✨Các bài toán của Hilbert

Các bài toán của Hilbert

Các bài toán của Hilbert là một danh sách gồm 23 vấn đề (bài toán) trong toán học được nhà toán học Đức David Hilbert đưa ra tại Hội nghị toán học quốc tế tại Paris năm 1900. Các bài toán này chưa có lời giải tại thời điểm đó. Một số bài toán về sau có ảnh hưởng lớn tới nền toán học thế kỉ 20. Hilbert đưa ra 10 bài toán (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 và 22) tại hội nghị trong buổi trình bày ngày 8 tháng 8 tại Đại học Sorbonne. Danh sách đầy đủ được công bố sau đó, đáng chú ý nhất là bản dịch tiếng Anh năm 1902 của Mary Frances Winston Newson trên Bản tin của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ .

= Bản chất và ảnh hưởng của các bài toán = Các bài toán của Hilbert trải khắp trên nhiều chủ đề và độ chính xác. Một số trong số chúng là bài toán thứ 3 - bài toán đầu tiên được giải, hoặc bài toán thứ 8 (Giả thuyết Riemann) vẫn chưa được giải quyết, và chúng đã được trình bày đủ chính xác để có thể đưa ra câu trả lời khẳng định hay phủ định một cách rõ ràng. Đối với các bài toán khác, chẳng hạn như bài toán thứ 5, các chuyên gia đã thống nhất về một cách diễn giải duy nhất và một giải pháp cho cách diễn giải được chấp nhận đã được đưa ra, nhưng bên cạnh đó vẫn tồn tại những vấn đề liên quan chặt chẽ chưa được giải quyết. Một số phát biểu của Hilbert không đủ rõ ràng để xác định một vấn đề cụ thể, nhưng đủ gợi ý để các vấn đề nhất định của bản chất đương đại có thể áp dụng được; Ví dụ: Hầu hết các nhà lý thuyết số hiện đại có lẽ sẽ xem bài toán thứ 9 là đề cập đến tương ứng Langlands phỏng đoán về các biểu diễn của nhóm Galois tuyệt đối của một trường số. Vẫn còn những bài toán khác, chẳng hạn như bài toán 11 và 16, liên quan đến những gì hiện đang phát triển mạnh mẽ của các phân ngành toán học, như lý thuyết về phương trình bậc hai và hình học đại số thực.

Có hai bài toán không những không được giải quyết mà trên thực tế có thể không giải quyết được bằng các tiêu chuẩn hiện đại. Bài toán thứ 6 liên quan đến tiên đề hóa vật lý, một mục tiêu mà sự phát triển của thế kỷ 20 dường như vừa xa vời vừa kém quan trọng hơn so với thời của Hilbert. Ngoài ra, bài toán thứ 4 liên quan đến nền tảng của hình học, theo cách mà hiện nay thường được đánh giá là quá mơ hồ để có thể đưa ra một câu trả lời chắc chắn.

Còn lại, hai mươi mốt vấn đề khác đều nhận được sự quan tâm đáng kể, và cuối thế kỷ XX, công trình nghiên cứu về những vấn đề này vẫn được coi là có tầm quan trọng lớn nhất. Paul Cohen đã nhận được Huy chương Fields năm 1966 cho công trình của ông về bài toán đầu tiên, và lời giải phủ định cho bài toán thứ mười trong năm 1970 của Yuri Matiyasevich (hoàn thành công việc của Julia Robinson, Hilary Putnam và Martin Davis) đã tạo ra sự hoan nghênh tương tự. Các khía cạnh của những vấn đề này vẫn còn được quan tâm nhiều cho đến ngày nay.

= Tính bất toàn của một số bài toán = Theo Gottlob Frege và Bertrand Russell, Hilbert đã tìm cách xác định toán học một cách hợp lý bằng cách sử dụng phương pháp của các hệ thống hình thức, tức là các chứng minh thuần túy từ một tập hợp các tiên đề đã được thống nhất.  Một trong những mục tiêu chính của chương trình của Hilbert là một bằng chứng tài tình về tính nhất quán của các tiên đề số học: đó là bài toán thứ hai của ông.

