✨1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

thumb|Tính chất tiệm cận của việc làm trơn. Tung độ gốc của đường thẳng là −. |alt=Một biểu đồ cho thấy đường thẳng cắt trục tung

Trong toán học, , còn được viết là :$\backslash sum${n=1}^{\infin} n^0 \ hay $\backslash \; \backslash sum${n=1}^{\infin} 1 là một chuỗi phân kì, nghĩa là dãy các tổng riêng không hội tụ về một giới hạn trong tập số thực. Dãy có thể được coi là một chuỗi hình học với công bội bằng . Không như các chuỗi hình học với công bội là số hữu tỉ, (ngoại trừ −1), nó không hội tụ trong tập số thực lẫn trong tập số -adic với số nguyên tố . Trong trường hợp của trục số thực mở rộng : $\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infin\}\; 1\; =\; +\backslash infty\; \backslash ,.$

Trong khi tổng xuất hiện trong vật lý, nó đôi khi được coi là sự chính quy hóa hàm zeta, bởi giá trị của hàm zeta Riemann tại :$\backslash zeta(s)=\backslash sum${n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1-2^{1-s\sum{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1{n^s}\,,

Tuy nhiên hai biểu thức trên không có nghĩa tại không, ta có thể sử dụng thác triển giải tích của hàm zeta Riemann :$\backslash zeta(s)\; =\; 2^s\backslash pi^\{s-1\}\backslash \; \backslash sin\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\; s\}\{2\}\backslash right)\backslash \; \backslash Gamma(1-s)\backslash \; \backslash zeta(1-s)$

Sử dụng công thức này cùng với ta được :{s \rightarrow 0} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \zeta(1-s)\ &= \frac{1}{\pi} \lim{s \rightarrow 0} \left(\frac{\pi s}{2} - \frac{\pi^3 s^3}{48} +... \right) \left(-\frac{1}{s} +... \right)\ &= -\frac{1}{2}\end{align}

trong đó khai triển chuỗi lũy thừa của gần có nghĩa vì có một cực đơn giản với thặng dư một ở đó. Theo nghĩa này .

Emilio Elizalde từng trình bày một giai thoại về thái độ với chuỗi này: