✨Không gian afin

Không gian afin

nhỏ|phải|Các đoạn thẳng trong không gian afin 2 chiều. Trong toán học, không gian afin (hoặc không gian aphin) là một cấu trúc hình học tổng quát tính chất của các đường thẳng song song trong không gian Euclide. Trong không gian afin, không định nghĩa một điểm đặc biệt nào làm gốc. Do đó, không vector nào có gốc cố định và không vector nào có thể liên kết được duy nhất với một điểm. Thay vào đó, các nhà toán học định nghĩa các vector nối giữa hai điểm trong không gian afin. Vì vậy, khi trừ hai điểm của không gian sẽ cho một vectơ, nhưng sẽ không có nghĩa khi cộng hai điểm trong không gian afin. Tương tự, có thể cộng một vectơ với một điểm trong không gian, kết quả thu được là một điểm mới tịnh tiến dọc theo vectơ từ điểm bắt đầu của vectơ.

Ví dụ của một không gian afin là một không gian con tuyến tính của một không gian vectơ được hiểu nằm xa từ gốc. Trong không gian số chiều hữu hạn, một không gian con afin tương ứng với tập hợp nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất. Vectơ chuyển dời cho không gian affine trong tập hợp nghiệm của hệ tuyến tính thuần nhất là một không gian con tuyến tính. Ngược lại, không gian con tuyến tính luôn luôn bao gồm điểm gốc của không gian vectơ.

Không gian afin có ít cấu trúc hơn so với không gian Euclide, nó không có tích trong (hay tích vô hướng) và do vậy không có cách nào để đo góc hay khoảng cách giữa hai vectơ.

Miêu tả sơ lược

Mô tả sau giúp hiểu dễ dàng hơn so với định nghĩa hình thức thường gặp: một không gian afin là những gì còn lại của một không gian vectơ sau khi đã quên điểm nào là điểm gốc (hoặc trong lời của nhà toán học người Pháp Macel Berger, "Một không gian afin không khác gì một không gian vector ngoại gốc mà chúng ta đang cố gắng quên đi, bởi sự thêm vào các tịnh tiến cho các ánh xạ tuyến tính"). Tưởng tượng hai nhân vật Alice và Bob; Alice biết điểm nào là điểm gốc thật, nhưng Bob lại tin rằng một điểm khác — điểm — là điểm gốc. Ta thêm vào hai vectơ và . Bob vẽ một mũi tên từ điểm song song và có độ lớn bằng vectơ và một mũi tên khác từ điểm song song và có độ lớn bằng vectơ , hai mũi tên tạo thành hình bình hành mà Bob nghĩ rằng đường chéo của nó là kết quả của , nhưng Alice biết rằng anh thực sự đã tính :.

Tương tự, Alice và Bob có thể tính được tổ hợp tuyến tính bất kỳ của và , hoặc của một tập hữu hạn các vectơ và nói chung sẽ nhận được các kết quả khác nhau. Tuy nhiên, nếu tổng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính bằng 1, thì Alice và Bob thu được kết quả như nhau.

Nếu Bob tính tổ hợp

thì Alice cũng thu được :.

Và mọi hệ số có tổng , Alice và Bob miêu tả cùng điểm với cùng tổ hợp tuyến tính nhưng với điểm gốc khác nhau.

Khi Alice biết "cấu trúc tuyến tính", thì cả Alice và Bob đều biết "cấu trúc afin"—tức là giá trị của tổ hợp afin, định nghĩa như là tổ hợp tuyến tính có tổng các hệ số bằng 1. Một tập hợp có cấu trúc afin là một không gian afin.

Định nghĩa

Không gian afin là một bộ (A,V) gồm một tập hợp không rỗng A, một không gian vectơ V trên trường \mathbb{F} và phép toán tác dụng nhóm tự cho và chuyển tiếp của V (với phép cộng vectơ như là tác dụng nhóm) trên A (tức không gian afin là không gian thuần nhất chính cho tác dụng của V.)

Cụ thể, không gian afin là tập hợp điểm cùng với ánh xạ :l\colon V \times A \to A,\; (\mathbf{v}, a) \mapsto \mathbf{v} + a

với những tính chất sau:

Tồn tại phần tử đồng nhất trái

: \forall a \in A,\; \mathbf{0} + a = a

Tính kết hợp

: \forall \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V, \forall a \in A,\; \mathbf{v} + (\mathbf{w} + a) = (\mathbf{v} + \mathbf{w}) + a

Tính duy nhất

: \forall b \in A, tồn tại duy nhất một vectơ \mathbf{v} \in V, sao cho b = a + \mathbf{v} hay ánh xạ \ V \to A\colon \mathbf{v} \mapsto \mathbf{v} + a\quad là song ánh.

