✨Công thức ước lượng giai thừa Ramanujan

Công thức ước lượng giai thừa Ramanujan

Trong toán học, công thức ước lượng giai thừa Ramanujan thường được gọi ngắn gọn là xấp xỉ Ramanujan là công thức biểu thị gần đúng cho tập giai thừa. Giống như công thức Stirling nhưng điểm khác biệt là công thức cho ra kết quả có độ chính xác cao hơn, và công thức được đặt theo tên của nhà toán học người Ấn Độ Srinivasa Ramanujan. Phiên bản của công thức hay tổng của hàm $ln(n)$ thường được ứng dụng hỗ trợ thay thế với độ chính xác cao:

\ln(n!) \approx n\ln(n) - n + \frac {\ln(n(1+4n(1+2n)))} {6} + \frac {\ln(\pi)} {2}.

Công thức được biểu diễn như sau

n! \approx \sqrt \pi \left(\frac {n} {e}\right)^{n} \sqrt[6]

Nơi hai đại lượng được chỉ định là tiệm cận, khá chính xác. Công thức được nêu ra trong một bài thi quốc gia ở Mỹ. Sự cải tiến của công thức được bàn luận trên diễn đàn arXiv. Người ta cũng đưa ra giới hạn hợp lệ cho công thức với tất cả số nguyên dương:

\sqrt \pi \left(\frac {n} {e}\right)^{n} \sqrt[6]  < n! \le \sqrt \pi \left(\frac {n} {e}\right)^{n} \sqrt[6]

Chứng minh

Theo tài liệu arXiv thống kê đối với n là một số thực, được xác định bởi tập $\theta_{n}$ , thì công thức khi đó sẽ là

n! \approx \sqrt \pi \left(\frac {n} {e}\right)^{n} \sqrt[6]  {30

Như vậy tập

\theta_{n}

được xác định như sau:

{1} - \frac {11} {8n} + \frac {79} {112n^2} < \theta_{n} < {1} - \frac {11} {8n} + \frac {79} {112n^2} + \frac {20} {33n^3}

Khi tập xác định thỏa mãn được độ chuẩn xác nếu tập

\theta_{n} = 1

như hằng số được chỉ định trong công thức, từ đó có bảng sau:

$n!$	Giá trị gốc	Giá trị gần đúng của công thức ước lượng giai thừa Ramanujan
0	$1$	$1.00551385831589$ (ở đây $\left (\frac {0} {e} \right)^{0}$ được quy ước là $1$ )
1	$1$	$1.000283346114$
2	$2$	$2.000066137639113675156$
3	$6$	$6.00004829397$
4	$24$	$24.0000676620607$
5	$120$	$120.00014706585663513$
6	$720$	$720.0004424029$
7	$5040$	$5040.001718$

Công thức phần nào đưa ra kết quả lớn hơn so với giá trị gốc nhưng đạt độ chính xác cao nhất khi giá trị của n đạt tới 2 và 3.

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Công thức ước lượng giai thừa Ramanujan

Trong toán học, **công thức ước lượng giai thừa Ramanujan** thường được gọi ngắn gọn là **xấp xỉ Ramanujan** là công thức biểu thị gần đúng cho tập giai thừa. Giống như công thức Stirling

💫 Giai thừa

thumb|220x124px | right | Đồ thị hàm gamma và các cách diễn tả mở rộng khác của giai thừa Trong toán học, **giai thừa** là một toán tử một ngôi trên

💫 Pi

Số **pi** (ký hiệu: ****), còn gọi là **hằng số Archimedes**, là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường

💫 Danh sách chủ đề toán học

Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *

💫 Lịch sử toán học

_Cuốn [[The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing_]] Từ _toán học_ có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể

💫 Phân phối Poisson

Trong lý thuyết xác suất và thống kê, **Phân phối Poisson** (Tiếng Anh: _Poisson distribution_) là một phân phối xác suất rời rạc cho biết xác suất xảy ra một số lượng sự kiện trong

💫 Đại học Trinity, Cambridge

**Đại học Trinity** là một trường đại học cấu thành từ Đại học Cambridge. Vua Henry VIII thành lập trường vào năm 1546, Trinity là một trong những trường đại học lớn nhất Cambridge, với