✨Định lý Ceva

Định lý Ceva là một định lý phổ biến trong hình học cơ bản. Cho một tam giác ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB. Định lý phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi: :$\backslash frac\{AF\}\{FB\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{BD\}\{DC\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{CE\}\{EA\}\; =\; 1$

Ngoài ra, định lý Ceva còn được phát biểu một cách tương đương trong lượng giác rằng: AD,BE,CF đồng quy khi và chỉ khi

$\backslash frac\{\backslash sin\backslash angle\; BAD\}\{\backslash sin\backslash angle\; CAD\}\backslash times\backslash frac\{\backslash sin\backslash angle\; ACF\}\{\backslash sin\backslash angle\; BCF\}\backslash times\backslash frac\{\backslash sin\backslash angle\; CBE\}\{\backslash sin\backslash angle\; ABE\}=1$.thumb|phải|Định lý CevaMột đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác gọi là **đường thẳng Cevian** ứng với đỉnh đó.Một trong hình vẽ tam giác $DEF$ là một **tam giác Cevian** của tam giác ABC.

Chứng minh

Giả sử ta có: $AD$, $BE$ và $CF$ đồng quy tại một điểm $O$ nào đó (trong hay ngoài tam giác). Do $\backslash triangle\; BOD$ và $\backslash triangle\; COD$ có chung chiều cao (độ dài của đường cao), ta có: $\backslash frac=\backslash frac\{BD\}\{DC\}.$ Tương tự, $\backslash frac=\backslash frac\{BD\}\{DC\}.$

Ta suy ra $\backslash frac\{BD\}\{DC\}=\; \backslash frac\; =\backslash frac(1).$

Tương tự,$\backslash frac\{CE\}\{EA\}=\backslash frac(2),$ $\backslash frac\{AF\}\{FB\}=\backslash frac(3).$

Nhân $(1)$

,$(2)$,$(3)$ vế theo vế,ta được:$\backslash frac\{AF\}\{FB\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{BD\}\{DC\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{CE\}\{EA\}\; =\; 1$. Ta có điều phải chứng minh.

Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm $D$, $E$ và $F$ thỏa mãn đẳng thức. Gọi giao điểm của $AD$ và $BE$ là $O$, và gọi giao điểm của $CO$ và $AB$ là $F\text{'}$. Theo chứng minh trên, $\backslash frac\{AF\text{'}\}\{F\text{'}B\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{BD\}\{DC\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{CE\}\{EA\}\; =\; 1.$

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được: $\backslash frac\{AF\text{'}\}\{F\text{'}B\}=\backslash frac\{AF\}\{FB\}.$

$\backslash Rightarrow\; \backslash frac\{AF\text{'}+F\text{'}B\}\{F\text{'}B\}\; =\; \backslash frac\{AF+FB\}\{FB\}\backslash Leftrightarrow\; \backslash frac\{AB\}\{F\text{'}B\}=\backslash frac\{AB\}\{FB\}.$

Do đó $F\text{'}B=FB$, nên $F$ và $F\text{'}$ trùng nhau. Vì vậy $AD$, $BE$ và $CF$ đồng quy tại $O$, và định lý đã được chứng minh (là đúng theo cả hai chiều).

Tham khảo thêm

Định lý Menelaus Định lý Carnot Định lý Routh Định lý Thales