Tuy nhiên, các định lý bất toàn của Gödel mang lại một ý nghĩa chính xác trong đó một chứng minh thuần túy về tính nhất quán của số học như vậy là không thể. Hilbert đã sống 12 năm sau khi Kurt Gödel công bố định lý của mình, nhưng dường như ông không có bất kỳ phản hồi chính thức nào về công trình của Gödel.

Bài toán thứ mười của Hilbert không đặt ra câu hỏi liệu có tồn tại một thuật toán để quyết định khả năng giải của phương trình Diophantine hay không, mà là yêu cầu xây dựng một thuật toán như vậy: "để thiết lập một quy trình mà theo đó nó có thể được xác định trong một số lượng hữu hạn các phép toán cho dù phương trình có thể giải được trong số nguyên hữu tỉ. " Rằng vấn đề này đã được giải quyết bằng cách chỉ ra rằng không thể có bất kỳ thuật toán nào như vậy mâu thuẫn với triết học toán học của Hilbert.

Khi thảo luận về ý kiến ​​của mình rằng mọi vấn đề toán học nên có một lời giải, Hilbert cho phép khả năng rằng giải pháp đó có thể là một bằng chứng rằng bài toán ban đầu là không thể.  Ông nói rằng vấn đề quan trọng là phải biết cách này hay cách khác giải pháp là gì, và ông tin rằng chúng ta luôn có thể biết điều này, rằng trong toán học không có bất kỳ "cái dốt" nào (tuyên bố mà sự thật không bao giờ có thể biết được) .  Có vẻ như không rõ liệu ông có coi lời giải của bài toán thứ mười là một trường hợp của sự vô hiệu hóa hay không: cái được chứng minh là không tồn tại không phải là nghiệm nguyên, mà là (theo một nghĩa nào đó) khả năng phân biệt theo một cách cụ thể cho dù một giải pháp tồn tại.

Mặt khác, tình trạng của bài toán thứ nhất và thứ hai thậm chí còn phức tạp hơn: không có bất kỳ sự đồng thuận toán học rõ ràng nào về việc liệu kết quả của Gödel (trong trường hợp của bài toán thứ hai), hay Gödel và Cohen (trong trường hợp của vấn đề thứ nhất) có đưa ra các giải pháp phủ định dứt điểm hay không, vì những giải pháp này áp dụng cho một dạng thức nhất định của vấn đề, đây không nhất thiết là giải pháp duy nhất có thể xảy ra.

= Bài toán thứ 24 = Bài chi tiết: Bài toán thứ 24 của Hilbert

Hilbert ban đầu đưa 24 vấn đề vào danh sách của mình, nhưng ông quyết định không đưa một trong số chúng vào danh sách đã xuất bản. "Bài toán thứ 24" (trong lý thuyết chứng minh, dựa trên tiêu chí về tính đơn giản và các phương pháp chung) đã được nhà sử học người Đức Rüdiger Thiele khám phá lại trong bản ghi chép ban đầu của Hilbert vào năm 2000.

= Giai đoạn về sau = Kể từ năm 1900, các nhà toán học và các tổ chức toán học đã công bố danh sách bài toán, nhưng với một vài trường hợp ngoại lệ chúng không có nhiều ảnh hưởng cũng như không tạo ra nhiều công việc như các bài toán của Hilbert.

Một ngoại lệ bao gồm: Ba phỏng đoán do André Weil đưa ra vào cuối những năm 1940 ( Phỏng đoán Weil). Trong các lĩnh vực hình học đại số, lý thuyết số và các liên kết giữa hai lĩnh vực này cho thấy rằng các phỏng đoán của Weil rất quan trọng. Điều đầu tiên trong số này đã được chứng minh bởi Bernard Dwork; Một bằng chứng hoàn toàn khác về hai phương pháp đầu tiên thông qua phương pháp ℓ-adic cohomology được Alexander Grothendieck đưa ra. Giả thuyết cuối cùng và sâu nhất trong số các phỏng đoán của Weil (một cái tương tự của giả thuyết Riemann) đã được Pierre Deligne chứng minh. Cả Grothendieck và Deligne đều được trao huy chương Fields. Tuy nhiên, trong phạm vi của chúng, các phỏng đoán của Weil giống một bài toán Hilbert đơn lẻ hơn, và Weil không bao giờ coi chúng là một chương trình cho tất cả toán học. Điều này hơi mỉa mai vì Weil được cho là nhà toán học của những năm 1940 và 1950, người đã đóng vai Hilbert tốt nhất, thông thạo gần như tất cả các lĩnh vực toán học (lý thuyết) và có vai trò quan trọng trong việc phát triển nhiều lĩnh vực trong số đó.

