thumb|220x124px | right | Đồ thị hàm gamma và các cách diễn tả mở rộng khác của giai thừa Trong toán học, **giai thừa** là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương, _"n giai thừa"_, ký hiệu _$n!$_ là tích của _n_ số tự nhiên dương đầu tiên. $n!\; =\; 1\; \backslash times\; 2\; \backslash times\; 3\; \backslash times\; \backslash dots\; \backslash times\; n$

Ví dụ: $7!\; =\; 1\; \backslash times\; 2\; \backslash times\; 3\; \backslash times\; 4\; \backslash times\; 5\; \backslash times\; 6\; \backslash times\; 7\; =\; 5040$

$5!\; =\; 1\; \backslash times\; 2\; \backslash times\; 3\; \backslash times\; 4\; \backslash times\; 5\; =\; 120$

Đặc biệt, với $n=0$, người ta quy ước $0!\; =\; 1$, đúng theo quy ước của một tích rỗng. Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808. Giai thừa được phổ biến trong nhiều mảng khác nhau của toán học, chủ yếu là mảng tổ hợp, vì đây là số cách khác nhau để xáo trộn một nhóm $n$ đối tượng nào đó.

Định nghĩa đệ quy

Ta có thể định nghĩa đệ quy (quy nạp) n! như sau

$0!\; =\; 1!\; =\; 1$

$(n+1)!\; =\; n!\; \backslash times\; (n+1)$ với $n>0$

Một số tính chất và công thức của giai thừa

Giai thừa có tốc độ tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng chậm hơn lũy thừa của 10 ($10^n$) bậc n và hàm mũ hai tầng ($a^\{b^c\}$) có cùng cơ số và mũ.

$n!\; =\; n(n-1)!\; .$

$\backslash log${a}{(n!)} = \sum{x=1}^n \log_{a}(x).

$\backslash int$1^n \log x \, dx \leq \sum{x=1}^n \log x \leq \int_0^n \log (x+1) \, dx

$n\backslash log\backslash left(\backslash frac\{n\}\{e\}\backslash right)+1\; \backslash leq\; \backslash log\; n!\; \backslash leq\; (n+1)\backslash log\backslash left(\backslash frac\{n+1\}\{e\}\; \backslash right)\; +\; 1.$

$e\backslash left(\backslash frac\; ne\backslash right)^n\; \backslash leq\; n!\; \backslash leq\; e\backslash left(\backslash frac\{n+1\}e\backslash right)^\{n+1\}.$

$n!\backslash approx\; \backslash sqrt\{2\backslash pi\; n\}\backslash left(\backslash frac\{n\}\{e\}\backslash right)^n.$ (Công thức Stirling).

$n!\; >\; \backslash sqrt\{2\backslash pi\; n\}\backslash left(\backslash frac\{n\}\{e\}\backslash right)^n.$

$n!\backslash approx\; \backslash sqrt\{2\backslash pi\; \backslash left(n+\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{3\}$

\left(\frac{n+\frac{1}{3{e}\right)^{\left(n+\frac{1}{3}\right)} \qquad \left(\forall n \in \R,n \geq -\frac{1}{3}\right) Đây là dạng nâng cao của công thức Stirling, cũng là ước lượng với độ chính xác cao nhất (sai số lớn nhất , khi n càng lớn thì sai số càng nhỏ).

$\backslash ln(n!)\; \backslash approx\; n\backslash ln(n)\; -\; n\; +\; \backslash frac\; \{\backslash ln(n(1+4n(1+2n)))\}\; \{6\}\; +\; \backslash frac\; \{\backslash ln(\backslash pi)\}\; \{2\}.$

Đây là công thức ước lượng của Srinivasa Ramanujan.

Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa

• Công thức tính số tổ hợp:

:

• Công thức tính số chỉnh hợp:

:

Mở rộng cho tập số rộng hơn

Theo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0! = 1, còn các giai thừa của số âm không tồn tại. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã giải quyết xong.

Một vấn đề được đặt ra: phải mở rộng giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào?

