Trong lý thuyết số, định lý số nguyên tố (prime number theorem - PNT, hay định lý phân bố số nguyên tố) mô tả sự phân bố tiệm cận của các số nguyên tố giữa các số nguyên dương. Định lý này chuẩn hóa ý tưởng trực quan rằng các số nguyên tố trở nên ít phổ biến hơn khi chúng trở nên lớn hơn bằng cách định lượng chính xác tỷ lệ xuất hiện các số này. Định lý đã được Jacques Hadamard và Charles Jean de la Vallée Poussin chứng minh độc lập vào năm 1896 bằng cách sử dụng các ý tưởng của Bernhard Riemann (đặc biệt là hàm zeta Riemann).
Tỷ lệ phân phối đầu tiên như vậy được tìm thấy là , trong đó là hàm đếm số nguyên tố và là logarit tự nhiên của . Điều này có nghĩa là với đủ lớn, xác suất một số nguyên ngẫu nhiên không lớn hơn là số nguyên tố rất gần với . Do đó, một số nguyên ngẫu nhiên có tối đa chữ số (cho đủ lớn) có xác suất là số nguyên tố bằng 1/2 xác suất của một số nguyên ngẫu nhiên có nhiều nhất chữ số. Ví dụ: trong số các số nguyên dương có nhiều nhất 1000 chữ số, có khoảng một trong 2300 số là số nguyên tố (), trong khi trong số các số nguyên dương có nhiều nhất 2000 chữ số, thì khoảng một trong 4600 số là số nguyên tố (). Nói cách khác, khoảng cách trung bình giữa các số nguyên tố liên tiếp giữa các số nguyên đầu tiên là khoảng .
Nội dung
nhỏ|300x300px| Đồ thị hiển thị tỷ lệ của hàm đếm số nguyên tố với hai giá trị gần đúng của nó, và . Khi tăng (lưu ý trục là logarit), cả hai tỷ lệ đều hướng về 1. Tỷ lệ cho ở hình bên trên hội tụ rất chậm, trong khi tỷ lệ cho hội tụ nhanh hơn (hình bên dưới).
nhỏ|300x300px| Biểu đồ log-log hiển thị sai số tuyệt đối của và , hai phép tính gần đúng với hàm đếm số nguyên tố . Không giống như tỷ lệ, sự khác biệt giữa và tăng không bị chặn khi tăng. Mặt khác, giá trị của đảo dấu vô hạn nhiều lần.
Đặt là hàm đếm số nguyên tố cho số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng , với bất kỳ số thực nào. Ví dụ: vì có bốn số nguyên tố (2, 3, 5 và 7) nhỏ hơn hoặc bằng 10. Định lý số nguyên tố sau đó nói rằng là một xấp xỉ tốt với , theo nghĩa là giới hạn của thương số giữa hai hàm và khi tăng vô hạn, bằng 1:
:
được gọi là quy luật tiệm cận của việc phân phối số nguyên tố. Sử dụng ký hiệu tiệm cận, kết quả này có thể được trình bày lại dưới dạng
:
👁️
1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
Trong lý thuyết số, **định lý số nguyên tố** (**prime number theorem -** **PNT**, hay **định lý phân bố số nguyên tố**) mô tả sự phân bố tiệm cận của các số nguyên tố giữa
thế=Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but the prime numbers cannot|nhỏ| Hợp số có thể được
thumb| [[Phân phối tần suất khoảng cách số nguyên tố cho các số nguyên tố lên tới 1.6 tỷ. Các cực đại đều là bội của 6.]] **Khoảng cách số nguyên tố** là khoảng cách
Trong toán học, **hàm đếm số nguyên tố** là hàm số đếm số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng với một số thực _x._ Nó được ký hiệu là (_x_) (không liên
Trong lý thuyết số, **số nguyên tố chính quy** là một loại đặc biệt của số nguyên tố, được định nghĩa bởi Ernst Kummer trong 1850 để chứng minh một số trường hợp của định