Paul Erdős đã đặt ra hàng trăm, nếu không muốn nói là hàng nghìn, các vấn đề toán học, trong đó có nhiều vấn đề sâu sắc. Erdős thường đưa ra phần thưởng bằng tiền cho ai giải quyết được nó, quy mô của phần thưởng phụ thuộc vào mức độ khó nhận thức của vấn đề.

Cuối thiên niên kỷ, cũng là tròn một trăm năm Hilbert công bố các bài toán của mình, tạo cơ hội tự nhiên để đề xuất "một tập hợp các bài toán Hilbert mới." Một số nhà toán học đã chấp nhận thử thách này, đặc biệt là Steve Smale từng đạt huy chương Fields, người đã đáp ứng yêu cầu của Vladimir Arnold đề xuất một danh sách gồm 18 bài toán.

Ít nhất trên các phương tiện truyền thông chính thống, điểm tương tự trên thực tế của thế kỷ 21 về các vấn đề của Hilbert là danh sách Bảy bài toán có giải thưởng Thiên niên kỷ do Viện Toán học Clay chọn trong năm 2000. Không giống như các bài toán Hilbert, nơi mà giải thưởng chính là sự ngưỡng mộ của Hilbert nói riêng và các nhà toán học nói chung, mỗi bài toán có giải thưởng bao gồm một triệu đô la tiền thưởng. Cũng như các bài toán Hilbert, một trong những bài toán có giải (giả thuyết Poincaré) đã được giải tương đối sớm sau khi bài toán được công bố.

Giả thuyết Riemann rất đáng chú ý vì nó xuất hiện trong danh sách các bài toán của Hilbert, danh sách của Smale, danh sách các bài toán của Giải Thiên niên kỷ, và thậm chí cả các phỏng đoán của Weil, trong chiêu bài hình học của nó. Mặc dù nó đã bị tấn công bởi các nhà toán học lớn của thời đại chúng ta, nhiều chuyên gia tin rằng nó vẫn sẽ là một phần của danh sách các vấn đề chưa được giải quyết trong nhiều thế kỷ. Chính Hilbert đã tuyên bố: "Nếu tôi thức dậy sau khi ngủ một giấc ngàn năm, câu hỏi đầu tiên của tôi sẽ là: Liệu giả thuyết Riemann đã được chứng minh chưa?"

Năm 2008, DARPA đã công bố danh sách 23 bài toán của riêng mình mà họ hy vọng có thể dẫn đến những đột phá lớn về toán học, "do đó tăng cường năng lực khoa học và công nghệ của DoD."

= Tóm tắt = Trong số các bài toán Hilbert có đề bài rõ ràng, các bài toán số 3, 7, 10, 14, 17, 18, 19 và 20 có một giải pháp được chấp nhận bởi sự đồng thuận của cộng đồng toán học. Mặt khác, các bài toán số 1, 2, 5, 6, 9, 11, 15, 21 và 22 có các giải pháp được chấp nhận một phần, nhưng vẫn tồn tại một số tranh cãi về việc liệu chúng có giải quyết được vấn đề hay không.

Điều đó khiến bài toán số 8 (giả thuyết Riemann), 12, 13 và 16  chưa được giải quyết, bài toán số 4 và 23 là quá mơ hồ để có thể được mô tả là đã được giải quyết. Bài toán 24 rút lui cũng sẽ nằm trong lớp này. Bài toán số 6 được coi là một vấn đề trong vật lý hơn là trong toán học.