Công thức Gamma

Là công thức mang tên một chữ cái Hy Lạp do nhà toán học Thụy Sĩ, Leonhard Euler đề ra. Hàm số này có dạng sau: :$\backslash Gamma(z)\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; t^\{z-1\}\; e^\{-t\}\backslash ,\{\backslash rm\; d\}t$

Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có được: :$\backslash Gamma(z+1)=z\; \backslash ,\; \backslash Gamma(z)\backslash ,.$

Khi đó ta có: :$z!\; =\; \backslash Gamma(z\; +\; 1).\backslash ,$

Sau này Euler và Weierstrass đã biến đổi lại thành: :$\backslash Gamma(z)\backslash \; =\; \backslash lim${n \to \infty}\frac {n^zn!}{\prod{k = 0}^n (n + k)}

Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng minh, đó là: :$\backslash Gamma(z)\backslash \; \backslash Gamma(1\; -\; z)\backslash \; =\; \backslash frac\; \{\backslash pi\}\{\backslash sin\; (\{\backslash pi\}z)\}$

Thay z = 1/2 ta thu được: :$\backslash Gamma\; \backslash left(\backslash frac\; \{1\}\{2\}\; \backslash right)\backslash \; =\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}$

Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là: :$\backslash Gamma(z)\; \backslash ;\; \backslash Gamma\backslash left(z\; +\; \backslash frac\{1\}\{m\}\backslash right)\; \backslash ;\; \backslash Gamma\backslash left(z\; +\; \backslash frac\{2\}\{m\}\backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash Gamma\backslash left(z\; +\; \backslash frac\{m-1\}\{m\}\backslash right)\; =\; (2\; \backslash pi)^\{(m-1)/2\}\; \backslash ;\; m^\{1/2\; -\; mz\}\; \backslash ;\; \backslash Gamma(mz)\backslash ,.$

Hai công thức dưới đây là do Gauss chứng minh: :$\backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}+n\backslash right)\; =\; \{(2n)!\; \backslash over\; 4^n\; n!\}\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; =\; \backslash frac\{(2n-1)!!\}\{2^n\}\backslash ,\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; \backslash cdot\; \backslash left[\; \{n-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash choose\; n\}\; n!\; \backslash right]$

:$\backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}-n\backslash right)\; =\; \{(-4)^n\; n!\; \backslash over\; (2n)!\}\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; =\; \backslash frac\{(-2)^n\}\{(2n-1)!!\}\backslash ,\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; /\; \backslash left[\; \{-\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash choose\; n\}\; n!\; \backslash right]$

Giai thừa với số thực

Giai thừa với số thực. Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, các nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau: :$z!\; =\; \backslash Pi(z)\; =\; \backslash Gamma(z+1)\; \backslash ,.$

Như vậy: :$(-0,5)!\; =\; \backslash Pi\; \backslash left(-\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; \backslash Gamma\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash ,.$

:$(n\; -\; 0,5)!\; =\; \backslash Pi\; \backslash left(n\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; \backslash Gamma\; \backslash left(n\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash ,.$

:$(-n\; -\; 0,5)!\; =\; \backslash Pi\; \backslash left(-n\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; \backslash Gamma\; \backslash left(-n\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash ,.$

Ví dụ: $\backslash Gamma\backslash left\; (4.5\; \backslash right)\; =\; 3.5!\; =\; \backslash Pi\backslash left\; (3.5\backslash right)\; =\; \{1\backslash over\; 2\}\backslash cdot\{3\backslash over\; 2\}\backslash cdot\{5\backslash over\; 2\}\backslash cdot\{7\backslash over\; 2\}\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; =\; \{8!\; \backslash over\; 4^4\; 4!\}\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; =\; \{105\; \backslash over\; 16\}\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; \backslash approx\; 11.63.$ $\backslash Gamma\backslash left\; (-2.5\; \backslash right)\; =\; (-3.5)!\; =\; \backslash Pi\backslash left\; (-3.5\backslash right)\; =\; \{2\backslash over\; -1\}\backslash cdot\{2\backslash over\; -3\}\backslash cdot\{2\backslash over\; -5\}\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; =\; \{(-4)^3\; 3!\; \backslash over\; 6!\}\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; =\; -\{8\; \backslash over\; 15\}\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; \backslash approx\; -0.9453.$

