✨Giai thừa nguyên tố

Với n ≥ 2, giai thừa nguyên tố (tiếng Anh: primorial) (ký hiệu n#) là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2·3·5·7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của prime và factorial.

Dãy các giai thừa nguyên tố đầu tiên là:

:2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS).

Định nghĩa cho các số nguyên tố

p_n# là một hàm của n, các điểm đã logarit hóa. Đối với số nguyên tố tứ , primorial được định nghĩa là tích của số nguyên tố đầu tiên:

:$p$n# = \prod{k=1}^n p_k,

trong đó là số nguyên tố thứ . Để lấy ví dụ, là tích của 5 số nguyên tố đầu tiên:

:$p\_5\#\; =\; 2\; \backslash times\; 3\; \backslash times\; 5\; \backslash times\; 7\; \backslash times\; 11\; =\; 2310.$

5 primorial đầu tiên là:

:2, 6, 30, 210, 2310 .

Dãy cũng bao gồm là tích rỗng. Theo tiệm cận thì, các primorial lớn ngang với:

:$p\_n\#\; =\; e^\{(1\; +\; o(1))\; n\; \backslash log\; n\},$

trong đó là ký hiệu o nhỏ.

:$n\#\; =\; \backslash prod${p \le n\atop p \text{ prime p = \prod{i=1}^{\pi(n)} pi = p{\pi(n)}# ,

trong đó là hàm đếm số nguyên tố , hàm đếm các số nguyên tố ≤ . Định nghĩa này tương đương với:

:

Để lấy ví dụ, 12# là tích của các số nguyên tố p ≤ 12:

:$12\#\; =\; 2\; \backslash times\; 3\; \backslash times\; 5\; \backslash times\; 7\; \backslash times\; 11=\; 2310.$

Bởi , ta cũng có thể tính như sau:

:$12\#\; =\; p\_\{\backslash pi(12)\}\#\; =\; p\_5\#\; =\; 2310.$

12 giá trị đầu tiên của là :

:1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Tính chất và ứng dụng

Ý tưởng lấy tích của tất cả các số nguyên tố nằm trong chứng minh số các số nguyên tố là vô hạn; nó được sử dụng để mâu thuẫn khi giả thiết rằng số các số nguyên tố là hữu hạn.

Các Primorial đóng vai trò quan trọng trong việc tìm các số nguyên tố trong cấp số cộng. Chẳng hạn, 2236133941 + 23# là một số nguyên tố, khởi đầu dãy 13 số nguyên tố bằng cách cộng thêm 23#, và kết thúc với 5136341251. Số 23# chính là công bội của các cấp số cộng gồm mười lăm và mười sáu số nguyên tố.

Mọi siêu hợp số có thể viết thành tích của các giai thừa nguyên tố (ví dụ như 360 = 2·6·30).

Bảng các giai thừa nguyên tố