&= \begin{bmatrix}
2 e - e^2 & -e + e^2 & 2 e - 2 e^2 \
0 & e & 0 \
-e + e^2 & e - e^2 & -e + 2 e^2
\end{bmatrix}.
\end{align}$

Điều này đặc biệt hữu ích trong việc tìm tường minh biểu thức dạng đóng cho các số hạng của các dãy số đệ quy tuyến tính, ví dụ như các số Fibonacci.

Một áp dụng cụ thể

Ví dụ, xét ma trận sau:

: $M = \begin{bmatrix}a & b - a\ 0 & b\end{bmatrix}.$

Tính các lũy thừa của $M$ cho thấy một quy luật thú vị:

: $M^2 = \begin{bmatrix}a^2 & b^2-a^2 \ 0 &b^2 \end{bmatrix},\quad
M^3 = \begin{bmatrix}a^3 & b^3-a^3 \ 0 &b^3 \end{bmatrix},\quad
M^4 = \begin{bmatrix}a^4 & b^4-a^4 \ 0 &b^4 \end{bmatrix},\quad
\ldots$

Hiện tượng trên có thể được giải thích bằng cách việc chéo hóa $M$ . Để thực hiện điều này, ta cần một cơ sở của $\mathbb{R}^2$ gồm các vectơ riêng của $M$ . Một cơ sở vectơ riêng như vậy được cho bởi

: $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{e}_1,\quad
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix} = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2,$

trong đó e_i ký hiệu cho cơ sở chuẩn tắc của Rⁿ. Phép chuyển cơ sở nghịch đảo được cho bởi

: $\mathbf{e}_1 = \mathbf{u},\qquad \mathbf{e}_2 = \mathbf{v} - \mathbf{u}.$

Tính toán trực tiếp cho thấy

: $M\mathbf{u} = a\mathbf{u},\qquad M\mathbf{v} = b\mathbf{v}.$

Vì vậy, a và b là các giá trị riêng tương ứng với u và v. Bởi tính tuyến tính của phép nhân ma trận ta có

: $M^n \mathbf{u} = a^n\, \mathbf{u},\qquad M^n \mathbf{v} = b^n\,\mathbf{v}.$

Chuyển trở lại cơ sở chuẩn tắc ta có

: $\begin{align}
M^n \mathbf{e}_1 &= M^n \mathbf{u} = a^n \mathbf{e}_1, \
M^n \mathbf{e}_2 &= M^n \left(\mathbf{v} - \mathbf{u}\right) = b^n \mathbf{v} - a^n\mathbf{u} = \left(b^n - a^n\right) \mathbf{e}_1 + b^n\mathbf{e}_2.
\end{align}$

Các liên hệ trên được thể hiện dưới dạng ma trận là

: $M^n = \begin{bmatrix}a^n & b^n - a^n \ 0 & b^n \end{bmatrix},$

vì thế ta đã giải thích được hiện tượng trên.

Chéo hóa trong cơ học lượng tử

Trong các tính toán của cơ học lượng tử và hóa lượng tử, chéo hóa ma trận là một trong những quy trình số thường được áp dụng nhất. Lý do cơ bản là do phương trình không phụ thuộc thời gian Schrödinger là một phương trình giá trị riêng, mặc dù nó là trên một không gian vô hạn chiều (một không gian Hilbert) trong hầu hết các tình huống vật lý.

Một phép xấp xỉ phổ biến là hiệu chỉnh không gian Hilbert về số chiều hữu hạn, sau đó phương trình Schrödinger có thể được trình bày dưới dạng một bài toán giá trị riêng của một ma trận thực đối xứng hoặc một ma trận phức Hermite. Về mặt hình thức, xấp xỉ này được thiết lập dựa trên nguyên lý biến phân, phù hợp với các Hamiltonian bị chặn dưới.

Lý thuyết nhiễu loạn bậc một cũng dẫn đến một bài toán giá trị riêng ma trận cho các trạng thái suy biến.

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Ma trận chéo hóa được

Trong đại số tuyến tính, một ma trận vuông

A

được gọi là **chéo hóa được** hay **không khiếm khuyết** nếu nó đồng dạng với một ma trận đường chéo, tức là tồn tại một

💫 Ma trận (toán học)

phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a_2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất

💫 Ma trận tam giác

nhỏ| Các ma trận [[Ma trận Toeplitz|Toeplitz đơn vị thấp hơn nhị phân, nhân với các phép toán **F** ₂. Chúng tạo thành bảng Cayley của Z ₄ và tương ứng với các lũy thừa

💫 Ma trận khối

nhỏ|Một ma trận gồm 168×168 phần tử, được chia thành các khối có cỡ 12×12, 12×24, 24x12, và 24×24. Các phần tử khác 0 có màu xanh và các phần tử 0 có màu xám.

