✨Định lý bất biến của miền xác định

Định lý bất biến miền (Invariance of domain) còn có tên gọi là Định lý Brouwer về tính bất biến của miền (domain), được chứng minh bởi nhà toán học Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) vào năm 1912. Định lý này được phát biểu cho không gian $\backslash mathbb\{R\}^n$ với tôpô Euclid (hiện nay đã có phát biểu cho các không gian khác). Từ "miền" (domain) (với nghĩa hiện nay không phổ biến) chỉ tập mở.

Phát biểu

*Cho tập hợp $U$ là tập mở trong không gian $\backslash mathbb\{R\}^n$ (với tôpô Euclid) và $f:U\backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}^n$ là một đơn ánh liên tục. Khi đó $f(U)$ cũng mở trong $\backslash mathbb\{R\}^n$.

Chứng minh

Chứng minh dưới đây là chứng minh phổ biến của hiện nay, tuy vậy đây không phải mà chứng minh của Brouwer. Mọi chứng minh cho đến hiện tại của định lý này ít nhiều đều phải nhờ đến các kết quả của tôpô đại số.

Cho _$U$ là tập mở. _Với mỗi $x\backslash in\; U$, có một quả cầu đóng $B\text{'}^\{n\}$ tâm $x$ sao cho $B\text{'}^\{n\}\backslash subset\; U$, có biên là $\backslash partial\; B\text{'}^\{n\}$ và phần trong là $B^\{n\}$. Ta sẽ chứng minh rằng $f\backslash left(B^\{n\}\backslash right)$ mở trong $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$, suy ra $f\backslash left(U\backslash right)$ mở trong $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$.

Tuy vậy, do có một sự "gần giống nhau" giữa $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$ và $S^\{n\}$, cùng với việc nhiều kết quả đã đạt được đối với mặt cầu $S^\{n\}$, nên người ta thay việc chứng minh đối với $f:U\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$ thành việc chứng minh đối với $f:U\backslash rightarrow\; S^\{n\}$. Các mệnh đề về compắc hóa dưới đây cho thấy sự "gần giống nhau" đó. Chứng minh các mệnh đề này có thể xem trong [1].

Mệnh đề. Compắc hóa Alexandroff của một không gian Hausdorff compắc địa phương thì Hausdorff.

Do đó các compắc hóa Alexandroff của $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$ và $S^\{n\}\backslash backslash\backslash left\{\; x\backslash right\},\backslash ;\; x\backslash in\; S^\{n\}$ đều Hausdorff.

Mệnh đề. Nếu $X$ đồng phôi với $Y$ thì compắc hóa một-điểm Hausdorff (Hausdorff one-point compactification) của $X$ đồng phôi với compắc hóa một-điểm Hausdorff của $Y$.

 Do đó vì $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}\backslash cong\; S^\{n\}\backslash backslash\backslash left\{\; a\backslash right\}$, nên với $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}\backslash cup\backslash left\{\; \backslash infty\backslash right\}$ và $S^\{n\}$ lần lượt là các compắc hóa một-điểm Hausdorff của $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$ và $S^\{n\}\backslash backslash\backslash left\{\; a\backslash right\}$, ta có $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}\backslash cup\backslash left\{\; \backslash infty\backslash right\}\; \backslash cong\; S^\{n\}$.

 Với $i:\backslash mathbb\{R\}^\{n\}\backslash hookrightarrow\backslash mathbb\{R\}^\{n\}\backslash cup\backslash left\{\; \backslash infty\backslash right\}$ là ánh xạ chứa trong. Ta lưu ý rằng cách xây dựng compắc hóa Alexandroff $X\backslash cup\backslash left\{\; \backslash infty\backslash right\}$ của $X$ cho thấy mọi tập mở trong $X$ vẫn mở trong $X\backslash cup\backslash left\{\; \backslash infty\backslash right\}$, tức $i$ là ánh xạ mở. Nên với $U\backslash subset\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$, $f\backslash left(U\backslash right)$ mở trong $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$ $\backslash Leftrightarrow$ $i\backslash left(f\backslash left(U\backslash right)\backslash right)=f\backslash left(U\backslash right)$ mở trong $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}\backslash cup\backslash left\{\; \backslash infty\backslash right\}$ $\backslash Leftrightarrow$ $\backslash varphi\backslash left(f\backslash left(U\backslash right)\backslash right)$ mở trong $S^\{n\}$.