Trong lý thuyết số, **số nguyên tố Wolstenholme** là loại số nguyên tố đặc biệt thỏa mãn dạng mạnh hơn của định lý Wolstenholme. Định lý Wolstenholme là quan hệ đồng dư được thỏa mãn
**Số nguyên tố an toàn** là một số nguyên tố có dạng với _p_ cũng là số nguyên tố. (Theo quy ước, số nguyên tố _p_ được gọi là số nguyên
**Số nguyên tố Mersenne** là một số nguyên tố có giá trị bằng 2n − 1. Ví dụ 31 là số nguyên tố Mersenne vì 31 = 25 − 1 (31 và 5 đều là
Trong lý thuyết số học, hai số nguyên tố p và q được gọi là cặp **số nguyên tố sinh đôi** nếu p-q=2. Hai số nguyên tố sinh đôi là một cặp số nguyên tố
Trong lý thuyết số, số nguyên tố được gọi là **số nguyên tố Sophie Germain** nếu cũng là số nguyên tố. Số của số nguyên tố
Một **số nguyên tố Fibonacci** là một số Fibonacci đồng thời là số nguyên tố. Sau đây là một vài số nguyên tố Fibonacci :2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597,... Trừ trường hợp _n_
Trong toán học, **số nguyên tố Mersenne kép** hay **số nguyên tố Mersenne đúp** là số nguyên tố có dạng sau: trong đó p là số nguyên tố và Mp là số
Bảng này cho **dạng phân tích tiêu chuấn** (xem định lý cơ bản của số học) của các số tự nhiên từ 1 đến 1000. Khi _n_ là một số nguyên tố, phân tích tiêu
thumb|Hướng sắp xếp ban đầu của Hàn Tín: **Định lý số dư Trung Hoa (Định lý thặng dư Trung Hoa)**, hay **bài toán Hàn Tín điểm binh**, là một định lý nói về nghiệm của
**Định đề Bertrand** là một định lý phát biểu rằng với bất kỳ số nguyên , luôn tồn tại ít nhất một số nguyên tố sao cho :
**Định lý nhỏ của Fermat** (hay định lý Fermat nhỏ - phân biệt với định lý Fermat lớn) khẳng định rằng nếu là một số nguyên tố, thì với số nguyên bất kỳ,
Trong toán học, **định lý cơ bản của số học** (tiếng Anh: Fundamental theorem of arithmetic) hay **định lý phân tích thừa số nguyên tố** (tiếng Anh: Prime factorization theorem) phát biểu rằng mọi số
**Định lý Fermat về tổng của hai số chính phương** phát biểu như sau: :"Một số nguyên tố lẻ _p_ có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương, tức là
Trong toán học, **định lý Wolstenholme** phát biểu rằng với bất kỳ số nguyên tố , biểu thức đồng dư : được thỏa mãn, trong đó dấu ngoặc
**Định lý Euclid** là một tuyên bố cơ bản trong lý thuyết số khẳng định rằng có vô số số nguyên tố. Nó đã được Euclid chứng minh đầu tiên trong tác phẩm _Cơ sở_
Trong toán học, các số nguyên _a_ và _b_ được gọi là **nguyên tố cùng nhau** (tiếng Anh: **coprime** hoặc **relatively prime**) nếu chúng có Ước số chung lớn nhất là 1. Ví dụ 5
**Định lý Euler** phát biểu rằng nếu n (n thuộc N*) là số nguyên dương bất kỳ và a là số nguyên tố cùng nhau với n, thì trong đó
Trong lý thuyết số, **định lý Dirichlet trên cấp số cộng** được phát biểu một cách sơ cấp như sau: Cho a;b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, thế thì sẽ có
Trong lý thuyết số, **định lý Wilson** phát biểu rằng: cho _p_ là số tự nhiên lớn hơn 1, khi đó p là số nguyên tố, khi và chỉ khi (_p_-1)!+1 chia hết cho _p_.
