Định lý Euclid là một tuyên bố cơ bản trong lý thuyết số khẳng định rằng có vô số số nguyên tố. Nó đã được Euclid chứng minh đầu tiên trong tác phẩm Cơ sở của ông. Có một số cách chứng minh khác nữa cho định lý này.
Chứng minh của Euclid
Euclid đưa ra một chứng minh được công bố trong tác phẩm Cơ sở của ông (Quyển IX, Mục 20), được diễn giải ở đây.
Xem xét bất kỳ danh sách hữu hạn của số nguyên tố p1, p2, ..., pn. Cần chỉ ra rằng ít nhất một số nguyên tố bổ sung không có trong danh sách này có tồn tại. Đặt P là tích của tất cả các số nguyên tố trong danh sách: P = p1p2... pn. Cho q = P+1. Thì q hoặc là số nguyên tố hoặc không phải là số nguyên tố:
- Nếu q là số nguyên tố, vậy có ít nhất một số nguyên tố nữa không có trong danh sách.
- Nếu q không phải là số nguyên tố thì tồn tại một thừa số nguyên tố p là ước của q. Nếu số p này nằm trong danh sách số nguyên tố, thì nó sẽ là ước của P (vì P là tích của mọi số nguyên tố trong danh sách); nhưng p cũng là ước của P + 1 = q, như vừa nêu. Nếu p là ước số của cả P và q, thì p cũng phải là ước số của hiệu số chênh lệch của hai số đó là (P + 1) - P nghĩa là p là ước số của 1. Vì không có số nguyên tố nào là ước số của 1, p không thể có trong danh sách. Điều này có nghĩa là có ít nhất một số nguyên tố tồn tại ngoài những số trong danh sách.
Điều này chứng tỏ rằng đối với mọi danh sách hữu hạn của các số nguyên tố đều có một số nguyên tố không có trong danh sách. Trong tác phẩm gốc, vì Euclid không có cách viết một danh sách các số nguyên tố tùy ý, ông đã sử dụng một phương pháp mà ông thường xuyên áp dụng, đó là phương pháp ví dụ khái quát. Cụ thể, ông chỉ chọn ba số nguyên tố và sử dụng phương pháp chứng minh chung đã nêu ở trên, chứng tỏ rằng ông ta luôn có thể tìm thấy một số nguyên tố bổ sung. Euclid có lẽ giả định rằng độc giả của ông tin chắc rằng phép chứng minh tương tự sẽ cũng đúng, bất kể có bao nhiêu số nguyên tố được chọn lúc ban đầu.
Euclid thường được mô tả một cách sai lầm rằng đã chứng minh kết quả này bằng mâu thuẫn bắt đầu với giả định rằng tập hữu hạn ban đầu được xem có chứa tất cả các số nguyên tố, mặc dù nó thực sự là một chứng minh bằng cách xét tất cả các trường hợp, một phương pháp chứng minh trực tiếp. Nhà triết học Torkel Franzén, trong một cuốn sách về logic, đã nói, "Chứng minh của Euclid rằng có vô số số nguyên tố không phải là một chứng minh gián tiếp [... ] Cách chứng minh của ông đôi khi được coi là một chứng minh gián tiếp bằng cách thay thế nó bằng giả định 'Giả sử là tất cả các số nguyên tố'. Tuy nhiên, vì giả định này thậm chí không được sử dụng trong phép chứng minh của ông, nên việc thay thế câu giả định như trên là vô nghĩa. "
Biến thể
Một số biến thể của chứng minh của Euclid tồn tại như sau:
Giai thừa n! của một số nguyên dương n chia hết cho mọi số nguyên từ 2 đến n, vì nó là tích của tất cả các số này. Do đó, không chia hết cho bất kỳ số nguyên nào từ 2 đến n, (nó cho số dư là 1 khi chia cho mỗi số nguyên). Do đó là số nguyên tố hoặc chia hết cho số nguyên tố lớn hơn n. Trong cả hai trường hợp, với mỗi số nguyên dương n, có ít nhất một số nguyên tố lớn hơn n. Kết luận là số lượng các số nguyên tố là vô hạn.