(do V là nhóm Abel, nên không có sự khác nhau giữa tác dụng bên phải hay bên trái, vì vậy có thể đặt vectơ ở bên phải.)

Bằng cách chọn một gốc, , ta có thể đồng nhất với , biến thành không gian vectơ. Ngược lại, bất kỳ không gian vectơ là một không gian afin trên chính nó.

Phép trừ và tiên đề Weyl

Tính duy nhất đảm bảo xác định phép trừ giữa hai phần tử bất kỳ của , tạo thành một vectơ trong : : a \,-\, b\; là vectơ duy nhất trong sao cho \left(a \,-\, b\right) \,+\, b \;=\; a. Ta có thể định nghĩa một cách tương đương không gian afin là tập hợp điểm cùng với một không gian vectơ , và ánh xạ trừ :\operatorname{\phi}:\; A \,\times\, A \;\to\; V,\; \left(a,\, b\right) \,\mapsto\, b \,-\, a \;\equiv\; \overrightarrow{ab}

với những tính chất sau đây:

\forall p \,\in\, A,\; \forall \mathbf{v}\,\in\, V tồn tại duy nhất điểm q \,\in\, A sao cho q \,-\, p \;=\; \mathbf{v}

\forall p,\, q,\, r \,\in\, A,\; (q \,-\, p) \,+\, (r \,-\, q) \;=\; r \,-\, p.

Hai tính chất này được gọi là tiên đề Weyl.

Tổ hợp afin

Khi chọn gốc bất kỳ, với hai điểm , trong và đại lượng vô hướng , tồn tại duy nhất phần tử trong ký hiệu bằng \lambda a + (1-\lambda)b sao cho :(\lambda a + (1 - \lambda)b) - o = \lambda (a - o) + (1 - \lambda)(b - o).

Có thể chỉ ra được phần tử này là độc lập với cách chọn gốc . Ngoài tổ hợp tuyến tính sao cho tổng các hệ số bằng 1, các tổ hợp tuyến tính khác của các điểm không có ý nghĩa gì trong không gian afin.

Ví dụ

Khi tìm kết quả của phép cộng 4 + 3 hay phép trừ 4 - 2 bằng cách đếm số bên phải hay bên trái của trục số, thì trục số được coi là không gian afin một chiều. Bất kỳ lớp lân cận của không gian con của một không gian vectơ là không gian afin trên không gian con đó. Nếu là một ma trận và nằm ở một trong các cột của nó, tập hợp nghiệm của phương trình là một không gian afin trên không gian con của các nghiệm của hệ . Nghiệm của một phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất tạo thành một không gian afin trên các nghiệm tương ứng của phương trình tuyến tính thuần nhất. *Tổng quát hóa các ví dụ trên, nếu là một ánh xạ tuyến tính và thuộc ảnh của nó, thì tập nghiệm của phương trình là lớp lân cận của nhân , và do đó là không gian afin trên .

Không gian con afin

Một không gian con afin (đôi khi gọi là đa tạp tuyến tính) của không gian vectơ là một tập con đóng của tổ hợp afin các vectơ trong không gian. Ví dụ tập hợp :A=\Bigl{\sum^N_i \alpha_i \mathbf{v}_i \Big| \sum^N_i\alpha_i=1\Bigr}

là không gian afin, với \scriptstyle { \mathbf{v}i }{i\in I} là họ các vectơ trong ; không gian này gọi là mở rộng afin của những điểm này. Để chứng tỏ nó quả thực là không gian afin, nhận thấy rằng tập này mang tác dụng chuyển tiếp của không gian con vectơ của

:W=\Bigl{\sum^N_i \beta_i\mathbf{v}_i \Big| \sum^N_i \beta_i=0\Bigr}.

Không gian con afin này có thể miêu tả một cách tương đương như là lớp lân cận của -tác dụng

:S=\mathbf{p}+W,\,

với là phần tử bất kỳ của , hay là tập lớp tương đương của ánh xạ thương . Cách chọn cho ra một điểm cơ sở của và một đồng nhất của với , nhưng không có cách chọn tự nhiên, hoặc đồng nhất tự nhiên của với .

Phép biến đổi tuyến tính là một hàm bảo tồn mọi tổ hợp tuyến tính; và phép biến đổi afin là một hàm bảo tồn mọi tổ hợp afin. Một không gian con tuyến tính là một không gian con afin chứa gốc, hay một cách tương đương, đó là một không gian con đóng dưới tổ hợp tuyến tính.

