✨Định lý Finsler–Hadwiger

thumb|upright=1.25|Hình vuông EFGH được tạo bởi hình vuông ABCD và AB'C'D' Định lý Finsler-Hadwiger là một định lý hình học phẳng Euclid được phát hiện bởi hai nhà toán học người Đức Paul Finsler và Hugo Hadwiger. Định lý lần đầu tiên được nhắc đến trong cuốn tài liệu của cả hai người vào năm 1937, cùng với bất đẳng thức cùng tên về tam giác. Định lý Finsler-Hadwiger được cho là có mối liên hệ với định lý Napoleon và là tiền đề của định lý Van Aubel.

Nội dung

Cho hai hình vuông $ABCD$ (có tâm $H$) và $AB\text{'}C\text{'}D\text{'}$ (có tâm $F$) (đỉnh $A$ chung). Gọi $E$ và $G$ là trung điểm $BD\text{'}$ và $B\text{'}D$. Khi đó tứ giác $EFGH$ là hình vuông (hình vuông Finsler-Hadwiger).

Chứng minh

Từ giả thiết ta có F là trung điểm của B'D' và AC', H là trung điểm AC và BD. Do đó FG, EF và EH lần lượt là đường trung bình tam giác $BB\text{'}D\text{'}$, $B\text{'}D\text{'}D$ và $BDB\text{'}$. Suy ra FG và EH cùng song song và bằng một nửa độ dài đoạn B'B, cũng như EF song song và bằng một nửa D'D. Ta có $EFGH$ là hình bình hành.

Hai tam giác $BAB\text{'}$ và $DAD\text{'}$ bằng nhau $(c.g.c)$ nên D'D = B'B, do đó EF = EH hay $EFGH$ là hình thoi.

Dùng cộng góc ta suy ra D'D vuông góc với B'B, hay EF vuông góc EH. Vậy $EFGH$ là hình vuông.

Một cách chứng minh khác của định lý là dùng phương pháp hệ tọa độ.

Ứng dụng và mở rộng

Định lý này được ứng dụng trong nhiều bài toán hình học phẳng. Ngoài định lý Van Aubel, ta có các biến thể như sau:

• Cho hai hình chữ nhật $ABCD$ (có tâm $H$) và $AB\text{'}C\text{'}D\text{'}$ (có tâm $F$) (đỉnh $A$ chung) sao cho $\backslash frac\{AB\}\{BC\}=\backslash frac\{AB\text{'}\}\{B\text{'}C\text{'}\}$. Gọi $E$ và $G$ là trung điểm $BD\text{'}$ và $B\text{'}D$. Khi đó tứ giác $EFGH$ là hình chữ nhật.
• Cho hai tam giác đều $ABC$ (có tâm $H$) và $AB\text{'}C\text{'}$ (có tâm $F$) (đỉnh $A$ chung). Gọi $E$ và $G$ là trung điểm $BC\text{'}$ và $B\text{'}C$. Khi đó $EG$ vuông góc với $FH$.