💫 Ma trận vuông

nhỏ| Một ma trận vuông bậc 4. Các giá trị

a_{ii}

tạo thành [[đường chéo chính của một ma trận vuông. Chẳng hạn, đường chéo chính của ma trận 4 nhân 4 ở trên chứa

💫 Ma trận đồng dạng

Trong đại số tuyến tính, hai ma trận vuông và cùng cỡ _n_ × _n_ được gọi là **đồng dạng** nếu tồn tại một ma trận khả nghịch cỡ _n_ × _n_ sao cho :

💫 Ma trận lũy đẳng

Trong đại số tuyến tính, **ma trận lũy đẳng** là ma trận mà khi nhân với chính nó, sẽ cho ra chính nó. Có nghĩa là, ma trận

A

là lũy đẳng khi và chỉ

💫 Ma trận chuyển vị

thumb|right|Ma trận chuyển vị **A**^T của ma trận **A** có thể có được bằng cách đảo các phần tử của nó theo đường chéo chính. Lặp lại bước trên đối với ma trận chuyển vị

💫 Ma trận thưa

right|thumb|Một ma trận thưa thớt thu được khi giải một [[phương pháp phần tử hữu hạn trong 2 chiều. Các phần tử không có giá trị bằng 0 được hiển thị bằng màu đen.]] Trong

💫 Ma trận tương đương

Trong đại số tuyến tính, hai ma trận chữ nhật _A_ và _B_ có cùng cỡ _m_ × _n_ được gọi là **tương đương** nếu :

\! B = Q^{-1} A P

trong đó _P_

💫 Ma trận kì ảo

Trong toán vui, một **ma trận kì ảo** bậc _n_ (còn gọi là **ma phương** hay **hình vuông ma thuật**) là một cách sắp xếp n² số, thường là các số nguyên phân biệt, trong

💫 Trận Yarmouk

**Trận Yarmouk** (, còn được viết là _Yarmuk_, _Yarmuq_, hay trong tiếng Hy Lạp là _Hieromyax_, Ἱερομύαξ, hoặc _Iermouchas_, Ιερμουχάς) là một trận đánh lớn giữa quân đội Hồi giáo Rashidun với quân đội của

💫 Giá trị riêng và vectơ riêng

phải|nhỏ|250x250px|Ma trận biến đổi _A_ tác động bằng việc kéo dài vectơ _x_ mà không làm đổi phương của nó, vì thế _x_ là một vectơ riêng của _A_. Trong đại số tuyến tính, một

💫 Quan Âm Thị Kính (vở chèo)

**Quan Âm Thị Kính** là một trong bảy vở chèo cổ đầu tiên của nghệ thuật sân khấu chèo Việt Nam. Các vở chèo kinh điển của nghệ thuật chèo được lưu giữ lại đến

💫 Chèo

nhỏ|275x275px|Các nghệ sĩ [[Nhà hát Chèo Việt Nam biểu diễn ở bờ Bắc sông Bến Hải, năm 1956)]] Một cảnh trong vở "Tiếng hát đại ngàn" của Đoàn chèo 2 - [[Nhà hát Chèo Ninh

💫 Từ Thức (vở chèo)

**Từ Thức** là một trong bảy vở chèo cổ đầu tiên của nghệ thuật sân khấu chèo Việt Nam. Các vở chèo kinh điển của nghệ thuật chèo được lưu giữ lại đến nay gồm:

💫 Nhà hát Chèo Việt Nam

**Nhà hát Chèo Việt Nam** là trung tâm biểu diễn, nghiên cứu và đào tạo nghệ thuật Chèo Việt Nam. Cơ quan chủ quản của Nhà hát là Cục Nghệ thuật biểu diễn, Bộ Văn

💫 Quần thể di tích Cố đô Hoa Lư

Phong cảnh cố đô nhìn từ núi Mã Yên Cửa Đông vào [[đền Vua Đinh Tiên Hoàng]] **Quần thể di tích Cố đô Hoa Lư** là hệ thống các di tích về kinh đô Hoa

💫 Phép chuyển cơ sở

Trong toán học, một cơ sở có thứ tự của một không gian vectơ hữu hạn chiều cho phép biểu diễn duy nhất một phần tử bất kỳ trong không gian vectơ bởi một vectơ