Ví dụ, trong \scriptstyle {\mathbb R^3}, gốc tọa độ, đường thẳng, mặt phẳng đi qua gốc và toàn bộ không gian là không gian con tuyến tính, trong khi các điểm, đường thẳng và mặt phẳng nói chung và toàn bộ không gian là không gian con afin.

Tổ hợp afin và phụ thuộc afin

Tổ hợp afin là một tổ hợp tuyến tính của các hệ số có tổng bằng 1. Giống như định nghĩa của tập các vectơ độc lập tuyến tính nếu không một vectơ nào trong số đó là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại, do vậy chúng là độc lập afin nếu không một vec tơ nào là tổ hợp afin của các vectơ còn lại. Tập hợp các tổ hợp tuyến tính của một tập các vectơ là "mở rộng tuyến tính" của chúng và luôn luôn là không gian con tuyến tính; tập hợp mọi tổ hợp afin là "mở rộng afin" của chúng và luôn luôn là không gian con afin. Ví dụ, mở rộng afin của tập chứa 2 điểm là đường thẳng nối hai điểm; mở rộng afin của tập chứa ba điểm không cùng nằm trên một đường thẳng là mặt phẳng chứa ba điểm đó.

Hệ vectơ

là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một vô hướng , mà tất cả không đều bằng 0, và thỏa mãn

Tương tự chúng là phụ thuộc afin nếu tồn tại vô hướng sao cho: : \sum_{i=1}^n a_i = 0 một điều kiện đảm bảo rằng () có ý nghĩa như là một vectơ dịch chuyển.

Đối tượng hình học miêu tả bằng điểm và vectơ

Trong không gian afin, các đối tượng hình học có cách miêu tả khác nhau (mặc dù có liên hệ với nhau) dựa trên các điểm (phần tử của ) và vectơ (phần tử của ). Cách miêu tả vectơ coi đối tượng hình học qua phép biến đổi tịnh tiến là như nhau.

Tiên đề

Không gian afin thường được nghiên cứu bằng các công cụ tọa độ của hình học giải tích hoặc bằng các không gian vectơ tương đương. Nó cũng được nghiên cứu thông qua hình học tổng hợp (synthetic geometry) dựa trên các tiên đề, mặc dù cách tiếp cận này ít phổ biến hơn. Có một số hệ tiên đề khác nhau của không gian afin.

tiên đề hóa hình học afin (trên trường số thực) như bằng hình học thứ tự (ordered geometry) cùng với dạng affine của định lý Desargues và một tiên đề nói rằng trong một mặt phẳng có nhiều nhất một đường thẳng đi qua một điểm không cắt một đường thẳng cho trước.

Mặt phẳng affine thỏa mãn các tiên đề sau : (trong đó hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung): Hai điểm bất kỳ nằm trên một đường thẳng duy nhất. Cho một điểm và một đường thẳng, có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm đó và song song với đường thẳng kia *Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng.

Cũng giống như mặt phẳng affine trên các trường (hoặc vành chia), có nhiều mặt phẳng phi-Desargues thỏa mãn các tiên đề này. đưa ra định nghĩa cho không gian affine nhiều chiều.

Liên hệ với không gian xạ ảnh

thumb|Không gian affine là không gian con của không gian xạ ảnh, mà là thương với không gian vectơ. Không gian affine là không gian con của không gian xạ ảnh: có thể thu được một mặt phẳng affine từ mặt phẳng xạ ảnh bất kỳ bằng cách bỏ đi một đường thẳng và mọi điểm nằm trên đường thẳng đó, và ngược lại bất kỳ mặt phẳng affine nào có thể dùng để xây dựng lên mặt phẳng xạ ảnh bằng cách thêm vào một đường thẳng nằm ở vô tận mà các điểm của nó tương đương với lớp các đường thẳng song song.

Hơn nữa, các phép biến đổi của không gian xạ ảnh bảo tồn không gian affine (một cách tương đương, giữ siêu phẳng ở vô tận bất biến như là một tập hợp) và giữ các phép biến đổi của không gian affine. Ngược lại, bất kỳ phép biến đổi tuyến tính affine nào cũng đều mở rộng duy nhất cho phép biến đổi tuyến tính xạ ảnh, do vậy nhóm affine là nhóm con của nhóm xạ ảnh. Ví dụ, phép biến đổi Möbius (các phép biến đổi đường thẳng xạ ảnh phức, hay mặt cầu Riemann) là affine (phép biến đổi của mặt phẳng phức) nếu và chỉ nếu chúng cố định điểm ở vô tận.

