✨Đại số Lie

Trong toán học, đại số Lie là một không gian $\{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{g\}$ cùng với một toán tử không liên hợp gọi là dấu ngoặc Lie, một song ánh xen kẽ $\{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{g\backslash times\; \{\backslash mathfrak\; \{g\backslash rightarrow\; \{\backslash mathfrak\; \{g,\backslash \; (x,y)\backslash mapsto\; [x,y]\}$ thỏa mãn phép đồng nhất Jacobi.

Đại số Lie liên quan mật thiết đến nhóm Lie, một nhóm có những đa tạp mềm mại. Ngược lại, đại số Lie hữu hạn chiều qua tập số thực hoặc phức, luôn có một nhóm Lie tương ứng liên kết với nó. Sự tương ứng này cho phép nghiên cứu cấu trúc và phân lớp nhóm Lie theo đại số Lie.

Trong vật lý, nhóm Lie xuất hiện như là một nhóm đối xứng của hệ vật lý, và đại số Lie của chúng (vector tiếp tuyến gần đồng nhất) có thể coi như là một chuyển động đối xứng vô cùng nhỏ. Do đó đại số Lie và các phép biểu diễn được sử dụng rất chuyên sâu trong vật lý, đặc biệt là trong cơ học lượng tử và vật lý hạt cơ bản.

Một ví dụ cụ thể là trong không gian vector 3 chiều $\{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{g=\backslash mathbb\; \{R\}\; ^\{3$

Đây là đối xứng nghiêng $\{\backslash displaystyle\; x\backslash times\; y=-y\backslash times\; x\}$, và thay vì tính chất liên hợp, nó thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi:

Đây là đại số Lie của nhóm xoay trong không gian, và mỗi vector $\{\backslash displaystyle\; v\backslash in\; \backslash mathbb\; \{R\}\; ^\{3$ có thể hình dung như là một phép xoay vô cùng nhỏ xung quanh trục v, với vận tốc bằng với độ lớn của v. Dấu ngoặc Lie là phép đo của sự không giao hoán giữa 2 phép xoay: một phép quay giao hoán với chính nó. ta có tính chất xen kẽ:

Định nghĩa

Đại số Lie là một không gian vector $\{\backslash mathfrak\; \{g$ qua trường $\{\backslash displaystyle\; \backslash mathbb\; \{F\}\; \}$ cùng với một toán tử đôi $\{\backslash displaystyle\; [\backslash ,\backslash cdot\; \backslash ,,\backslash cdot\; \backslash ,]:\{\backslash mathfrak\; \{g\backslash times\; \{\backslash mathfrak\; \{g\backslash to\; \{\backslash mathfrak\; \{g\}$ gọi là dấu ngoặc Lie thỏa mãn các tiên đề sau

• Song tuyến,

với mọi đại lượng vô hướng a,b và tất cả các phần tử x,y,z thuộc $\{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{g\}$

• Tính xen kẽ,

với mọi x thuộc $\{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{g\}$.

Sử dụng tính song tuyến để mở rộng ngoặc Lie và tính xen kẽ, với mọi phần tử x,y ta được

• phản giao hoán

Cách kí hiệu đại số Lie bằng một kí hiệu fracktur như $\{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{g,h,b,n\}$ là một truyền thống. Nếu đại số Lie liên kết với nhóm Lie thì đại số được kí hiệu bởi phiên vản fracktur của nhóm: vd như đại số Lie của nhóm biến đổi SU(n) là $\{\backslash mathfrak\; \{su(n).$

Đại số con và đồng dạng

Dấu ngoặc Lie không liên hợp, điều đó có nghĩa là $\{\backslash displaystyle\; x,y],z]\}[[x,y],z]$ không tương đương $\{\backslash displaystyle\; [x,[y,z\}[x,[y,z]]$. Một cấu trúc đại số con $\{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{h\backslash subseteq\; \{\backslash mathfrak\; \{g\}$ là đóng dưới dấu ngoặc Lie. Cấu trúc đại số con lý tưởng $\{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{i\backslash subseteq\; \{\backslash mathfrak\; \{g\}$ là một cấu trúc đại số thỏa mãn điều kiện mạnh hơn:

Một cấu trúc đại số Lie là đồng hình nếu ánh xạ tuyến tính phù hợp tương ứng với dấu ngoặc Lie:

Ví dụ

Đánh dấu