 Ta thấy $\backslash varphi\backslash circ\; i\backslash circ\; f$ là một đơn ánh, nên nếu với mọi $g:U\backslash rightarrow\; S^\{n\}$ là đơn ánh liên tục, ta chứng minh được $g\backslash left(U\backslash right)$ mở trong $S^\{n\}$ thì định lý bất biến miền được chứng minh.

Định lý. Cho $U$ là một tập mở trong $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$ và $g:U\backslash rightarrow\; S^\{n\}$ là đơn ánh liên tục. Khi đó $g\backslash left(U\backslash right)$ cũng mở trong $S^\{n\}$.

Chứng minh. Với mỗi $x\backslash in\; U$, có một quả cầu đóng $B\text{'}^\{n\}$ tâm $x$ sao cho $B\text{'}^\{n\}\backslash subset\; U$, có biên là $\backslash partial\; B\text{'}^\{n\}$ và phần trong là $B^\{n\}$. Ta sẽ chứng minh $g\backslash left(B^\{n\}\backslash right)$ mở trong $S^\{n\}$. Chứng minh này cần kết quả quan trọng sau (chứng minh mệnh đề sau đây khá dài, ta có thể xem trong [2]).

Mệnh đề. Cho $h:B\text{'}^\{n\}\backslash rightarrow\; S^\{k\}$ là một ánh xạ liên tục sao cho $h\backslash left(B\text{'}^\{n\}\backslash right)\backslash cong\; B\text{'}^\{n\}$. Khi đó $H${0}\left(S^{k}\backslash h\left(B'^{n}\right)\right)\cong\mathbb{Z}. (Tổng quát của mệnh đề này là, cho $h:B\text{'}^\{n\}\backslash rightarrow\; S^\{k\}$ là một ánh xạ liên tục sao cho $h\backslash left(B\text{'}^\{n\}\backslash right)\backslash cong\; B\text{'}^\{n\}$, khi đó $\{\backslash widetilde\{H${i}\left(S^{k}\backslash h\left(B'^{n}\right)\right)=0, $\backslash forall\; i$, với $\{\backslash widetilde\{H\_\{i\}\backslash left(X\backslash right)$ là nhóm đồng điều rút gọn (reduced simplicial homology group) thứ $i$ của $X$. Định lý này có tên là định lý phân chia Jordan - Brouwer, xem trong [2] hoặc [3]).

Áp dụng cho $g$. Do $g:U\backslash rightarrow\; S^\{n\}$ là đơn ánh liên tục, $B\text{'}^\{n\}$ compắc và $S^\{n\}$ Hausdorff nên $g$ là một đồng phôi từ $B\text{'}^\{n\}$ sang $g\backslash left(B\text{'}^\{n\}\backslash right)$, ta có $g\backslash left(B\text{'}^\{n\}\backslash right)\backslash cong\; B\text{'}^\{n\}$. Suy ra theo mệnh đề trên, ta có $H\_\{0\}\backslash left(S^\{n\}\backslash backslash\; g\backslash left(B\text{'}^\{n\}\backslash right)\backslash right)\backslash cong\backslash mathbb\{Z\}$. Ta có $S^\{n\}\backslash backslash\; g\backslash left(B\text{'}^\{n\}\backslash right)$ là liên thông đường, bên cạnh đó $g\backslash left(B^\{n\}\backslash right)$ cũng liên thông đường do $B^\{n\}$ liên thông đường. Vậy nên $g\backslash left(\backslash partial\; B\text{'}^\{n\}\backslash right)$ chia $S^\{n\}$ thành 2 thành phần liên thông đường rời nhau $S^\{n\}\backslash backslash\; g\backslash left(B\text{'}^\{n\}\backslash right)$ và $g\backslash left(B^\{n\}\backslash right)$. Do $\backslash partial\; B\text{'}^\{n\}$ là compắc nên $g\backslash left(\backslash partial\; B\text{'}^\{n\}\backslash right)$ cũng compắc, suy ra $g\backslash left(\backslash partial\; B\text{'}^\{n\}\backslash right)$ đóng trong $S^\{n\}$ (do $S^\{n\}$ Hausdorff). Suy ra

