✨Đẳng cấu thăng giáng (hình học Riemann)

Trong hình học vi phân, đẳng cấu thăng giáng là một đẳng cấu giữa phân thớ tiếp xúc $\backslash mathrm\{T\}M$ và phân thớ đối tiếp xúc $\backslash mathrm\{T\}^*\; M$ của một đa tạp Riemann, cảm sinh bởi tenxơ metric.

Định nghĩa

Xét một đa tạp Riemann .

Cho trước một trường vectơ $X\backslash in\; TM$, ta xác định giáng của nó, là một nhát cắt $X^\backslash flat$ của phần thớ đối tiếp xúc $T^*M$(hay một trường đối véc-tơ), bởi

:

: $X^\backslash flat\_p\; (Y\_p)\; =\; \backslash langle\; X\_p,\; Y\_p\; \backslash rangle$

với mọi $p\backslash in\; M$ và mọi trường véc-tơ . Đẳng cấu này gán cho phân thớ $T^*M$ một tích vô hướng.

Tương tự, với một trường đối véc-tơ , ta định nghĩa thăng của nó, $\backslash omega^\backslash sharp$, là trường véc-tơ duy nhất thỏa mãn

:

: $\backslash bigl\; \backslash langle\; \backslash omega^\backslash sharp\_p,\; Y\_p\; \backslash bigr\; \backslash rangle\; =\; \backslash omega\_p(Y\_p),$

với mọi $p\backslash in\; M$ và mọi trường véc-tơ .

Ta có hai đẳng cấu là nghịch đảo của nhau

: $\backslash flat:\{\backslash rm\; T\}\; M\; \backslash to\; \{\backslash rm\; T\}^$ M, \qquad \sharp:{\rm T}^ M \to {\rm T} M.

Nâng hạ chỉ số

Sử dụng các ký hiệu nâng hạ chỉ số Einstein, với một trường mục tiêu địa phương $e\_1,\backslash dots,\; e\_n$ (và trường đối mục tiêu tương ứng $e^1,\backslash dots,e^n$ thỏa mãn $e^i(e\_j)=\backslash delta^i\_j$), ta có:

: $X^\backslash flat:=\; g\_\{ij\}\; X^i\; \backslash ,\; \backslash mathbf\{e\}^j=X\_j\; \backslash ,\; \backslash mathbf\{e\}^j.$ : $\backslash omega^\backslash sharp:=\; g^\{ij\}\; \backslash omega\_i\; \backslash mathbf\{e\}\_j\; =\; \backslash omega^j\; \backslash mathbf\{e\}\_j,$