✨Định lý Fuhrmann

Trong hình học Euclid, định lý Fuhrmann phát biểu như sau: Cho lục giác lồi $ABCDEF$ nội tiếp. Khi đó:$AD.BE.CF\; =AB.CD.EF+AF.BC.DE+AB.DE.CF+BC.EF.AD+CD.AF.BE$

Chứng minh

Định lý Fuhrmann được chứng minh bằng cách sử dụng định lý Ptoleme cho các tứ giác ABDE, BCDF, ADEF, ABEF

Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với $CF$, chúng ta có: $AD.BE.CF\; =\; AB.DE.CF+AE.BD.CF.$

Tiếp theo chúng ta thay thế BD.CF bởi $BC.DF+BF.CD$ trong hệ số thứ hai ở vế phải ta có: $AD.BE.CF\; =\; AB.DE.CF+AE.BC.DF+AE.BF.CD.$

Sử dụng phương trình thứ ba và bốn ta thay thế $AE.DF$ bởi $AD.EF+AF.DE$, và $AE.BF$ bởi $AB.EF+AF.BE$. Định lý được chứng minh.