✨Định lý Casey

Trong hình học phẳng, định lý Casey, được biết đến như một mở rộng định lý Ptoleme, được đặt theo tên nhà toán học người Ai Len John Casey.

Nội dung của định lý

thumb|$t${12} \cdot t{34}+t{14}\cdot t{23}-t{13}\cdot t{24}=0

Cho $\backslash ,O$ là một đường tròn có bán kính $\backslash ,R$. Cho $\backslash ,O\_1,\; O\_2,\; O\_3,\; O$4 là bốn đường tròn theo thứ tự không cắt nhau cùng ở trong (hoặc cùng ở ngoài) và tiếp xúc với đường tròn $\backslash ,O$. Định nghĩa $\backslash ,t${ij} là độ dài tiếp tuyến ngoài của các đường tròn $\backslash ,O\_i,\; O\_j$. Khi đó:

:$\backslash ,t${12} \cdot t{34}+t{14} \cdot t{23}=t{13}\cdot t{24}.

Trong trường hợp các đường tròn $\backslash ,O\_1,\; O\_2,\; O\_3,\; O\_4$ suy biến thành một điểm định lý Casey suy biến thành định lý Ptoleme.

Chứng minh

Chứng minh sau đưa ra bởi Zacharias . Gọi bán kính của đường tròn $\backslash ,O\_i$ là $\backslash ,R\_i$ và các đường tròn này tiếp xúc với $\backslash ,O$ tại $\backslash ,K\_i$. Gọi $\backslash ,O,\; O\_i$ là tâm của các đường tròn này.

Theo định lý Pytago

:$\backslash ,t\_\{ij\}^2=\backslash overline\{O\_iO\_j\}^2-(R\_i-R\_j)^2.$

Trong tam giác $\backslash ,O\_iOO\_j$, áp dụng định lý cos chúng ta có độ dài của $\backslash ,K\_i,K\_j$

:$\backslash overline\{O\_iO\_j\}^2=\backslash overline\{OO\_i\}^2+\backslash overline\{OO\_j\}^2-2\backslash overline\{OO\_i\}\backslash cdot\; \backslash overline\{OO\_j\}\backslash cdot\; \backslash cos\backslash angle\; O\_iOO\_j$

Vì các đường tròn $\backslash ,O,O\_i$ tiếp xúc nhau:

:$\backslash overline\{OO\_i\}\; =\; R\; -\; R\_i,\backslash ,\; \backslash angle\; O\_iOO\_j\; =\; \backslash angle\; K\_iOK\_j$

Gọi $\backslash ,C$ là một điểm trên đường tròn $\backslash ,O$. Theo định lý sin trong tam giác $\backslash ,K\_iCK\_j$ ta có:

:$\backslash overline\{K\_iK\_j\}\; =\; 2R\backslash cdot\; \backslash sin\backslash angle\; K\_iCK\_j\; =\; 2R\backslash cdot\; \backslash sin\backslash frac\{\backslash angle\; K\_iOK\_j\}\{2\}$

Do đó:

:$\backslash cos\backslash angle\; K\_iOK\_j\; =\; 1-2\backslash sin^2\backslash frac\{\backslash angle\; K\_iOK\_j\}\{2\}=1-2\backslash cdot\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash overline\{K\_iK\_j\{2R\}\backslash right)^2\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{\backslash overline\{K\_iK\_j\}^2\}\{2R^2\}$

Từ các đẳng thức trên ta có:

:$\backslash overline\{O\_iO\_j\}^2=(R-R\_i)^2+(R-R\_j)^2-2(R-R\_i)(R-R\_j)\backslash left(1-\backslash frac\{\backslash overline\{K\_iK\_j\}^2\}\{2R^2\}\backslash right)$

:$\backslash overline\{O\_iO\_j\}^2=(R-R\_i)^2+(R-R\_j)^2-2(R-R\_i)(R-R\_j)+(R-R\_i)(R-R\_j)\backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash overline\{K\_iK\_j\}^2\}\{R^2\}$

:$\backslash overline\{O\_iO\_j\}^2=((R-R\_i)-(R-R\_j))^2+(R-R\_i)(R-R\_j)\backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash overline\{K\_iK\_j\}^2\}\{R^2\}$

Cuối cùng ta có độ dài các đoạn tiếp tuyến là:

:$t\_\{ij\}=\backslash sqrt\{\backslash overline\{O\_iO\_j\}^2-(R\_i-R\_j)^2\}=\backslash frac\{\backslash sqrt\{R-R\_i\}\backslash cdot\; \backslash sqrt\{R-R\_j\}\backslash cdot\; \backslash overline\{K\_iK\_j\{R\}$

Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp $\backslash ,K\_1K\_2K\_3K\_4$ vế trái đẳng thức trên ta có:

:$t${12}t{34}+t{14}t{23}=\frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_2}\cdot \overline{K_3K_4}+\overline{K_1K_4}\cdot \overline{K_2K_3}\right)

:$=\backslash frac\{1\}\{R^2\}\backslash cdot\; \backslash sqrt\{R-R\_1\}\backslash sqrt\{R-R\_2\}\backslash sqrt\{R-R\_3\}\backslash sqrt\{R-R\_4\}\backslash left(\backslash overline\{K\_1K\_3\}\backslash cdot\; \backslash overline\{K\_2K$4}\right)=t{13}t_{24}

Định lý được chứng minh.

Ứng dụng

Định lý Casey được sử dụng nhiều trong các bài báo về Hình học phẳng. Ví dụ định lý Casey được sử dụng để chứng minh định lý Feuerbach.