Tuy nhiên, không thể xạ ảnh hóa một không gian affine, do vậy không gian xạ ảnh không là không gian thương của không gian affine: ta chỉ có thể xạ ảnh hóa một không gian vectơ, do không gian xạ ảnh là gồm các đường thẳng đi qua một điểm cho trước, và không có điểm phân biệt trong không gian affine. Nếu chọn một điểm cơ sở (coi là không), thì một không gian affine trở thành không gian vectơ, mà do đó có thể xạ ảnh hóa, nhưng điều này đòi hỏi phải lựa chọn.

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
nhỏ|phải|Các đoạn thẳng trong không gian afin 2 chiều. Trong toán học, **không gian afin** (hoặc **không gian aphin**) là một cấu trúc hình học tổng quát tính chất của các đường thẳng song song
**Hình học afin** là môn hình học không có bao hàm các khái niệm về gốc tọa độ, chiều dài hay góc, mà thay vào đó là các khái niệm về phép trừ của các
Trong toán học, **tổ hợp afin** của các vectơ _x_1,..., _x__n_ là một tổ hợp tuyến tính được định nghĩa như sau: :\boldsymbol{\phi}(\alpha_{i},x_{i}) = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot x_{i trong đó tổng các hệ số bằng 1,
Trong toán học, **bao afin** của tập hợp _S_ trong không gian Euclide **R**_n_ là tập afin nhỏ nhất chứa _S_, hay định nghĩa tương đương: **bao afin** là giao của tất cả các tập
Trong hình học, một phép **biến đổi afin** hay **ánh xạ afin** (tiếng Latin, _affinis_, nghĩa là "được kết nối với") giữa hai không gian vector bao gồm một biến đổi tuyến tính đi kèm
Trong hình học, hệ **tọa độ Barycentric** (Còn gọi là Hệ tọa độ tỉ cự) là một hệ tọa độ trong đó vị trí của một điểm trong một đa diện, được xác định là
nhỏ|phải|Đồ thị vẽ a và b là hai đường thẳng song song Trong hình học, sự **song song** là một đặc tính của các đường thẳng, mặt phẳng, hoặc tổng quát hơn là các không
nhỏ|Lý thuyết biểu diễn nghiên cứu cách các cấu trúc đại số "biến đổi" các đối tượng toán học. Ví dụ đơn giản nhất là cách [[Nhóm nhị diện|nhóm đối xứng của các đa giác
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
nhỏ|Bao lồi của tập hợp màu đỏ là [[tập lồi màu xanh và màu đỏ.]] Trong hình học, **bao lồi** của một hình là tập hợp lồi nhỏ nhất chứa hình đó. Bao lồi có
nhỏ|Tam giác _ABC_ và ảnh phản xạ của nó _A_B_C_'' qua phép phản xạ qua trục đối xứng c1c2. Trong toán học, **phép phản xạ** là một ánh xạ đẳng cự từ một không gian
phải|nhỏ|200x200px|Mặt phẳng giả hữu hạn bậc 2, chứa 4 "điểm" và 6 "đường". Các đường có cùng màu là "song song". Tâm của hình không phải là "điểm" của mặt phẳng affin này, vì thế
phải|nhỏ|Phép quay của một hình trong không gian hai chiều quanh điểm . **Phép quay** trong toán học là một khái niệm bắt nguồn từ hình học. Một phép quay bất kỳ là một sự
Trong hình học, một **vị trí** hoặc **vector vị trí**, còn được gọi là **tọa độ** **vector** hoặc **bán kính** **vector,** là một vectơ đại diện cho vị trí của một điểm _P_ trong không
Trong toán học, **nhóm trực giao** với số chiều n, được ký hiệu là \operatorname{O}(n), là nhóm gồm các phép biến đổi bảo toàn khoảng cách trong một không gian Euclid n chiều bảo toàn
**Siêu phẳng** của không gian n chiều là một không gian con n-1 chiều của nó. Một siêu phẳng trong không gian Euclid tách không gian đó thành hai nửa không gian. Ví dụ, trong
**Mặt bậc hai** hay **mặt cong bậc hai** là mặt trong không gian affine ba chiều, quỹ tích những điểm thỏa mãn phương trình bậc hai dạng a_{11}.x^2 + a_{22}.y^2 + a_{33}.z^2 + a_{12}.xy +
right|thumb|Một số đường cong bậc 3. Nhấn vào ảnh để xem rõ hơn Trong toán học, **đường cong bậc 3** là đường cong đại số định nghĩa bởi hàm số bậc ba : áp dụng
Trong toán học, cụ thể là ngành giải tích phức, một **hàm phân hình** trên một tập con mở của mặt phẳng phức là một hàm số chỉnh hình trên toàn bộ _ngoại trừ_ một
**Định lý Rouché–Capelli** là một định lý trong đại số tuyến tính xác định số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, khi cho biết hạng của ma trận mở rộng và ma trận
thumb|Hai hình học hình học tương tự liên quan đến sự biến đổi đồng đẳng đối với một trung tâm đồng đẳng S. Các góc ở các điểm tương ứng đều giống nhau và có
thumb|Một hình elip (đỏ) bao quanh mặt cắt của một [[hình nón với một mặt phẳng nghiêng]] thumb|Các thành phần của hình elip thumb|Các hình elip với tâm sai tăng dần Trong toán học, một