💫 Báo hoa mai

**Báo hoa mai** (_Panthera pardus_), thường gọi tắt là **báo hoa**, (tiếng Anh: **Leopard**) là một trong năm loài mèo lớn thuộc chi _Panthera_ sinh sống ở châu Phi và châu Á. Chúng dài từ

💫 Nhà hát Chèo Hưng Yên

Các đoàn [[chèo, nhà hát chèo Việt Nam 2016]] **Nhà hát Chèo Hưng Yên** là đơn vị sự nghiệp công lập có thu trực thuộc Sở Văn hoá - Thể thao và Du lịch Hưng

💫 Nhà hát Chèo Thái Bình

**Nhà hát Chèo Thái Bình** là đơn vị hoạt động nghệ thuật chèo chuyên nghiệp gồm có 2 đoàn nghệ thuật chèo hoạt động chủ yếu tại tỉnh Thái Bình. Nhà hát chèo Thái Bình

💫 Hình tượng tê giác trong văn hóa

nhỏ|phải|Tượng con Tê giác trước [[Bảo tàng d'Orsay của Henri Alfred Jacquemart, trong lịch sử chúng từng được xem như loài thần thú trị thủy]] nhỏ|phải|Họa phẩm tê giác của Johann Dietrich Findorff **Hình tượng

💫 Mã khẩn cấp bệnh viện

**Mã khẩn cấp bệnh viện** là những thông tin mã hóa thường được thông báo qua hệ thống truyền thông tin của bệnh viện để cảnh báo cho các nhân viên y tế về các

💫 Trận Salamis

**Trận Salamis** (tiếng Hy Lạp cổ: Ναυμαχία τῆς Σαλαμῖνος, _Naumachia tēs Salaminos_), là một trận hải chiến giữa các thành bang Hy Lạp và đế quốc Ba Tư vào năm 480 TCN ở một eo

💫 Trận Moskva (1941)

**Trận Moskva** là một trong những trận đánh lớn nhất trong Chiến tranh Xô-Đức và Thế chiến thứ hai vào cuối năm 1941 và đầu năm 1942. Với quân số và vũ khí tham chiến

💫 Tàu ma

**T****àu ma** là một chiếc tàu không có thủy thủ đoàn sống trên đó, nó có thể là một tàu bị ma ám trong văn hóa dân gian hay viễn tưởng hư cấu, như tàu

💫 Đoàn chèo Vĩnh Phúc

Các đoàn [[chèo, nhà hát chèo Việt Nam]] **Nhà hát Chèo Vĩnh Phúc** (2005-2018), nay đã sáp nhập vào Nhà hát nghệ thuật Vĩnh Phúc là đơn vị hoạt động nghệ thuật chuyên nghiệp, đóng

💫 [HCM][MUA 1 TẶNG 3] Bộ tái tạo nâng cơ trẻ hóa y khoa Revitalize 1.0 Botul ứng dụng công nghệ Botox không tiêm giúp làm đầy nếp nhăn căng bóng da toàn diện - Linh Nhâm Miền Nam

[MUA 1 BỘ TÁI TẠO NÂNG CƠ TRẺ HÓA ĐƯỢC TẶNG 3 TUÝP KEM DƯỠNG TRẮNG DA BODY TRỊ GIÁ 680k/Tuýp - Chương trình sẽ kết thúc khi hết sản phẩm tặng]Trong những năm gần

💫 Hò sông Mã

**Hò sông Mã** là một thể loại dân ca ở vùng Thanh Hóa, Việt Nam. ## Mô tả chung Hò sông Mã có những đặc tính chung nhất của hò sông nước nhưng do điều

💫 Trận Đồng Quan (211)

**Trận Đồng Quan** hay **Chiến dịch Đồng Quan** (chữ Hán: 潼關之戰 _Đồng Quan chi chiến_) là trận đánh chiến lược diễn ra giữa quân đội triều đình trung ương nhà Đông Hán do thừa tướng

💫 Văn hóa Hải Phòng

**Văn hóa Hải Phòng** là khái niệm nói về đặc trưng của vùng đất cửa biển được biết đến qua các loại hình văn hóa khác nhau như văn học nghệ thuật, sân khấu, âm

💫 Mặt trận Dân tộc Giải phóng miền Nam Việt Nam

**Mặt trận Dân tộc Giải phóng miền Nam Việt Nam** (phía Hoa Kỳ, Việt Nam Cộng hòa và các đồng minh thường gọi là **Việt Cộng**) là một tổ chức liên minh chính trị hoạt