= Danh sách các bài toán của Hilbert =

= Chú thích =

= Liên kết ngoài =

Thể loại:Lịch sử toán học Thể loại:Các bài toán của Hilbert Thể loại:Phỏng đoán Thể loại:Vấn đề chưa được giải quyết trong toán học

👁️ 2 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
💫 Các bài toán của Hilbert
**Các bài toán của Hilbert** là một danh sách gồm 23 vấn đề (bài toán) trong toán học được nhà toán học Đức David Hilbert đưa ra tại Hội nghị toán học quốc tế tại
💫 Bài toán thứ mười bảy của Hilbert
**Bài toán thứ mười bảy của Hilbert** là một trong 23 bài toán của Hilbert trong danh sách nổi tiếng của David Hilbert xuất bản năm 1900. Nó xem xét việc biểu diễn các hàm
💫 Bài toán thứ bảy của Hilbert
**Bài toán thứ bảy của Hilbert** là một trong số các bài toán mở do David Hilbert đưa ra năm 1900. Bài toán đặt câu hỏi về tính vô tỉ và tính siêu việt của
💫 Các bài toán thiên niên kỷ
**Các bài toán thiên niên kỷ** (tiếng Anh: _Millennium Prize Problems_) là bảy bài toán nổi tiếng và phức tạp được lựa chọn bởi Viện Toán học Clay vào ngày 24 tháng 5 năm 2000,
💫 David Hilbert
**David Hilbert** (23 tháng 1 năm 1862, Wehlau, Đông Phổ – 14 tháng 2 năm 1943, Göttingen, Đức) là một nhà toán học người Đức, được công nhận như là một trong những nhà toán
💫 Lịch sử toán học
_Cuốn [[The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing_]] Từ _toán học_ có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể
💫 Danh sách chủ đề toán học
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
💫 Tương lai của toán học
Sự phát triển của Toán học cả về mặt tổng thể lẫn các bài toán riêng lẻ là một chủ đề được bàn luận rộng rãi - nhiều dự đoán trong quá khứ về toán
💫 Viện Toán học Clay
**Viện Toán học Clay**, (tiếng Anh: **Clay Mathematics Institute**, viết tắt là **CMI**) là một tổ chức không vụ lợi do Quỹ tư nhân lập ra ở Cambridge, Massachusetts, Hoa Kỳ. Viện cống hiến cho
💫 Giả thuyết Kepler
**Giả thuyết Kepler**, được đặt theo tên của nhà toán học và nhà thiên văn người Đức Johannes Kepler, là một định lý toán học về xếp hình cầu trong không gian Euclid ba chiều.
💫 Đại hội Toán học Quốc tế
**Đại hội quốc tế các nhà toán học** (the **International Congress of Mathematicians -** **ICM**), hay **Đại hội Toán học Quốc tế**, hay **Đại hội Toán học Thế giới**, là hội nghị lớn nhất
💫 Các định lý bất toàn của Gödel
**Các định lý bất toàn của Gödel**, hay gọi chính xác là **Các định lý về tính bất hoàn chỉnh của Gödel** (tiếng Anh: **Gödel's incompleteness theorems**, tiếng Đức: **Gödelscher Unvollständigkeitssatz**), là hai định lý
💫 Danh sách vấn đề mở trong toán học
Danh sách các vấn đề mở trong toán học ## Danh sách các bài toán mở trong toán học nói chung Nhiều nha toán học và tổ chức đã xuất bản danh sách cái bài
💫 Bài toán Waring
Trong lý thuyết số, **bài toán Waring** hỏi rằng có phải mỗi số tự nhiên _k_ đều có một số nguyên dương _s_ sao cho mỗi số tự nhiên đều có thể viết thành tổng
💫 Giả thuyết continuum
nhỏ|So sánh lực lượng hai tập hợp **Giả thuyết continuum** hay **bài toán continuum** là một giả thuyết toán học, cho rằng không có tập hợp nào có lực lượng lớn hơn lực lượng của
💫 Giả thuyết Goldbach
