✨Định lý cos

phải||Hình 1 – Một tam giác với các góc α (hoặc A), β (hoặc B), γ (hoặc C) lần lượt đối diện với các cạnh a, b, c.

Trong lượng giác, Định lý cos (hay công thức cosine, luật cosine hoặc Định lý al-Kashi) biểu diễn sự liên quan giữa chiều dài của các cạnh của một tam giác với cosin của góc tương ứng. Sử dụng các kí hiệu trong Hình 1, ta có thể phát biểu định lý cos dưới dạng công thức như sau: :$c^2\; =\; a^2\; +\; b^2\; -\; 2ab\backslash cos\backslash gamma\backslash ,$

Định lý cos được biểu diễn tương tự cho hai cạnh còn lại: :$a^2\; =\; b^2\; +\; c^2\; -\; 2bc\backslash cos\backslash alpha\backslash ,$ :$b^2\; =\; a^2\; +\; c^2\; -\; 2ac\backslash cos\backslash beta\backslash ,$ Định lý cos là trường hợp tổng quát của định lý Pythagoras khi mà định lý này chỉ đúng trong tam giác vuông, khi mà góc γ là một góc vuông, từ đó dẫn tới $\backslash cos\backslash gamma\; =\; 0$ và khiến cho định lý cos suy biến trở thành định lý Pythagoras:

Định lý này được sử dụng để tính một cạnh chưa biết của tam giác - khi biết được hai cạnh còn lại và góc đối cạnh đó. Hình 2 – Tam giác tù ABC với đường cao BH

Ứng dụng

phải|Hình 3 – Ứng dụng của định lý cos: tìm cạnh chưa biết và góc chưa biết. Định lý cos được dùng trong phép đạc tam giác để giải một tam giác hoặc một đường tròn. Ví dụ trong Hình 3, định lý cos được dùng để tìm: cạnh thứ ba của một tam giác nếu đã biết hai cạnh còn lại và góc giữa chúng: ::$\backslash ,c\; =\; \backslash sqrt\{a^2+b^2-2ab\backslash cos\backslash gamma\}\backslash ,;$ ba góc nếu biết ba cạnh của tam giác ::$\backslash ,\backslash gamma\; =\; \backslash arccos\backslash left(\backslash frac\{a^2+b^2-c^2\}\{2ab\}\backslash right)\backslash ,;$ *cạnh thứ ba nếu biết hai cạnh còn lại và góc đối diện một trong hai cạnh đó: ::$\backslash ,\; a=b\backslash cos\backslash gamma\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{c^2\; -b^2\backslash sin^2\backslash gamma\}\backslash ,.$

Công thức thứ ba có được nhờ giải phương trình bậc hai với ẩn a. Phương trình này có hai nghiệm dương nếu một nghiệm dương nếu hoặc c = b sin γ, và vô nghiệm nếu

Chứng minh

Sử dụng công thức tính khoảng cách

Trong hệ tọa độ Descartes, cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c và γ là góc đối diện cạnh c với tọa độ ba đỉnh lần lượt là :$A\; =\; (b\; \backslash cos\backslash gamma,\backslash \; b\; \backslash sin\backslash gamma),\backslash \; B\; =\; (a,\backslash \; 0),\backslash \; C\; =\; (0,\backslash \; 0)\backslash ,.$

Sử dụng công thức tính khoảng cách, ta có :$c\; =\; \backslash sqrt\{(a\; -\; b\; \backslash cos\backslash gamma)^2\; +\; (0\; -\; b\; \backslash sin\backslash gamma)^2\}\backslash ,.$ do đó : Công thức này sử dụng được cả trường hợp tam giác nhọn và tam giác tù.

Sử dụng công thức lượng giác

Hình 4 - Tam giác nhọn và đường cao Hạ đường cao tương ứng với cạnh c như hình 4 ta có :$c=a\backslash cos\backslash beta+b\backslash cos\backslash alpha\backslash ,.$

(Công thức trên vẫn đúng nếu α hoặc β là góc tù, khi đó đường cao nằm ngoài tam giác và cos α hoặc cos β mang dấu âm). Nhân hai vế với c ta được :$c^2\; =\; ac\backslash cos\backslash beta\; +\; bc\backslash cos\backslash alpha.\backslash ,$