\exp\left(-\frac{1}{2}(x - \mu)^\top \Sigma^{-1} (x - \mu)\right)| cdf =| mean =\mu| median =\mu| mode =\mu| variance =\Sigma (ma trận hiệp phương sai)| skewness =0| kurtosis =0| entropy =\ln\left(\sqrt{(2\,\pi\,e)^N \left| \Sigma \right|}\right)\!| mgf =M_X(t)=
Trong toán học, một phép **biến đổi tuyến tính** (còn được gọi là **toán tử tuyến tính** hoặc là **ánh xạ tuyến tính**) là một ánh xạ V \rightarrow W giữa hai mô đun (cụ
nhỏ|Dưới con mắt tôpô học, cái cốc và cái vòng là một **Tô pô** hay **tô pô học** có gốc từ trong tiếng Hy Lạp là topologia (tiếng Hy Lạp: τοπολογία) gồm _topos_ (nghĩa là
**Có thể điều khiển được** là một thuộc tính quan trọng của một hệ thống điều khiển và thuộc tính có thể điều khiển được đóng một vai trò quan trọng trong nhiều bài toán
Trong lý thuyết độ đo, **định lý bánh mì dăm bông**, còn gọi là **định lý Stone–Tukey** theo Arthur H. Stone và John Tukey, phát biểu rằng với mọi _n_ "đối tượng" đo được trong
Trong **thị giác máy tính**, **mô hình túi từ** (**bag-of-words model,** mô hình BoW) có thể được áp dụng để phân loại hình ảnh, bằng cách coi các đặc trưng của hình ảnh như từ
Bài viết này là **danh sách các thuật toán** cùng một mô tả ngắn cho mỗi thuật toán. ## Thuật toán tổ hợp ### Thuật toán tổ hợp tổng quát * Thuật toán Brent: tìm
thumb|220x124px | right | Ánh xạ liên tục giữa hai topo Trong toán học, **ánh xạ** (Tiếng Anh: _mapping/_ Tiếng Hán:映射) là một khái niệm chỉ quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp liên
Trong hình học, **định lý Radon** về các tập hợp lồi, đặt tên theo Johann Radon, khẳng định rằng mọi tập hợp gồm _d_ + 2 điểm trong **R**_d_ đều có thể chia thành hai tập hợp
**Văn Như Cương** (1 tháng 7 năm 1937 – 9 tháng 10 năm 2017) là một nhà giáo Việt Nam, nhà biên soạn sách giáo khoa phổ thông và giáo trình đại học bộ môn
Một tập hợp _A_ gồm các số thực (được vẽ bằng các chấm màu xanh), tập hợp các cận trên của _A_ (các chấm màu đỏ), và giá trị nhỏ nhất của các cận trên
alt=|right|thumb|Một hàm (màu đen) là hàm lồi khi và chỉ khi vùng nằm phía trên đồ thị của nó (màu lục) là [[tập lồi. Vùng này chính là trên đồ thị của hàm.]] Trong toán
Trong hình học, một **hình khối lục diện** là một hình khối trong không gian ba chiều do sáu hình bình hành ghép lại. Một cách tương tự, mối liên hệ giữa hình khối lục
**Ngô Bảo Châu** (sinh ngày 28 tháng 6 năm 1972), giáo sư tại Khoa Toán, Đại học Chicago, là một nhà toán học Pháp-Việt nổi tiếng với chứng minh bổ đề cơ bản cho các
**François Maurice Adrien Marie Mitterrand** (Phát âm tiếng Việt như là phờ-răng-xoa mít-tờ-răng; sinh ngày 16 tháng 10 năm 1916 – mất ngày 8 tháng 1 năm 1996) là Tổng thống Pháp và Đồng hoàng
nhỏ|phải **Idomeneo** (tên đầy đủ là **Idomeneo, vua Creta, K.336**) là vở opera của nhà soạn nhạc người Áo Wolfgang Amadeus Mozart. Ông sáng tác vở opera này vào năm 1780. ## Hoàn cảnh sáng