✨Phép chiếu (đại số tuyến tính)

phải|khung|Phép biến đổi P là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng m.

Trong đại số tuyến tính và giải tích hàm, phép chiếu là một biến đổi tuyến tính $P$ từ một không gian vectơ vào chính nó sao cho $P^2=P$. Tức là khi nào $P$ được thực hiện hai lần với một giá trị bất kỳ, nó cho kết quả tương tự khi nó được áp dụng chỉ một lần (tính lũy đẳng). Việc thực hiện lại phép chiếu không làm thay đổi ảnh của nó. Mặc dù là khái niệm trừu tượng, định nghĩa "phép chiếu" này hình thức hóa và tổng quát hóa ý tưởng phép chiếu đồ họa. Ta có thể xét tác động của một phép chiếu lên một đối tượng hình học bằng cách xét các tác động của phép chiếu lên từng điểm của đối tượng.

Định nghĩa

Phép chiếu trên một không gian vectơ $V$ là một toán tử tuyến tính tự đồng cấu $P:\; V\; \backslash to\; V$ sao cho $P^2\; =\; P$.

Khi $V$ được trang bị tích trong và là đầy đủ (chẳng hạn khi $V$ là không gian Hilbert), khái niệm trực giao có thể được sử dụng. Một phép chiếu $P$ trên một không gian Hilbert $V$ được gọi là phép chiếu trực giao nếu nó thỏa mãn điều kiện tự liên hợp $\backslash langle\; Px,\; y\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; x,\; Py\; \backslash rangle$ với mọi $x,y\; \backslash in\; V$. Phép chiếu trên một không gian Hilbert không phải là phép chiếu trực giao được gọi là phép chiếu xiên.

Ma trận chiếu

• Trong trường hợp hữu hạn chiều, một ma trận vuông $P$ được gọi là ma trận chiếu nếu nó bằng bình phương của nó, tức là nếu $P^2\; =\; P$.
• Một ma trận vuông $P$ được gọi là ma trận chiếu trực giao nếu $P^2\; =\; P\; =\; P^\{\backslash mathrm\; T\}$ đối với một ma trận thực, và tương ứng $P^2\; =\; P\; =\; P^\{\backslash mathrm\; H\}$ đối với một ma trận phức, trong đó $P^\{\backslash mathrm\; T\}$ ký hiệu cho chuyển vị của $P$ và $P^\{\backslash mathrm\; H\}$ ký hiệu cho chuyển vị Hermite của $P$. Điều ngược lại, tức là nếu $P$ là trực giao thì nó là tự liên hợp, suy ra từ

: $\backslash langle\; x,\; Py\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; Px,\; y\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; x,\; P^*y\; \backslash rangle$

với mọi $x$ và $y$ trong $W$; vì vậy $P=P^*$.

Tính chất và các trường hợp riêng

Một phép chiếu trực giao là một toán tử bị chặn. Điều này là do với mọi vectơ $v$ trong không gian vectơ ta có bởi bất đẳng thức Cauchy–Schwarz:

: $|Pv|^2\; =\; \backslash langle\; Pv,Pv\backslash rangle\; =\; \backslash langle\; Pv,v\backslash rangle\; \backslash leq\; |Pv|\backslash cdot|v|$

Vì vậy $|Pv|\backslash leq\; |v|$.

Đối với không gian vectơ hữu hạn chiều thực hoặc phức, tích trong tiêu chuẩn có thể được thay thế cho $\backslash langle\backslash cdot,\backslash cdot\backslash rangle$.