Tương tự ta có :$a^2\; =\; ac\backslash cos\backslash beta\; +\; ab\backslash cos\backslash gamma,\backslash ,$ :$b^2\; =\; bc\backslash cos\backslash alpha\; +\; ab\backslash cos\backslash gamma.\backslash ,$ Cộng vế theo vế hai phương trình sau ta có :$a^2\; +\; b^2\; =\; ac\backslash cos\backslash beta\; +\; bc\backslash cos\backslash alpha\; +\; 2ab\backslash cos\backslash gamma.\backslash ,$

Trừ vế theo vế phương trình đầu ta có :$a^2\; +\; b^2\; -\; c^2\; =\; -\; ac\backslash cos\backslash beta\; -\; bc\backslash cos\backslash alpha+\; ac\backslash cos\backslash beta\; +\; bc\backslash cos\backslash alpha\; +\; 2ab\backslash cos\backslash gamma\backslash ,$

đơn giản còn :$c^2\; =\; a^2\; +\; b^2\; -\; 2ab\backslash cos\backslash gamma.\backslash ,$

Sử dụng định lý Pytago

Hình 5 – Tam giác tù ABC với đường cao BH Trường hợp tam giác tù. Euclid chứng minh đinh lý bằng cách áp dụng Định lý Pytago cho hai tam giác vuông trong Hình 5. Đặt CH = d và BH = h, trong tam giác AHB ta có :$c^2\; =\; (b+d)^2\; +\; h^2,\backslash ,$ và trong tam giác CHB ta có :$d^2\; +\; h^2\; =\; a^2.\backslash ,$ Khai triển đa thức phương trình đầu tiên: :$c^2\; =\; b^2\; +\; 2bd\; +\; d^2\; +h^2.\backslash ,$

thế phương trình thứ hai vào: :$c^2\; =\; a^2\; +\; b^2\; +\; 2bd.\backslash ,$

Đây là mệnh đề 12 của Euclid trong tập 2 của bộ Cơ sở. Chú ý rằng :$d\; =\; a\backslash cos(\backslash pi-\backslash gamma)=\; -a\backslash cos\backslash gamma.\backslash ,$

Trường hợp tam giác nhọn. Được chứng minh trong mệnh đề 13 của Euclid ngay sau mệnh đề 12: ông áp dụng Định lý Pytago cho hai tam giác vuông có được bằng cách kẻ đường cao tương ứng với một trong hai cạnh kề góc γ và đơn giản bằng nhị thức.

trái|Hình 6 – Chứng minh bằng lượng giác trong trường hợp tam giác nhọn Cách khác trong trường hợp tam giác nhọn. Dựa vào Hình 6 ta có: :

với lưu ý rằng :$\backslash cos^2\backslash gamma\; +\; \backslash sin^2\backslash gamma\; =\; 1.\backslash ,$

Cũng từ Hình 6 ta có: :$\backslash tan\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{a\backslash sin\backslash gamma\}\{b-a\backslash cos\backslash gamma\}$

Công thức này được dùng để tính một góc khi biết hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó.

Sử dụng định lý Ptolemy

phải|Chứng minh định lý cos bằng [[định lý Ptolemy]] Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Dựng tam giác ABD bằng tam giác ABC với AD = BC và BD = AC. Hạ đường cao từ D và C, cắt AB lần lượt tại E và F. Ta có: :

Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp ABCD: :

Trong tam giác cân

Trong tam giác cân, do $a\; =\; b$ nên $a^2\; +\; b^2\; =\; 2a^2\; =\; 2ab$, định lí cos trở thành: :$c^2\; =\; 2a^2\; (1\; -\; \backslash cos\backslash gamma).\backslash ;$ hay :$\backslash cos\backslash gamma\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{c^2\}\{2a^2\}$

Sự tương đồng trong hình tứ diện

Cho một tứ diện với α, β, γ, δ là diện tích bốn mặt của tứ diện đó. Ký hiệu các góc nhị diện là $\backslash scriptstyle\{\; \backslash widehat\{\backslash beta\backslash gamma\},\; \}$ và tương tự, ta có :$\backslash alpha^2\; =\; \backslash beta^2\; +\; \backslash gamma^2\; +\; \backslash delta^2\; -\; 2\backslash left(\backslash beta\backslash gamma\backslash cos\backslash left(\backslash widehat\{\backslash beta\backslash gamma\}\backslash right)\; +\; \backslash gamma\backslash delta\backslash cos\backslash left(\backslash widehat\{\backslash gamma\backslash delta\}\backslash right)\; +\; \backslash delta\backslash beta\backslash cos\backslash left(\backslash widehat\{\backslash delta\backslash beta\}\backslash right)\backslash right).\backslash ,$

Định lý cos trong hình học phi Euclid