✨Giả nghịch đảo Moore–Penrose

Trong đại số tuyến tính, ma trận giả nghịch đảo của ma trận là một tổng quát hóa của ma trận nghịch đảo.. Loại ma trận giả nghịch đảo phổ biến nhất là giả nghịch đảo Moore–Penrose, tìm ra một cách độc lập bởi E. H. Moore năm 1920, Arne Bjerhammar năm 1951 và Roger Penrose năm 1955. Trước đó, Fredholm đã định nghĩa khái niệm giả nghịch đảo của biến đổi tích phân năm 1903. Khi dùng cho ma trận, khái niệm giả nghịch đảo nếu không có chú thích thêm thường được dùng để chỉ giả nghịch đảo Moore–Penrose. Một tên gọi khác cho khái niệm này là ma trận nghịch đảo tổng quát.

Ký hiệu

Phần dưới của trang sử dụng các ký hiệu sau. *$\backslash mathbb\{K\}$ ký hiệu một trong các trường số thực hoặc số phức, ký hiệu là $\backslash mathbb\{R\},\backslash ,\backslash mathbb\{C\}$. Không gian vectơ của các ma trận $m\; \backslash times\; n$ trên trường $\backslash mathbb\{K\}$ được ký hiệu là $M(m,n;\backslash mathbb\{K\})$.

• Với mọi $A\; \backslash in\; M(m,n;\backslash mathbb\{K\})$, $A^T$ và $A^\{$} ký hiệu ma trận chuyển vị và ma trận liên hợp của $A$. Nếu $\backslash mathbb\{K\}\; =\; \backslash mathbb\{R\}$, thì $A^$ = A^T. Với mọi $A\; \backslash in\; M(m,n;\backslash mathbb\{K\})$, $\backslash operatorname\{Im\}(A)$ ký hiệu miền giá trị (không gian ảnh) của $A$ (không gian sinh bởi các vectơ cột của $A$) và $\backslash operatorname\{Ker\}(A)$ ký hiệu không gian nhân của $A$. Với mọi số dương $n$, $I\_\{n\}\; \backslash in\; M(n,n;\backslash mathbb\{K\})$ ký hiệu ma trận đơn vị $n\; \backslash times\; n$.

Định nghĩa

Với $A\; \backslash in\; M(m,n;\backslash mathbb\{K\})$, ma trận giả nghịch đảo Moore–Penrose (sau đây viết gọn là giả nghịch đảo) của $A$ được định nghĩa là ma trận

$A^+\; \backslash in\; M(n,m;\backslash mathbb\{K\})$ thỏa mãn cả bốn tính chất sau: # $A\; A^+A\; =\; A\backslash ,\backslash !$       ( không nhất thiết là ma trận đơn vị nhưng phải ánh xạ mỗi cột của đến chính nó); # $A^+A\; A^+\; =\; A^+\backslash ,\backslash !$       ( là nghịch đảo yếu của nửa nhóm nhân); # $(AA^+)^*\; =\; AA^+\backslash ,\backslash !$       ( là một ma trận Hermite); và # $(A^+A)^*\; =\; A^+A\backslash ,\backslash !$       ( cũng là một ma trận Hermite).

Tính chất

Tồn tại và duy nhất

*Giả nghịch đảo Moore–Penrose tồn tại và là duy nhất: với mỗi ma trận $A\backslash ,!$, có đúng một ma trận $A^+\backslash ,!$ thỏa mãn bốn tính chất của định nghĩa.

• Giả nghịch đảo của ma trận không là chuyển vị của nó.
• Giả nghịch đảo của giả nghịch đảo chính là ma trận ban đầu: $(A^+)^+=A\backslash ,!$.
• Phép lấy giả nghịch đảo giao hoán với phép chuyển vị, và liên hợp: ::$(A^T)^+\; =\; (A^+)^T,~~\; \backslash overline\{A\}^+\; =\; \backslash overline\{A^+\},~~\; (A^$)^+ = (A^+)^.\,!
• Giả nghịch đảo của tích của một đại lượng vô hướng với là tích của nghịch đảo của đại lượng vô hướng đó với : ::$(\backslash alpha\; A)^+\; =\; \backslash alpha^\{-1\}\; A^+\backslash ,!$ với mọi $\backslash alpha\backslash neq\; 0$.

Hằng đẳng thức

::} & A^\ A^+ &=& A^ & A^{+} & A^+\ A &=& A^{+}& A^ & A \ A &=& A & A^ & A^{+}\ A^ &=& A^ & A & A^+\ A^ &=& A^+ & A & A^\ \end{array}

Quy về trường hợp ma trận Hermite

$A^+\; =\; (A^$A)^+A^\,!. $A^+\; =\; A^$(AA^)^+\,!.

Tích

Nếu $A\; \backslash in\; M(m,n;\backslash mathbb\{K\}),~B\; \backslash in\; M(n,p;\backslash mathbb\{K\})\backslash ,!$ và một trong các điều kiện sau được thỏa mãn,

• $A\backslash ,\backslash !$ có các cột trực chuẩn (nghĩa là $A^*A\; =\; I\_n\backslash ,$) hoặc,
• $B\backslash ,\backslash !$ có các hàng trực chuẩn (nghĩa là $BB^*\; =\; I\_n\backslash ,$) hoặc,
• $A\backslash ,\backslash !$ có các cột độc lập tuyến tính và $B\backslash ,\backslash !$ có các hàng độc lập tuyến tính, thì $(AB)^+\; =\; B^+\; A^+\backslash ,\backslash !$.

Các phép chiếu

$P\; =\; AA^+\backslash ,\backslash !$ và $Q\; =\; A^+A\backslash ,\backslash !$ là các phép chiếu vuông góc --- nghĩa là chúng đều là ma trận Hermite ($P\; =\; P^*\backslash ,\backslash !$, $Q\; =\; Q^*\backslash ,\backslash !$) và thỏa mãn $P^2\; =\; P\backslash ,\backslash !$ và $Q^2\; =\; Q\backslash ,\backslash !$). Chúng có các tính chất sau: *$PA=A=AQ\backslash ,\backslash !$ and $A^+P=A^+=QA^+\backslash ,\backslash !$ *$P\backslash ,\backslash !$ là phép chiếu vuông góc xuống không gian ảnh của $A\backslash ,\backslash !$ *$Q\backslash ,\backslash !$ là phép chiếu vuông góc xuống không gian ảnh của $A^*\backslash ,\backslash !$ *$(I\; -\; P)\backslash ,\backslash !$ là phép chiếu vuông góc xuống không gian nhân của $A^*\backslash ,\backslash !$. *$(I\; -\; Q)\backslash ,\backslash !$ là phép chiếu vuông góc xuống không gian nhân của $A\backslash ,\backslash !$.

Không gian con

$\backslash operatorname\{Ker\}(A^+)\; =\; \backslash operatorname\{Ker\}(A^$)\,! $\backslash operatorname\{Im\}(A^+)\; =\; \backslash operatorname\{Im\}(A^$)\,!