thumb=Goldbach_partitions_of_the_even_integers_from_4_to_28_300px.png|Các số nguyên chẵn từ 4 đến 28 được phân tích thành tổng của hai số nguyên tố. Giả thuyết Goldbach cho rằng mỗi số nguyên chẵn lớn hơn 2 có thể biểu diễn bằng
💫 Logic toán
**Logic toán** là một ngành con của toán học có liên hệ gần gũi với cơ sở toán học, khoa học máy tính lý thuyết, logic triết học. Ngành này bao gồm hai phần: nghiên
💫 Giả thuyết Riemann
nhỏ|Phần thực (màu đỏ) và phần ảo (màu xanh) của hàm zeta Riemann dọc theo đường giới hạn Re(_s_) = 1/2. Các không điểm phi tầm thường đầu tiên tại Im(_s_) = ±14,135; ±21,022 và
💫 Triết học toán học
**Triết học toán học** là nhánh của triết học nghiên cứu các giả định, nền tảng và ý nghĩa của toán học, và các mục đích để đưa ra quan điểm về bản chất và
💫 Không gian Hilbert
Trong toán học, **không gian Hilbert** (Hilbert Space) là một dạng tổng quát hóa của không gian Euclid mà không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều. Đó là một không gian có
💫 Max Dehn
**Max Wilhelm Dehn** (sinh ngày 13 tháng 11 năm 1878 – mất ngày 27 tháng 6 năm 1952) là nhà toán tọc Đức nổi tiếng bởi các công trình trong hình học. tô pô và
💫 Ma trận (toán học)
phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất
💫 Thuật toán Simon
Trong lý thuyết độ phức tạp tính toán và tính toán lượng tử, bài toán Simon là một bài toán thuộc dạng cây quyết định hay dạng truy vấn, được diễn tả bởi Daniel Simon
💫 Tổng của ba số lập phương
thumb|[[Đồ thị nửa lôgarit của các nghiệm của phương trình x^3+y^3+z^3=n cho số nguyên x, y, và z, với 0\le n\le 100. Dải màu xanh lá cây đánh dấu các giá trị n được chứng
💫 Danh sách nhà toán học Mỹ
Đây là danh sách các nhà toán học Mỹ. ## Danh sách * James Waddell Alexander II (1888–1971) * Stephanie B. Alexander, được bầu vào năm 2014 với tư cách là thành viên của Hiệp
💫 Thuật toán
phải|nhỏ|[[Lưu đồ thuật toán (thuật toán Euclid) để tính ước số chung lớn nhất (ưcln) của hai số _a_ và _b_ ở các vị trí có tên A và B. Thuật toán tiến hành bằng
💫 Tập hợp (toán học)
Một tập hợp hình đa giác trong một [[biểu đồ Euler]] Tập hợp các số thực (R), bao gồm các số hữu tỷ (Q), các số nguyên (Z), các số tự nhiên (N). Các số
💫 Toán học kiến thiết
Trong triết học toán học, **toán học kiến thiết** hay **chủ nghĩa kiến thiết** là tư tưởng cho rằng cần thiết phải _tìm ra_ (hoặc _xây dựng_) một vật thể toán học để khẳng định
💫 Emmy Noether
**Amalie Emmy Noether** (, ; ; 23 tháng 3 năm 1882 – 14 tháng 4 năm 1935) là một nhà toán học người Đức nổi tiếng vì những đóng góp nền tảng và đột phá
💫 John von Neumann
**John von Neumann** (**Neumann János**; 28 tháng 12 năm 1903 – 8 tháng 2 năm 1957) là một nhà toán học người Mỹ gốc Hungary và là một nhà bác học thông thạo nhiều lĩnh
💫 Giá trị riêng và vectơ riêng
phải|nhỏ|250x250px|Ma trận biến đổi _A_ tác động bằng việc kéo dài vectơ _x_ mà không làm đổi phương của nó, vì thế _x_ là một vectơ riêng của _A_. Trong đại số tuyến tính, một
💫 Paul Gordan
nhỏ|Paul Gordan **Paul Albert Gordan** (27 tháng 4 năm 1837 – 21 tháng 12 năm 1912) là một nhà toán học Đức, một sinh viên của Carl Jacobi tại Đại học Königsberg trước khi có
💫 Đại số
**Đại số** là một nhánh của toán học nghiên cứu những hệ thống trừu tượng nhất định gọi là cấu trúc đại số và sự biến đổi biểu thức trong các hệ thống này. Đây
💫 Eugene Wigner