**Định lý Chen** phát biểu rằng _mọi số chẵn đủ lớn đều có thể được viết dưới dạng tổng của hai số nguyên tố hoặc của một số nguyên tố và một số nửa nguyên
Trong lý thuyết số, **định lý Green–Tao**, chứng minh bởi Ben Green và Terence Tao năm 2004, phát biểu rằng dãy các số nguyên tố có chứa cấp số cộng độ dài bất kì. Nói
thumb|John Friedlander thumb|Henryk Iwaniec Trong lý thuyết số giải tích, **định lý Friedlander–Iwaniec** phát biểu rằng có vô số số nguyên tố dưới dạng . Các số nguyên tố đầu tiên là :2,
Một **số nguyên Gauss** là một số phức với phần thực và phần ảo đều là các số nguyên. Tập các số nguyên Gauss là một miền nguyên, thường được ký hiệu là **Z**[_i_]. Các
Trong toán học, **số nửa nguyên tố** (tiếng Anh: _semiprime_, còn gọi là **biprime**, **2-almost prime**, hoặc **số pq**) là số tự nhiên được tạo thành từ tích của hai số nguyên tố (không nhất
nhỏ|Mô phỏng bằng với các que Cuisenaire, các tính chất của các số gần như nguyên tố bậc 2 của số 6 Trong lý thuyết số, một số tự nhiên được gọi là **số gần
thumb|[[Bảng tuần hoàn]] **Nguyên tố hóa học**, thường được gọi đơn giản là **nguyên tố**, là một chất hóa học tinh khiết, bao gồm một kiểu nguyên tử, được phân biệt bởi số hiệu nguyên
phải|Bài toán II.8 trong _Arithmetica_ của Diophantus, với chú giải của Fermat và sau đó trở thành định lý Fermat cuối cùng (ấn bản 1670) **Định lý cuối cùng của Fermat** (hay còn gọi là
nhỏ|Ví dụ về Định lý Euclid-Euler **Định lý Euclid–Euler** là một định lý trong lý thuyết số liên hệ số hoàn thiện với số nguyên tố Mersenne. Định lý này phát biểu rằng một số
phải|nhỏ|300x300px| Một lời giải thích về các số viết ở trên và ở dưới được thấy trong ký hiệu số nguyên tử. Số nguyên tử là số proton, và do đó cũng là tổng điện
Trong lý thuyết số, số giả nguyên tố (tiếng Anh: _pseudoprime_) là một số nguyên tố xác suất (tiếng Anh: **probable prime **) nhưng không phải là số nguyên tố. Một số tự nhiên thoả
**Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến** (_The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences_), hay đơn giản là **Sloane's**, là cơ sở dữ liệu chuỗi số nguyên trực tuyến. Bảng được tạo ra và bảo
**Kiểm tra tính nguyên tố** (tiếng Anh: _primality test_) là bài toán kiểm tra xem một số tự nhiên có phải là số nguyên tố hay không. Bài toán này đặc biệt trở nên
Trong toán học, **định lý Golod–Shafarevich** được chứng minh trong 1964 bởi Evgeny Golod và Igor Shafarevich. Định lý này là kết quả trong đại số đồng điều không giao hoán giải **bài toán tháp
Trong Lý thuyết số, **định lý Lagrange** khẳng định: : Nếu _p_ là số nguyên tố và _f(x)_ là một đa thức với hệ số nguyên thuộc trường có bậc là _n_ và
thế=Thanh màu Cuisenaire cho thấy các ước số của 6 (1, 2 và 3) cộng lại bằng 6|nhỏ|Cách hình dung số 6 là số hoàn hảo thế=Biểu đồ hai xu hướng với trục hành biểu
**Định lý phạm trù Baire** là định lý quan trọng trong topo, trong giải tích hiện đại, định lý mang tên nhà toán học người Pháp René-Louis Baire (1874 - 1932). Định lý có hai
**Định lý Taniyama–Shimura** là một định lý xây dựng một mối liên hệ quan trọng giữa các đường cong elip, một khái niệm trong hình học đại số và các dạng modular, là các hàm
nhỏ|Vị trí các nguyên tố siêu nặng trong bảng tuần hoàn hóa học **Nguyên tố siêu nặng** (tiếng Anh: **superheavy element**, viết tắt là SHE) là nguyên tố hóa học có số hiệu nguyên tử
**Lý thuyết số** là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà
**Quản lý tài nguyên thiên nhiên** là việc quản lý các nguồn lực tự nhiên như đất,nước, thực vật, động vật và tập trung chủ yếu về các tác động đến chất lượng cuộc sống
Trong toán học tiêu khiển, **Số repunit** (hoặc gọi tắt đi là **repunit**) là các số tương tự như 11, 111, hoặc 1111, tức là các số chỉ bao gồm chữ số 1 — dạng
**Định lý Pythagoras**
Tổng diện tích của hai hình vuông có cạnh là hai cạnh vuông của tam giác vuông (_a_ và _b_) bằng diện tích của hình vuông có cạnh là cạnh huyền (_c_). Trong
Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết nhóm hữu hạn, **định lý Sylow** là một nhóm các định lý được đặt tên theo nhà toán học Na Uy Ludwig Sylow vào
Trong toán học, **số nguyên** được định nghĩa một cách thông dụng là một số có thể được viết mà không có thành phần phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là các
**Định lý Cauchy** là một định lý trong lý thuyết nhóm được đặt tên theo tên của nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy. Định lý này phát biểu rằng nếu là một