[[Tập tin:Ptolemy equality.svg|right|thumb|upright=1.25|Định lý Ptoleme thể hiện mối quan hệ của độ dài các cạnh - đường chéo của một tứ giác nội tiếp đường tròn.$\backslash definecolor\{V\}\{RGB\}\{148,0,211\}\; \backslash definecolor\{B\}\{RGB\}\{0,0,255\}\; \backslash definecolor\{R\}\{RGB\}\{204,0,0\}\; \{\backslash color\{V\}AC\}\backslash cdot\{\backslash color\{V\}BD\}=\{\backslash color\{B\}AB\}\backslash cdot\{\backslash color\{B\}CD\}+\{\backslash color\{R\}BC\}\backslash cdot\{\backslash color\{R\}AD\}$]] Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme là một đẳng thức trong hình học miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp. Định lý này mang tên nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaeus).

Nếu A, B, C, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì:

: $|\backslash overline\{AC\}|\backslash cdot\; |\backslash overline\{BD\}|=|\backslash overline\{AB\}|\backslash cdot\; |\backslash overline\{CD\}|+|\backslash overline\{BC\}|\backslash cdot\; |\backslash overline\{AD\}|$

với dấu gạch ngang ký hiệu độ dài của các cạnh.

Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:

:Thuận:Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện. :Đảo:Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.

Chứng minh

Gọi $ABCD$

là tứ giác nội tiếp đường tròn. # Trên cung nhỏ $BC$, ta có các góc nội tiếp $\backslash angle\; BAC$ $=$ $\backslash angle\; BDC$, và trên cung $AB$ , $\backslash angle\; ADB\; =\; \backslash angle\; ACB.$ # Lấy 1 điểm $K$ trên $AC$ sao cho \angle ABK = $\backslash angle\; CBD$; ## Từ \angle ABK $-$ $\backslash angle\; CBK$ = \angle ABC = $\backslash angle\; CBD$ $-$ $\backslash angle\; ABD$ , suy ra $\backslash angle\; CBK$ = $\backslash angle\; ABD$. # Do vậy tam giác $\backslash bigtriangleup\; ABK$ đồng dạng với tam giác $\backslash bigtriangleup\; DBC$, và tương tự có $\backslash bigtriangleup\; ABD$ đồng dạng với $\backslash bigtriangleup\; KBC$. # Suy ra: $\backslash frac\; \{AB\}\{AK\}\; =\; \backslash frac\; \{DB\}\{DC\}$, và $\backslash frac\; \{CK\}\{BC\}\; =\; \backslash frac\; \{DA\}\{DB\}$; ## Từ đó $AK\; \backslash cdot\; BD\; =\; AB\; \backslash cdot\; CD$, và $CK\; \backslash cdot\; BD\; =\; DA\; \backslash cdot\; BC$ ## Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: $AK\; \backslash cdot\; BD\; +\; CK\; \backslash cdot\; BD\; =\; AB\; \backslash cdot\; CD\; +\; AD\; \backslash cdot\; BC$ ## Hay: $(AK+CK)\; \backslash cdot\; BD\; =\; AB\; \backslash cdot\; CD\; +\; AD\; \backslash cdot\; BC$; ## Mà $AK\; +\; CK\; =AC$, nên $AC\; \backslash cdot\; BD\; =\; AB\; \backslash cdot\; CD\; +\; AD\; \backslash cdot\; BC$ (điều phải chứng minh)

Bất đẳng thức Ptoleme

Bất đẳng thức Ptoleme là trường hợp tổng quát của định lý Ptoleme đối với một tứ giác bất kỳ. Nếu AB CD là tứ giác bất kỳ thì

: $$\backslash overline\{AB\}\backslash cdot\; \backslash overline\{CD\}+\backslash overline\{BC\}\backslash cdot\; \backslash overline\{DA\}\; \backslash ge\; \backslash overline\{AC\}\backslash cdot\; \backslash overline\{BD\}$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và trở thành định lý Ptoleme.

Chứng minh

Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.

Dựng điểm $E$ sao cho $\backslash triangle\; BCD$ đồng dạng với $\backslash triangle\; BEA$. Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có :$\backslash frac\; \{BA\}\{EA\}\; =\; \backslash frac\; \{BD\}\{CD\}$ Suy ra :$BA.CD\; =\; EA.BD\; (1)$ Mặt khác, $\backslash triangle\; EBC$ và $\backslash triangle\; ABD$ cũng đồng dạng do có :$\backslash frac\; \{BA\}\{BD\}\; =\; \backslash frac\; \{BE\}\{BC\}$ và $\backslash widehat\; \{EBC\}\; =\; \backslash widehat\; \{ABD\}$ Từ đó :$\backslash frac\; \{EC\}\{BC\}\; =\; \backslash frac\; \{AD\}\{BD\}$ Suy ra :$AD.BC\; =\; EC.BD\; (2)$

Cộng (1) và (2) ta suy ra :$AB\; \backslash cdot\; CD\; +\; AD\; \backslash cdot\; BC\; =\; BD\; \backslash cdot\; (EA+EC)$ Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra $\{AB\}\backslash cdot\; \{CD\}+\{BC\}\backslash cdot\; \{DA\}\; \backslash ge\; \{AC\}\backslash cdot\; \{BD\}$

Mở rộng và suy biến

• Định lý Casey, định lý Fuhrmann và định lý Tweedie là các mở rộng của định lý Ptoleme.
• Định lý Pompeiu là trường hợp đặc biệt của định lý Ptoleme.