✨Định lý sin

nhỏ|phải|Một tam giác với các thành phần trong định lý sin

Trong lượng giác, định lý sin (hay định luật sin, công thức sin) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng và bán kính đường tròn ngoại tiếp. Định lý sin được biểu diễn dưới dạng

:$\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\; A\}\; \backslash ,=\backslash ,\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\; B\}\; \backslash ,=\backslash ,\; \backslash frac\{c\}\{\backslash sin\; C\}\; \backslash ,=2R$.

trong đó a, b, c là chiều dài các cạnh, và A, B, C là các góc đối diện (xem hình vẽ). Phương trình cũng có thể được viết dưới dạng nghịch đảo:

: $\backslash frac\{\backslash sin\; A\}\{a\}\; \backslash ,=\backslash ,\; \backslash frac\{\backslash sin\; B\}\{b\}\; \backslash ,=\backslash ,\; \backslash frac\{\backslash sin\; C\}\{c\}.\; !$

Định lý sin có thể được dùng trong phép đạc tam giác để tìm hai cạnh còn lại của một tam giác khi biết một cạnh và hai góc bất kì, hoặc để tìm cạnh thứ ba khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa hai cạnh đó. Trong một vài trường hợp, công thức cho ta hai giá trị khác nhau, dẫn đến hai khả năng khác nhau của một tam giác. Định lý sin là một trong hai phương trình lượng giác thường được dùng để tìm cạnh và góc của một tam giác, ngoài định lý cos.

Các ví dụ

Cho: cạnh a = 20, cạnh c = 24, góc C = 40°

Theo định lý sin ta có

:$\backslash frac\{\backslash sin\; A\}\{20\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; 40^\backslash circ\}\{24\}.$

:$A\; =\; \backslash arcsin\backslash left(\backslash frac\{20\backslash sin\; 40^\backslash circ\}\{24\}\; \backslash right)\; \backslash approx\; 32.39^\backslash circ.$ Một ví dụ khác:

Nếu hai cạnh của một tam giác có chiều dài là R và chiều dài cạnh thứ ba, dây cung c, là 100, góc C đối diện với dây cung c thì:

: $\backslash angle\; A\; =\; \backslash angle\; B\; =\; \backslash frac\{180^\backslash circ-\backslash angle\; C\}\{2\}=\; 90-\backslash frac\{\backslash angle\; C\}\{2\}!$

và

:$\{R\; \backslash over\; \backslash sin\; A\}=\{\backslash mbox\{c\}\; \backslash over\; \backslash sin\; C\}\backslash text\{\; v\; \}\{R\; \backslash over\; \backslash sin\; B\}=\{\backslash mbox\{c\}\; \backslash over\; \backslash sin\; C\}\backslash ,!$

:$\{\backslash mbox\{c\}\; \backslash ,\backslash sin\; A\; \backslash over\; \backslash sin\; C\}\; =\; R\backslash text\{\; v\; \}\{\backslash mbox\{c\}\; \backslash ,\backslash sin\; B\; \backslash over\; \backslash sin\; C\}\; =\; R.!$

Vấn đề tính toán

Giống như định lý cos, mặc dù định lý sin đúng về mặt toán học, nhưng việc áp dụng có thể dẫn đến sai số lớn khi sin của một góc rất gần với 1.

Vài ứng dụng

• Định lý sin có thể được dùng để chứng minh công thức sin của một tổng khi hai góc α và β nằm giữa 0 và 90 độ.

: Để chứng minh, hạ đường cao từ góc C, chia góc C thành hai góc α cùng phía với góc A và β cùng phía với góc B. Dùng định lý sin đối với cạnh c và a để giải phương trình tìm sin C. Trong hai tam giác vuông mới vẽ được nhờ đường cao ta thấy sin(A) = cos(α), sin(B) = cos(β) và c = a sin(β) + b sin(α). Sau khi thế ta được sin(C) =sin(α + β) = sin(β)cos(α) + (b/a)sin(α)cos(α). Dùng định lý sin đối với cạnh b và a để giải phương trình tìm b. Thế vào phương trình của sin(α + β) và ta có điều phải chứng minh.

• Định lý sin cũng có thể được dùng để chứng minh định lý tang và công thức Mollweide (Dresden 2009, Plane Trigonometry trang 76–78).

Trường hợp đặc biệt

Trong một vài trường hợp, khi áp dụng định lý sin, ta được hai giá trị khác nhau, dẫn đến khả năng dựng được hai tam giác khác nhau trong cùng một bài toán giải tam giác.

Hình:Sine Law - Ambiguous Case.svg

Điều kiện để tam giác ABC rơi vào trường hợp này là:

• Chỉ biết cạnh ‘’a’’, ‘’b’’ và góc A.
• Góc A nhọn (A < 90°).
• Cạnh a bé hơn cạnh b (a < b).
• Cạnh ‘’a’’ dài hơn đường cao của tam giác vuông có góc ‘’A’’ và cạnh huyền ‘’b’’ (a > b sin A).

Trong trường hợp đó, góc ‘’B’’ có thể nhọn hoặc tù, do đó: : $B\; =\; \backslash arcsin\; \{b\; \backslash sin\; A\; \backslash over\; a\}!$

hoặc

: $B=\; 180^\backslash circ\; -\; \backslash arcsin\; \{b\; \backslash sin\; A\; \backslash over\; a\}$

Liên quan với đường tròn ngoại tiếp

Trong công thức

:$\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\; A\}\; \backslash ,=\backslash ,\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\; B\}\; \backslash ,=\backslash ,\; \backslash frac\{c\}\{\backslash sin\; C\},!$

giá trị của mỗi phân số chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Người ta cũng chứng minh được rằng giá trị trên bằng

:

trong đó S là diện tích của tam giác và s là nửa chu vi của nó. :$s\; =\; \backslash frac\{a+b+c\}\; \{2\}.$

Công thức thứ hai có sử dụng đến công thức Heron.

Các dạng khác

Do đó :$h\; =\; b\; \backslash sin\; A\; =\; a\backslash sin\; B\; \backslash ,$ và :$\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\; A\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\; B\}.$ Làm tương tự, ta có: :$\backslash frac\{b\}\{\backslash sin\; B\}\; =\; \backslash frac\{c\}\{\backslash sin\; C\}.$

Diện tích tam giác $S$ được tính bởi công thức :$S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}bc\; \backslash sin\; A\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}ac\; \backslash sin\; B\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}ab\; \backslash sin\; C\backslash ,.$ Nhân hai vế với $2/abc$ ta được :$\backslash frac\{2S\}\{abc\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; A\}\{a\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; B\}\{b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; C\}\{c\}\backslash ,.$

Định lý sin trong tứ diện

nhỏ|phải|Một tứ diện với các đỉnh O, A, B, C và các góc ∠OAB, ∠OBC, ∠OCA, ∠OAC, ∠OCB, ∠OBA.

Một hệ quả của định lý sin là: trong tứ diện OABC ta có

: