✨Định lý Wilson

Trong lý thuyết số, định lý Wilson phát biểu rằng: cho p là số tự nhiên lớn hơn 1, khi đó p là số nguyên tố, khi và chỉ khi (p-1)!+1 chia hết cho p.

Mở rộng với số nguyên dương n lẻ, n>1 và $S=\{x\backslash in\backslash mathbb\{Z\}|\; 1\backslash leq\; x\backslash leq\; n,UCLN(x,n)=UCLN(x+1,n)=1\}$ thì $\backslash prod\_\{x\backslash in\; S\}x\backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\{n\})$

Lịch sử

Định lý này được khám phá lần đầu bởi Bhaskara I (600 - 680), sau được giải thích bởi Ibn al-Haytham (thường được gọi là Alhazen Thời Trung cổ) vào khoảng năm 1000, nhưng được đặt tên theo John Wilson (1741 - 1793), người đã phát biểu nó vào thế kỷ XVIII. Lagrange là người đầu tiên đưa ra chứng minh cho định lý này năm 1773. Có bằng chứng cho thấy Leibniz cũng đã biết về định lý này, nhưng ông đã không công bố.

Chứng minh

"Nếu (p-1)!+1 chia hết cho p thì p là số nguyên tố" là điều hiển nhiên. Vì khi đó p sẽ nguyên tố cùng nhau với các số từ 1 đến p-1, do đó nó không có ước nào khác ngoài 1 và chính nó.

Chiều ngược lại ta phải chứng minh "nếu p là số nguyên tố thì (p-1)!+1 chia hết cho p".

Xét đa thức: :$g(x)\; =\; (x-1)\backslash cdot(x-2)...\backslash cdot(x-(p-1))$ và: :$f(x)\; =\; g(x)\; -\; (x^\{p-1\}-1)$.

Rõ ràng, phương trình $g(x)\backslash equiv\; 0\; \backslash pmod\; \{p\}$ có p-1 nghiệm là 1,2,...,p-1.

Theo định lý Fermat nhỏ, $x^\{p-1\}-1\backslash equiv\; 0\backslash pmod\{p\}$ có (p-1) nghiệm là 1,2,...,p-1.

Vậy, phương trình $f(x)\backslash equiv\; 0\; \backslash pmod\{p\}$ cũng có p-1 nghiệm là 1,2,...,p-1.

Mà đa thức f(x) có bậc nhỏ hơn p-1.

Do đó, theo định lý Lagrange, các hệ số của f(x) đồng dư với 0 theo module p.

Hệ số tự do của f(x) bằng (p-1)!+1. Suy ra điều phải chứng minh.

Mở rộng

Tổng quát hóa

Định lý trên có thể tổng quát hóa như sau: : Nếu có k số nguyên tố cùng nhau với n và nhỏ hơn n thì: :$r\_1\; \backslash cdot\; r$2 \cdot \ldots \cdot r{k-1} \cdot r_k \equiv (-1)^{k-1} \pmod{n}.

Mở rộng của Gauss

Mở rộng của Carl Friedrich Gauss: : Trong đó p là số nguyên tố lẻ bất kì, $\backslash alpha$ là số nguyên dương bất kì.