💫 Trận Leyte

**Trận Leyte** trong chiến dịch Thái Bình Dương, Chiến tranh thế giới thứ hai là một cuộc đổ bộ và chiến đấu giành sự kiểm soát Leyte thuộc quần đảo Philippines bởi lực lượng Mỹ

💫 Quân trợ chiến (La Mã)

Bộ binh Auxilia đang vượt sông, có lẽ là [[sông Donau|sông Danube, bằng cầu phao trong Cuộc chiến Chinh phục Dacia của Hoàng đế Trajan (101 - 106 CN). Có thể nhận ra họ từ

💫 Hoa Lư tứ trấn

phải|Các đền thờ trong không gian [[Hoa Lư tứ trấn]] **Hoa Lư tứ trấn** là bốn vị thần trấn giữ các hướng đông, tây, nam, bắc của cố đô Hoa Lư trong tín ngưỡng dân

💫 Cuộc chinh phục Hispania của La Mã

**Cuộc chinh phục Hispania của La Mã** là một quá trình được bắt đầu bằng việc Cộng hòa La Mã chiếm giữ các vùng đất của người Carthage ở phía nam và phía đông vào

💫 Hình tượng hổ trong văn hóa Việt Nam

phải|nhỏ|300x300px|Hổ phân bố ở Việt Nam là [[Hổ Đông Dương, hiện loài này đang thuộc nhóm nguy cấp]] **Hình tượng con hổ** hay **Chúa sơn lâm** đã xuất hiện từ lâu đời và gắn bó

💫 Cố đô Hoa Lư

nhỏ|phải|Sơ đồ kinh đô Hoa Lư nhỏ|phải|Những ngọn núi đá tự nhiên được các triều vua nối lại bằng tường thành nhân tạo **Cố đô Hoa Lư** (chữ Hán: 華閭) là kinh đô của Việt

💫 Thực vật có hoa

**Thực vật có hoa**, còn gọi là **thực vật hạt kín** hay **thực vật bí tử** (danh pháp khoa học **Angiospermae** hoặc **Anthophyta** hay **Magnoliophyta**) là một nhóm chính của thực vật. Chúng tạo thành

💫 Trận Actium

**Trận Actium** là trận chiến có ý nghĩa quyết định trong chuỗi các cuộc nội chiến thời Cộng hòa La Mã, với hai phe tham chiến: một bên là lực lượng của Octavius và một

💫 Trận Jutland

**Trận Jutland** là trận hải chiến lớn nhất trong Chiến tranh Thế giới thứ nhất diễn ra giữa Hạm đội công hải của Đức và Đại hạm đội của Anh từ ngày 31 tháng 5

💫 Đế quốc La Mã

**Đế quốc La Mã** hay **Đế quốc Rôma** ( ; ) là giai đoạn tiếp nối Cộng hòa La Mã cổ đại. Chính thể Đế chế La Mã, được cai trị bởi các quân chủ

💫 Chính trị Hoa Kỳ

thumb|Hệ thống chính trị Hoa Kỳ Hoa Kỳ là một nước cộng hòa liên bang, trong đó Tổng thống, Quốc hội, và Toà án cùng nắm giữ và chia sẻ quyền lực của chính quyền

💫 Trận Vĩnh Long

Trong quá trình xâm lược Việt Nam nửa cuối thế kỷ 19, quân Pháp đánh chiếm thành Vĩnh Long cả thảy hai lần. Trận đầu diễn ra từ ngày 20 cho đến ngày 23 tháng

💫 Trận đồi A1

**Trận đồi A1** là trận đánh mở màn ngày 31 tháng 3 năm 1954, là một trong những trận đánh quan trọng trong giai đoạn 2 và giai đoạn 3 của chiến dịch Điện Biên

💫 Trần

**Trần** () là một họ người Trung Quốc, Đài Loan, Hồng Kông, Việt Nam, Hàn Quốc, Singapore và một số nơi khác trên thế giới. Họ Trần là họ phổ biến nhất tại miền Nam

💫 Vết (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, **vết** (tiếng Anh: _trace_) của một ma trận vuông A bậc _n_x_n_ được xác định bằng tổng các phần tử trên đường chéo chính (đường nối từ góc trên bên

💫 Trần Mạnh Hùng (nhạc sĩ)

**Trần Mạnh Hùng** (sinh năm 1973) là một nhạc sĩ người Việt Nam. Ông là một trong những nhạc sĩ đáng chú ý tại Việt Nam trong chuyển soạn, phối khí nhạc giao hưởng. Trần

💫 Chủ tịch nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam

**Chủ tịch nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam** (gọi tắt: **Chủ tịch nước**) là nguyên thủ quốc gia của nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam, là người đứng đầu