**Eugene Paul Wigner** (thường viết là **E. P. Wigner** giữa các nhà vật lý) (tiếng Hungary **Wigner Pál Jenő**) (17 tháng 11 năm 1902 – 1 tháng 1 năm 1995) là một nhà vật lý
💫 Nghịch lý Hilbert của Khách sạn Lớn
**Nghịch lý Hilbert của Khách sạn lớn** là một nghịch lý nổi tiếng của nhà toán học nổi tiếng người Đức David Hilbert. Nó được Hilbert đề cập đến trong một bài diễn thuyết vào
💫 Toán tử Hamilton
Trong cơ học lượng tử, **toán tử Hamilton** hay **Hamiltonian** là một toán tử tương ứng với năng lượng toàn phần của hệ gây nên sự biến đổi theo thời gian, được ký hiệu là
💫 Josiah Willard Gibbs
**Josiah Willard Gibbs** (11 tháng 2 năm 1839 - 28 tháng 4 năm 1903) là một nhà khoa học người Mỹ đã có những đóng góp lý thuyết đáng kể cho vật lý, hóa học
💫 Lý thuyết số
**Lý thuyết số** là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà
💫 Terence Tao
**Terence "Terry" Tao** (tiếng Trung: 陶哲轩; sinh ngày 17 tháng 7 năm 1975) là nhà toán học mang quốc tịch Úc - Mỹ gốc Trung Quốc chuyên về giải tích điều hòa, phương trình đạo
💫 Biểu đồ Bode
right|thumb|350x350px|Hình 1(a): Biểu đồ Bode cho một [[bộ lọc thông cao bậc một (một cực); xấp xỉ tuyến tính được dán nhãn "Bode pole" (cực Bode); pha thay đổi từ 90° ở tần số thấp
💫 Phiếm hàm (toán học)
Trong toán học, thuật ngữ " **phiếm hàm** " (danh từ, tiếng Anh là **functional**) có ít nhất 3 nghĩa sau : nhỏ|451x451px|Phiêm hàm [[Chiều dài cung - Arc length|chiều dài cung đi từ miền
💫 Phan Đức Chính
**Phan Đức Chính** (15 tháng 9 năm 1936 tại Sài Gòn – 26 tháng 8 năm 2017 tại Thành phố Hồ Chí Minh) là một Nhà giáo Nhân dân, Phó Giáo sư, tiến sĩ toán
💫 Định lý Gelfond–Schneider
**Định lý Gelfond-Schneider** mang tên của nhà toán học người Nga Alexander Osipovich Gelfond (1906-1968) và của nhà toán học Theodor Schneider (1911-1988), hai người cùng độc lập chứng minh trong lý thuyết số định
💫 Ký hiệu bra-ket
Trong lĩnh vực cơ học lượng tử, **ký hiệu bra-ket** là biểu diễn chuẩn dùng để mô tả những trạng thái lượng tử. Nó còn có thể dùng để biểu diễn các vector hoặc hàm
💫 L. E. J. Brouwer
nhỏ|Brouwer (phải) tại Đại hội Toán học Quốc tế, Zurich 1932 **Luitzen Egbertus Jan Brouwer** (; sinh ngày 27 tháng 2 năm 1881 - mất ngày 2 tháng 12 năm 1966), thường được gọi là
💫 Georg Cantor
**Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor** (;  – 6 tháng 1 năm 1918) là một nhà toán học người Đức, được biết đến nhiều nhất với tư cách cha đẻ của lý thuyết tập hợp, một
💫 Phân số đơn vị
nhỏ|Chiếc bánh pizza được cắt nhỏ; mỗi miếng bánh là \frac1{8} chiếc bánh. **Phân số đơn vị** là phân số dương có tử số bằng 1, tức có dạng \frac1{n} với n là
💫 Felix Klein
**Christian Felix Klein** (25 tháng 4 năm 1849 – 22 tháng 6 năm 1925) là nhà toán học người Đức, được biết đến với những nghiên cứu của ông trong lý thuyết nhóm, lý thuyết
💫 Lý thuyết biểu diễn
nhỏ|Lý thuyết biểu diễn nghiên cứu cách các cấu trúc đại số "biến đổi" các đối tượng toán học. Ví dụ đơn giản nhất là cách [[Nhóm nhị diện|nhóm đối xứng của các đa giác
💫 Số thực
right|thumb|Kí hiệu tập hợp **số thực** (ℝ) Trong toán học, một **số thực** là một giá trị của một đại lượng liên tục có thể biểu thị một khoảng cách dọc theo một đường thẳng