mở trong $S^\{n\}$. Do đó hai thành phần liên thông đường $S^\{n\}\backslash backslash\; g\backslash left(B\text{'}^\{n\}\backslash right)$ và $g\backslash left(B^\{n\}\backslash right)$ cũng là hai thành phần liên thông của $S^\{n\}\backslash backslash\; g\backslash left(\backslash partial\; B\text{'}^\{n\}\backslash right)$. Vậy nên chúng đều mở trong $S^\{n\}\backslash backslash\; g\backslash left(\backslash partial\; B\text{'}^\{n\}\backslash right)$, nói riêng $g\backslash left(B^\{n\}\backslash right)$ mở trong $S^\{n\}\backslash backslash\; g\backslash left(\backslash partial\; B\text{'}^\{n\}\backslash right)$, do đó $g\backslash left(B^\{n\}\backslash right)$ mở trong S^{n}. Ta có đpcm.

Hệ quả

$\backslash mathbb\{R\}^\{m\}$ và $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$ đồng phôi thì $m$ phải bằng $n$.

Chứng minh. Giả sử có đồng phôi $f:\backslash mathbb\{R\}^\{m\}\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$ và $m>n$. Khi đó với mọi tập mở $U\backslash subset\backslash mathbb\{R\}^\{m\}$ ta có $f\backslash left(U\backslash right)$ mở trong $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$. Do $m>n$, xét ánh xạ chứa trong $i:\backslash mathbb\{R\}^\{n\}\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}^\{m\}$, ta thấy các phần tử của $i\backslash left(f\backslash left(U\backslash right)\backslash right)$ sẽ được viết dưới dạng $\backslash left(x${1},x{2},...,x{n},0,0\right)\in\mathbb{R}^{m}. Mặt khác do $i$ là một đơn ánh liên tục nên $i\backslash left(f\backslash left(U\backslash right)\backslash right)$, theo định lý bất biến miền, phải mở trong $\backslash mathbb\{R\}^\{m\}$, điều này là không thể bởi $\backslash left(x${1},x{2},...,x{n},0,0\right)\in i\left(f\left(U\right)\right) không có lân cận mở nào trong $\backslash mathbb\{R\}^\{m\}$ chứa trong $i\backslash left(f\backslash left(U\backslash right)\backslash right)$. Vậy $m\backslash leq\; n$.

Làm ngược lại với $f^\{-1\}:\backslash mathbb\{R\}^\{n\}\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}^\{m\}$, ta có $n\backslash leq\; m$. Vậy $m$ và $n$ phải bằng nhau.

Định lý này có thể chứng minh ngắn gọn bằng cách dùng kết quả về các nhóm đồng điều $H\_m(S^n)$.

Ý nghĩa trực quan. Định lý này cho thấy nếu xem phép đồng phôi, một cách trực quan, là phép co bóp kéo giãn mà không cắt hay dán, thì ta không thể kéo hay co bóp một "đường thẳng" $\backslash mathbb\{R\}$, mặt phẳng $\backslash mathbb\{R\}^2$ hay cả không gian $\backslash mathbb\{R\}^3$ thành hai thứ còn lại.