✨Định lý con bướm

Minh họa định lý con bướm.

Định lý con bướm là một định lý trong hình học Euclid, có thể được phát biểu như sau:

Cho dây cung PQ của một đường tròn và trung điểm M của nó. Vẽ hai dây cung AB và CD khác của đường tròn đi qua M. Gọi giao điểm của AD và BC với PQ tương ứng là X và Y. Khi đó M cũng là trung điểm của XY.

Chứng minh

Gọi $X\text{'}$ và $X\_$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của X trên các đoạn thẳng AM và DM. Tương tự, gọi $Y\text{'}$ và $Y\_$ lần lượt là hình chiếu của Y trên đoạn thẳng BM và CM. Chứng minh của định lý con bướm. Do : $\backslash triangle\; MXX\text{'}\; \backslash sim\; \backslash triangle\; MYY\text{'}$

:: $\{MX\; \backslash over\; MY\}\; =\; \{XX\text{'}\; \backslash over\; YY\text{'}\}$

: $\backslash triangle\; MXX$ \sim \triangle MYY

:: $\{MX\; \backslash over\; MY\}\; =\; \{XX$ \over YY}

: $\backslash triangle\; AXX\text{'}\; \backslash sim\; \backslash triangle\; CYY\text{'}\text{'}$

:: $\{XX\text{'}\; \backslash over\; YY\text{'}\text{'}\}\; =\; \{AX\; \backslash over\; CY\}$

:$\backslash triangle\; DXX\text{'}\text{'}\; \backslash sim\; \backslash triangle\; BYY\text{'}$

:: $\{XX$ \over YY} = {DX \over BY}

thumb|Mở rộng của Sharygin

Từ các đẳng thức trên, ta có

: $\backslash left(\{MX\; \backslash over\; MY\}\backslash right)^2\; =\; \{XX\text{'}\; \backslash over\; YY\text{'}\; \}.\{XX$ \over YY}= {AX.DX \over CY.BY}

: $=\; \{PX.QX\; \backslash over\; PY.QY\}$ (xem Phương tích)

: $=\; \{(PM-XM).(MQ+XM)\; \backslash over\; (PM+MY).(QM-MY)\}=\{PM^2-MX^2\; \backslash over\; PM^2-MY^2\}$ (do PM = MQ)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: : $\{MX^2\; \backslash over\; MY^2\}\; =\; \{PM^2\; -\; MX^2\; \backslash over\; PM^2\; -\; MY^2\}=\{PM^2\; \backslash over\; PM^2\}=1$

Từ đó suy ra MX = MY, hay M là trung điểm của XY.

Mở rộng

Mở rộng định lý con bướm của Sharygin. Trên dây cung AB của đường tròn lấy điểm M, N sao cho AM=BN, đường thẳng qua M cắt đường tròn tại hai điểm P, Q, đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm R, S. PR, SQ cắt AB tại hai điểm K, L khi đó MK=LN.