Giai thừa với số phức

Đồ thị đường đồng mức của hàm giai thừa biến phức. Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước lượng Laurent: :$\backslash Gamma(z)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\backslash frac\{\backslash Gamma^\{(k)\}(1)\}\{k!\}z^\{k-1\}\backslash ,,$

với |z| < 1. Khai triển ra ta có bảng các hệ số như sau:

$n$	$g\_n$	Xấp xỉ
0	$1$	$1$
1	$-\backslash gamma$	$-\; 0.5772156649$
2	$\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{12\}+\backslash frac\{\backslash gamma^2\}\{2\}$	$0.9890559955$
3	$-\backslash frac\{\backslash zeta(3)\}\{3\}-\backslash frac\{\backslash pi^2\backslash gamma\}\{12\}-\backslash frac\{\backslash gamma^3\}\{6\}$	$-0.9074790760$

Ở đây $\backslash gamma$ là hằng số Euler - Mascheroni còn $\backslash zeta$ là hàm zeta Riemann.

Hình: Complex gamma function abs.png|Đồ thị hàm Z = |z!|. Hình: Complex gamma function Re.png|Đồ thị hàm Z = Re(z!). Hình: Complex gamma function Im.png|Đồ thị hàm Z = Im(z!). Ngoài ra, còn có thể sử dựng ước lượng gần đúng theo dạng nâng cao của công thức Stirling với một số bổ sung kèm với đó.

Cụ thể:

Các khái niệm tương tự

Giai thừa nguyên tố (primorial)

Bài chi tiết: Giai thừa nguyên tố

Giai thừa nguyên tố (ký hiệu n#) với n>1 là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2 · 3 · 5 · 7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của prime và factorial. Các giai thừa nguyên tố đầu tiên là: : 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS).

Giai thừa kép

Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:

Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2.

:

Ví dụ: :8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 :9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Dãy các giai thừa kép đầu tiên là:

Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau:

:$(n-2)!!=\backslash frac\{n!!\}\{n\}$

Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n= -1, -3, -5, -7,...là : 1, -1, 1/3, -1/15...

Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác định.

Một vài đẳng thức với giai thừa kép: :$n!=n!!(n-1)!!\; \backslash ,$ :$(2n)!!=2^nn!\; \backslash ,$ :$(2n+1)!!=\{(2n+1)!\backslash over(2n)!!\}=\{(2n+1)!\backslash over2^nn!\}$

Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!.

Giai thừa bội

Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n!!!),bội bốn (n!!!!)....

Tổng quát, giai thừa bội k ký hiệu là n!^(k), được định nghĩa đệ quy như sau

:

Siêu giai thừa (superfactorial)

Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là

:$\backslash mathrm\{sf\}(4)=1!\; \backslash times\; 2!\; \backslash times\; 3!\; \backslash times\; 4!=288\; \backslash ,$

Tổng quát

:$\backslash mathrm\{sf\}(n)\; =\backslash prod${k=1}^n k! =\prod{k=1}^n k^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.

Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là

:1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200,...

Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0):

:1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000,...

và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m − 1), nghĩa là

:$\backslash mathrm\{mf\}(n,m)\; =\; \backslash mathrm\{mf\}(n-1,m)\backslash mathrm\{mf\}(n,m-1)\; =\backslash prod\_\{k=1\}^n\; k^\{n-k+m-1\; \backslash choose\; n-k\}$

trong đó $\backslash mathrm\{mf\}(n,0)=n$ for $n>0$ and $\backslash mathrm\{mf\}(0,m)=1$.

Giai thừa trên

:$x^\{\backslash overline\{n=x(x+1)(x+2)\backslash cdots(x+n-1)=\backslash frac\{(x+n-1)!\}\{(x-1)!\}$