✨Toán tử Hamilton

Trong cơ học lượng tử, toán tử Hamilton hay Hamiltonian là một toán tử tương ứng với năng lượng toàn phần của hệ gây nên sự biến đổi theo thời gian, được ký hiệu là H, Ȟ hoặc Ĥ. Như ta đã biết thì năng lượng toàn phần của hệ bằng tổng thế năng và động năng của hệ; :$\backslash hat\{H\}\; =\; \backslash hat\{T\}\; +\; \backslash hat\{V\}$

trong đó

:$\backslash hat\{V\}\; =\; V\; =\; V(\backslash mathbf\{r\},t)$ :$\backslash hat\{V\}$ là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng quan sát là thế năng. :$\backslash hat\{T\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{\backslash hat\{p\backslash cdot\backslash mathbf\{\backslash hat\{p\}\{2m\}\; =\; \backslash frac\{\backslash hat\{p\}^2\}\{2m\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\backslash nabla^2$

:$\backslash hat\{p\}$ là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng quan sát là động lượng.

:$\backslash hat\{T\}$ là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng quan sát là động năng. Kết hợp 2 toán tử trên, ta có toán tử Hamilton được sử dụng trong phương trình Schrödinger :

Phương trình Schrödinger và toán tử Hamilton

''Xem bài viết chính phương trình Schrödinger

Cho hàm sóng $\backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},t)$.Ta có phương trình Schrödinger phụ thuộc vào thời gian của hàm sóng đó là ::$i\backslash hbar\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},\backslash ,t)\; =\; \backslash hat\; H\; \backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},t)$.

Trong đó $\backslash hat\; H$ là toán tử Hamilton.

Giả sử $\backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},t)$ có thể viết dưới dạng tích hàm theo thời gian với hàm tọa độ;

Và đạo hàm bậc 2 theo r.Ta có:

Thay vào phương trình Schrödinger Ta có

Chia 2 vế cho $\backslash Psi(\backslash mathbf\{r\})$. Ta được phương trinh vi phân.

Giải phương trình vi phân này ta được $\{f(t)\}$ =$e^\{-iHt/\backslash hbar\}$ Vậy hàm sóng được viết dưới dạng

Thay vào phương trình Schrödinger ban đầu, ta được phương trình Schrödinger không phụ thuộc vào thời gian

Khi giải phương trình này, ta tìm được hàm riêng và giá trị riêng của toán tử Hamilton.Khi tìm được giá trị riêng, ta có thể xác định các mức năng lượng và xem nó co bị gián đoạn hay không. Khi tìm được hàm riêng, ta có thể tính xác suất những nơi tìm thấy hạt.