Trong hình học vi phân, một đa tạp Riemann hoặc không gian Riemann là một đa tạp thực trơn M được trang bị với một tích vô hướng g_p xác định dương trên không gian tiếp tuyến T_pM tại mỗi điểm p. Theo qui ước, g là một tích vô hướng trơn. Tức là với mọi bản đồ trơn (U, x) trên M, n² hàm

: $g\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^i\},\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^j\}\backslash right):U\backslash to\backslash mathbb\{R\}$

là các hàm trơn. Tương tự, ta có thể xét các mêtric Riemann Lipschitz hoặc các mêtric Riemann đo được, vân vân.

Họ các tích vô hướng g_p nói trên được gọi là mêtríc Riemann (hay tenxơ mêtric Riemann). Những thuật ngữ này được đặt theo tên nhà toán học người Đức Bernhard Riemann. Ngành nghiên cứu về các đa tạp Riemann được gọi là hình học Riemann.

Một một (tenxơ) mêtríc Riemann cho phép định nghĩa một số khái niệm hình học trên các đa tạp Riemann, chẳng hạn như góc tại một giao điểm, chiều dài đường cong, diện tích bề mặt và các đại lương chiều cao tương ứng (thể tích, v.v.), độ cong ngoại biên của các đa tạp con, và độ cong nội tại của chính đa tạp lớn.

Định nghĩa

Một đa tạp Riemann $M$ là một đa tạp trơn với một 2-ten-xơ $g\backslash in\; T^$M\otimes T^M sao cho

$g$ đối xứng, tức là $\backslash forall\; X,Y\backslash in\; T\_pM:\; g(p)(X,Y)=g(p)(Y,X)$

$g$ xác định dương, tức là $\backslash forall\; X\backslash in\; T\_pM-\{0\}:g(p)(X,X)>0$.

Ví dụ

• Đường tròn $\backslash mathbb\{S\}^1$ cùng với ten-xơ $d\backslash theta\backslash otimes\; d\backslash theta$ (thường được ký hiệu là $d\backslash theta^2$) là một đa tạp Riemann. Nó là đường tròn có bán kính bằng $1$.

Độ dài cung

Với mọi cung (khả vi) $\backslash gamma:[a,b]\backslash to\; M$, ta định nghĩa độ dài của cung $\backslash gamma$ là giá trị $L(\backslash gamma)=\backslash int\_a^b\; g(\backslash dot\{\backslash gamma\}(t),\backslash dot\{\backslash gamma\}(t))dt$. Giá trị này độc lập với cách ta tham số hóa $\backslash gamma$.

Khoảng cách

Nếu $M$ là một đa tạp Riemann liên thông (và do đó liên thông cung do $M$ là không gian Euclid địa phương), ta có thể định nghĩa khoảng cách Riemann giữa hai điểm $p,q\backslash in\; M$ như là infimum của các độ dài cung nối $p$ và $q$. Không gian metric cảm sinh có chung tô pô với $M$.

Liên thông Levi-Civita

Ứng với mỗi đa tạp Riemann $(M,g)$, tồn tại một liên thông tuyến tính $\backslash nabla\_g$ trên $TM$ được gọi là liên thông Levi-Civita.