👁️
0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
nhỏ|Ví dụ về Định lý Euclid-Euler **Định lý Euclid–Euler** là một định lý trong lý thuyết số liên hệ số hoàn thiện với số nguyên tố Mersenne. Định lý này phát biểu rằng một số
**Định lý Euclid** là một tuyên bố cơ bản trong lý thuyết số khẳng định rằng có vô số số nguyên tố. Nó đã được Euclid chứng minh đầu tiên trong tác phẩm _Cơ sở_
Trong lý thuyết số, **định lý Dirichlet trên cấp số cộng** được phát biểu một cách sơ cấp như sau: Cho a;b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, thế thì sẽ có
**Định lý Pythagoras**
Tổng diện tích của hai hình vuông có cạnh là hai cạnh vuông của tam giác vuông (_a_ và _b_) bằng diện tích của hình vuông có cạnh là cạnh huyền (_c_). Trong
Trong toán học, **định lý cơ bản của số học** (tiếng Anh: Fundamental theorem of arithmetic) hay **định lý phân tích thừa số nguyên tố** (tiếng Anh: Prime factorization theorem) phát biểu rằng mọi số
phải||Hình 1 – Một tam giác với các góc _α_ (hoặc _A_), _β_ (hoặc _B_), _γ_ (hoặc _C_) lần lượt đối diện với các cạnh _a_, _b_, _c_. Trong lượng giác, **Định lý cos** (hay
**Định lý Sylvester–Gallai** khẳng định rằng với mọi tập hợp hữu hạn điểm trên mặt phẳng, hoặc # mọi điểm đều thẳng hàng; hoặc # tồn tại một đường thẳng chứa đúng hai điểm. Giả
**Định lý Thales**, hay **định lý Thalès**, **định lý Talet**, là một định lý quan trọng trong hình học sơ cấp, được đặt theo tên nhà toán học người Hy Lạp Thales. Mặc dù định
thumb|Định lý Lá Cờ Nước Anh phát biểu rằng tổng diện tích hình vuông màu đỏ bằng tổng diện tích hình vuông màu xanh Trong hình học Euclid, **định lý Lá Cờ Nước Anh** phát
Trong lý thuyết độ đo, **định lý bánh mì dăm bông**, còn gọi là **định lý Stone–Tukey** theo Arthur H. Stone và John Tukey, phát biểu rằng với mọi _n_ "đối tượng" đo được trong
Minh họa định lý Stewart. Trong hình học Euclid, **định lý Stewart** là đẳng thức miêu tả mối quan hệ độ dài giữa các cạnh trong tam giác với đoạn thẳng nối một đỉnh với
Trong toán học, **định lý** **Borsuk-Ulam** khẳng định rằng tất cả các hàm liên tục từ một hình cầu _n_ chiều vào một không gian Euclid _n_ chiều sẽ gửi ít nhất một cặp điểm
thumb|Một [[tam giác Reuleaux, một đường cong có chiều rộng không đổi với diện tích nhỏ nhất trong số những tập lồi có cùng chiều rộng.]] Trong hình học phẳng, **định lý Blaschke–Lebesgue** hay **bất
**Định lý bất biến miền **(Invariance of domain) còn có tên gọi là **Định lý Brouwer về tính bất biến của miền** (domain), được chứng minh bởi nhà toán học Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966)
thumb|upright=1.25|Hình vuông EFGH được tạo bởi hình vuông ABCD và AB'C'D' **Định lý Finsler-Hadwiger** là một định lý hình học phẳng Euclid được phát hiện bởi hai nhà toán học người Đức Paul Finsler và
thumb|Định lý Lester Trong hình học Euclid, **định lý Lester** đặt theo tên của giáo sư nữ June Lester, người Canada, định lý này phát biểu rằng: Trong một tam giác không phải là tam
Trong hình học, **định lý De Bruijn–Erdős**, chứng minh bởi Nicolaas Govert de Bruijn và Paul Erdős, đưa ra một chặn dưới cho số đường thẳng xác định bởi _n_ điểm trong mặt phẳng xạ
Minh họa định lý con bướm. **Định lý con bướm** là một định lý trong hình học Euclid, có thể được phát biểu như sau: Cho dây cung _PQ_ của một đường tròn và trung
thumb|upright=1.1|Tổng của diện tích hai tam giác đối diện bằng tổng của diện tích hai tam giác còn lại,
A(LBC) + A(LDA) = A(LAB) + A(LCD) **Định lý Anne**, đặt theo tên nhà toán học
Trong hình học Euclid, **định lý Fuhrmann** phát biểu như sau: Cho lục giác lồi nội tiếp. Khi đó: ## Chứng minh Định lý Fuhrmann được chứng minh bằng cách sử dụng định
thumb|Möbius plane: Định lý Bundle Trong hình học, **Định lý Bundle** là một định lý phát biểu về quan hệ của sáu đường tròn và tám điểm trong mặt phẳng Euclid. Tổng quát hơn nó
right|thumb|X(54) là điểm Kosnita của tam giác ABC trong từ điển Kimberling Trong hình học Euclid, **định lý Kosnita** (_tiếng Anh: Kosnita's theorem)_ là định lý nói về sự đồng quy của các đường tròn
**Các định lý bất toàn của Gödel**, hay gọi chính xác là **Các định lý về tính bất hoàn chỉnh của Gödel** (tiếng Anh: **Gödel's incompleteness theorems**, tiếng Đức: **Gödelscher Unvollständigkeitssatz**), là hai định lý
Minh họa của định lý đường cong Jordan. Đường cong Jordan (vẽ bằng màu đen) chia mặt phẳng thành 2 phần: "phần trong" (màu xanh) và "phần ngoài"(màu hồng). **Định lý đường cong Jordan** là
nhỏ|phải|Một tam giác với các thành phần trong định lý sin Trong lượng giác, **định lý sin** (hay **định luật sin**, **công thức sin**) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều
thumb|right|Định lý Thebault I **Định lý Thébault** là một trong bốn định lý hình học phẳng được đề xuất bởi nhà toán học người Pháp Victor Thébault (1882–1960) đăng trên tạp chí toán học hàng
**Một số định lý liên quan đường conic** là một số định lý nêu lên mối quan hệ giữa các đối tượng hình học như điểm, đường thẳng, tam giác về các tính chất thẳng
thumb|Định lý tám đường tròn **Định lý tám đường tròn** (hay còn gọi là **Định lý Đào về tám đường tròn**) là một định lý liên quan đến tám đường tròn được phát biểu như
Trong lĩnh vực hình học phẳng, **định lý Carnot** đặt tên theo Lazare Carnot (1753–1823). Có 4 định lý được đặt tên là **định lý Carnot**. Định lý thứ nhất nói về tổng khoảng cách
|Minh họa hình học về định lý đường trung tuyến: Lục + Lam = Đỏ **Định lý Apollonius** là định lý hình học phẳng nói về mối quan hệ giữa độ dài đường trung tuyến
**Định lý Ceva** là một định lý phổ biến trong hình học cơ bản. Cho một tam giác _ABC_, các điểm _D_, _E_, và _F_ lần lượt nằm trên các đường thẳng _BC_, _CA_, và
Một cung gồm bốn đoạn thẳng với hệ số góc dương trong một tập hợp 17 điểm. Nếu ta xét dãy các tọa độ _y_ của các điểm theo thứ tự tọa độ _x_ tăng
[[Tập tin:Ptolemy equality.svg|right|thumb|upright=1.25|Định lý Ptoleme thể hiện mối quan hệ của độ dài các cạnh - đường chéo của một tứ giác nội tiếp đường tròn.]] **Định lý Ptoleme** hay **đẳng thức
thumb|_Đường thẳng Pascal_ _GHK_ của lục giác nội tiếp một Elip _ABCDEF_. Các cạnh đối diện của một hình lục giác có cùng màu sắc. **Định lý Pascal** (còn được biết đến với tên **định
Trong hình học phẳng, **định lý Casey**, được biết đến như một mở rộng định lý Ptoleme, được đặt theo tên nhà toán học người Ai Len John Casey. ## Nội dung của định lý
thumb|Định lý Đào về sáu tâm đường tròn **Định lý Đào về sáu tâm đường tròn** còn có tên đầy đủ là **định lý Đào về sáu tâm đường tròn kết hợp với một lục
thumb|Các đường tròn đi qua các đỉnh của tam giác _ABC_ và các điểm _A´_, _B´_ và _C´_ nằm trên các cạnh tam giác sẽ đồng quy tại điểm _M_. **Định lý Miquel** là các
Trong toán học và đặc biệt là giải tích thực, **định lý Bolzano-Weierstrass** (tiếng Anh: Bolzano-Weierstrass theorem, đặt theo tên hai nhà toán học là Bernand Bolzano và Karl Weierstrass) là một định lý quan
**Định lý Szemerédi–Trotter** là một định lý trong hình học tổ hợp phát biểu rằng với mọi bộ _n_ điểm và _m_ đường thẳng trên mặt phẳng, số cặp đường thẳng-điểm sao cho điểm nằm
nhỏ|Định lý Morley Trong hình học phẳng, **định lý Morley về góc chia ba** được phát biểu như sau: Các giao điểm của các đường phân ba góc kề nhau lập thành một tam giác
thumb|Định lý van Aubel: OQ=PR và OQ vuông góc với PR **Định lý Van Aubel** có thể là một trong hai định lý trong lĩnh vực hình học phẳng đó là định lý Van Aubel
thumb|Định lý Sondat **Định lý Sondat** là một số các định lý trong lĩnh vực hình học phẳng liên quan đến các tam giác trực giao. Hai tam giác có các cạnh tương ứng với
thumb|Trong hình vẽ cho chín điểm, một trường hợp đặc biệt, khi cả hai đường bậc ba và suy biến thành ba đường thằng **Định lý Cayley–Bacharach** là một định lý toán học nói về
thumb|Tâm của bốn đường tròn nội tiếp các tam giác ABD, ABC, BCD, ACD là một hình chữ nhật Trong hình học phẳng, **định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp** có nội dung
right|thumb|upright=1.5|Định lý Routh Trong hình học phẳng, **Định lý Routh** nói về tỉ lệ diện tích tam giác tạo bởi ba đường thẳng cevian và tam giác ban đầu. Định lý này phát biểu rẳng
thumb|Trường hợp điểm D nằm trên đường thẳng đối cực của P **Định lý Đào (conic)** là một định lý trong lĩnh vực hình học phẳng, nói về sự tồn tại của một đường thẳng
thumb|phải|Hình vẽ miêu tả định lý Pompeiu. Trong hình học phẳng, **định lý Pompeiu** (tiếng Anh: _Pompeiu's theorem_) là một hệ quả được tìm ra bởi nhà toán học người România Dimitrie Pompeiu. Nội dung
thumb|Định lý đường tròn Clifford Trong hình học, **định lý đường tròn Clifford**, đặt theo tên nhà hình học người anh William Kingdon Clifford, là một định lý nói về tính chất của giao điểm
thumb|Định lý Brianchon: Đường chéo của lục giác ngoại tiếp đường conic sẽ đồng quy : Trong hình học phẳng **định lý Brianchon** phát biểu rằng _nếu một lục giác ngoại tiếp một conic (đường
**Định lý Stokes** là một định lý được tìm ra bởi William Thomson, người sau này viết thư cho George Stokes vào tháng 7 năm 1850 thông báo kết quả. Stokes đưa định lý này